Teorema de três séries de Kolmogorov - Kolmogorov's three-series theorem

Na teoria da probabilidade , o Teorema das Três Séries de Kolmogorov , nomeado após Andrey Kolmogorov , fornece um critério para a convergência quase certa de uma série infinita de variáveis ​​aleatórias em termos da convergência de três séries diferentes envolvendo propriedades de suas distribuições de probabilidade . O teorema de três séries de Kolmogorov, combinado com o lema de Kronecker , pode ser usado para fornecer uma prova relativamente fácil da Lei Forte dos Números Grandes .

Declaração do teorema

Let ser variáveis ​​aleatórias independentes . Os série aleatória converge quase certamente em se as seguintes condições segure por alguns , e somente se as seguintes condições segure por qualquer : ${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle A> 0}$${\ displaystyle A> 0}$

Prova

Suficiência de condições ("se")

A Condição (i) e Borel – Cantelli dão isso para grande, quase com certeza . Conseqüentemente, converge se e somente se convergir. As condições (ii) - (iii) e o Teorema das Duas Séries de Kolmogorov fornecem a convergência quase certa de . ${\ displaystyle X_ {n} = Y_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} X_ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} Y_ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} Y_ {n}}$

Necessidade de condições ("somente se")

Suponha que converta quase com certeza. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} X_ {n}}$

Sem a condição (i), de Borel-Cantelli existiriam alguns como infinitamente muitos , quase com certeza. Mas então a série iria divergir. Portanto, devemos ter a condição (i). ${\ displaystyle A> 0}$${\ displaystyle \ {| X_ {n} | \ geq A \}}$${\ displaystyle n}$

Vemos que a condição (iii) implica a condição (ii): o teorema de duas séries de Kolmogorov junto com a condição (i) aplicada ao caso fornece a convergência de . Assim, dada a convergência de , temos converge, então a condição (ii) está implícita. ${\ displaystyle A = 1}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (Y_ {n} - \ mathbb {E} [Y_ {n}])}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} Y_ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {E} [Y_ {n}]}$

Assim, resta apenas demonstrar a necessidade da condição (iii), e teremos obtido o resultado completo. É equivalente a verificar a condição (iii) para a série onde para cada , e são IID - isto é, empregar a suposição de que , uma vez que é uma sequência de variáveis ​​aleatórias limitada por 2, convergindo quase com certeza, e com . Portanto, queremos verificar se se converge, então converge também. Este é um caso especial de um resultado mais geral da teoria do martingale com somas iguais aos incrementos de uma sequência de martingale e as mesmas condições ( ; a série das variâncias é convergente; e as somas são limitadas ). ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} Z_ {n} = \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (Y_ {n} -Y '_ {n} )}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle Y_ {n}}$${\ displaystyle Y '_ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {E} [Y_ {n}] = 0}$${\ displaystyle Z_ {n}}$${\ displaystyle \ mathrm {var} (Z_ {n}) = 2 \ mathrm {var} (Y_ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} Z_ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {var} (Z_ {n})}$${\ displaystyle \ mathbb {E} [Z_ {n}] = 0}$

Exemplo

Como ilustração do teorema, considere o exemplo da série harmônica com sinais aleatórios :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ pm {\ frac {1} {n}}.}$

Aqui, " " significa que cada termo é tomado com um sinal aleatório que é um ou com as respectivas probabilidades , e todos os sinais aleatórios são escolhidos independentemente. Deixe o teorema denotar uma variável aleatória que assume os valores e com probabilidades iguais. Com a soma das duas primeiras séries são identicamente zero e var (Y _n ) = . As condições do teorema são então satisfeitas, de modo que a série harmônica com sinais aleatórios converge quase com certeza. Por outro lado, a série análoga de (por exemplo) recíprocos de raiz quadrada com sinais aleatórios, a saber ${\ displaystyle \ pm}$${\ displaystyle 1 / n}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle 1/2, \ 1/2}$${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle 1 / n}$${\ displaystyle -1 / n}$${\ displaystyle A = 2}$${\ displaystyle n ^ {- 2}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ pm {\ frac {1} {\ sqrt {n}}},}$

diverge quase certamente, uma vez que a condição (3) no teorema não é satisfeita para qualquer A. Observe que isso é diferente do comportamento da série análoga com sinais alternados ,, que converge. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} / {\ sqrt {n}}}$

Notas