Vórtice Lamb – Oseen - Lamb–Oseen vortex

Na dinâmica dos fluidos , o vórtice Lamb-Oseen modela um vórtice de linha que decai devido à viscosidade . Este vórtice tem o nome de Horace Lamb e Carl Wilhelm Oseen .

Gráfico vetorial do campo de velocidade do vórtice de Lamb-Oseen.

Evolução de um vórtice Lamb-Oseen no ar em tempo real. Partículas de teste de flutuação livre revelam o padrão de velocidade e vorticidade. (escala: a imagem tem 20 cm de largura)

Descrição matemática

Oseen procurou uma solução para as equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas com componentes de velocidade da forma ${\ displaystyle (r, \ theta, z)}$ ${\ displaystyle (v_ {r}, v _ {\ theta}, v_ {z})}$

{\ displaystyle v_ {r} = 0, \ quad v _ {\ theta} = {\ frac {\ Gamma} {2 \ pi r}} g (r, t), \ quad v_ {z} = 0.}

onde está a circulação do núcleo do vórtice. Isso levou as equações de Navier-Stokes a reduzir para ${\ displaystyle \ Gamma}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial g} {\ partial t}} = \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} g} {\ partial r ^ {2}}} - {\ frac { 1} {r}} {\ frac {\ partial g} {\ partial r}} \ right)}

que quando está sujeito às condições que são regulares em e se torna unidade como , leva a ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$

{\ displaystyle g (r, t) = 1- \ mathrm {e} ^ {- r ^ {2} / 4 \ nu t},}

onde é a viscosidade cinemática do fluido. Em , temos um vórtice potencial com vorticidade concentrada no eixo; e essa vorticidade se dispersa com o passar do tempo. ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle z}$

O único componente de vorticidade diferente de zero está na direção, dada por ${\ displaystyle z}$

{\ displaystyle \ omega _ {z} (r, t) = {\ frac {\ Gamma} {4 \ pi \ nu t}} \ mathrm {e} ^ {- r ^ {2} / 4 \ nu t} .}

O campo de pressão simplesmente garante que o vórtice gire na direção circunferencial , fornecendo a força centrípeta

{\ displaystyle {\ partial p \ over \ partial r} = \ rho {v ^ {2} \ over r},}

onde ρ é a densidade constante

Vórtice Oseen generalizado

O vórtice Oseen generalizado pode ser obtido procurando soluções da forma

{\ displaystyle v_ {r} = - \ gamma (t) r, \ quad v _ {\ theta} = {\ frac {\ Gamma} {2 \ pi r}} g (r, t), \ quad v_ {z } = 2 \ gamma (t) z}

isso leva à equação

{\ displaystyle {\ frac {\ partial g} {\ partial t}} - \ gamma r {\ frac {\ partial g} {\ partial r}} = \ nu \ left ({\ frac {\ partial ^ {2 } g} {\ partial r ^ {2}}} - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial g} {\ partial r}} \ right).}

Existe solução auto-similar para a coordenada , fornecida , onde é uma constante, nesse caso . A solução para pode ser escrita de acordo com Rott (1958) como ${\ displaystyle \ eta = r / \ varphi (t)}$ ${\ displaystyle \ varphi \ varphi '+ \ gamma \ varphi ^ {2} = a}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle g = 1- \ mathrm {e} ^ {- a \ eta ^ {2} / 2 \ nu}}$ ${\ displaystyle \ varphi (t)}$

{\ displaystyle \ varphi ^ {2} = 2a \ exp \ left (-2 \ int _ {0} ^ {t} \ gamma (s) \, \ mathrm {d} s \ right) \ int _ {c} ^ {t} \ exp \ left (2 \ int _ {0} ^ {u} \ gamma (s) \, \ mathrm {d} s \ right) \, \ mathrm {d} u,}

onde é uma constante arbitrária. Pois , o vórtice clássico de Lamb-Oseen é recuperado. O caso corresponde ao ponto de estagnação axissimétrica do fluxo , onde é uma constante. Quando , , um vórtice Burgers é um obtido. Para arbitrário , a solução passa a ser , onde é uma constante arbitrária. Como , o vórtice de Burgers é recuperado. ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle \ gamma = 0}$ ${\ displaystyle \ gamma = k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle c = - \ infty}$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {2} = a / k}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle \ varphi ^ {2} = a (1+ \ beta \ mathrm {e} ^ {- 2kt}) / k}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle t \ rightarrow \ infty}$