Desigualdade de Landau-Kolmogorov - Landau–Kolmogorov inequality

Em matemática , a desigualdade de Landau – Kolmogorov , nomeada em homenagem a Edmund Landau e Andrey Kolmogorov , é a seguinte família de desigualdades de interpolação entre diferentes derivadas de uma função f definida em um subconjunto T dos números reais:

${\ displaystyle \ | f ^ {(k)} \ | _ {L _ {\ infty} (T)} \ leq C (n, k, T) {\ | f \ | _ {L _ {\ infty} (T )}} ^ {1-k / n} {\ | f ^ {(n)} \ | _ {L _ {\ infty} (T)}} ^ {k / n} {\ text {para}} 1 \ leq k <n.}$

Na linha real

Para k = 1, n = 2 e T = [ c , ∞) ou T = R , a desigualdade foi primeiro provada por Edmund Landau com as constantes agudas C (2, 1, [ c , ∞)) = 2 e C ( 2, 1, R ) = √2. Seguindo as contribuições de Jacques Hadamard e Georgiy Shilov , Andrey Kolmogorov encontrou as constantes agudas e n , k arbitrário :

${\ displaystyle C (n, k, \ mathbb {R}) = a_ {nk} a_ {n} ^ {- 1 + k / n} ~,}$

onde a _n são as constantes Favard .

Na meia-linha

Seguindo o trabalho de Matorin e outros, as funções extremizantes foram encontradas por Isaac Jacob Schoenberg , mas as formas explícitas das constantes agudas ainda são desconhecidas.

Generalizações

Existem muitas generalizações, que são da forma

${\ displaystyle \ | f ^ {(k)} \ | _ {L_ {q} (T)} \ leq K \ cdot {\ | f \ | _ {L_ {p} (T)} ^ {\ alpha} } \ cdot {\ | f ^ {(n)} \ | _ {L_ {r} (T)} ^ {1- \ alpha}} {\ text {para}} 1 \ leq k <n.}$

Aqui todas as três normas podem ser diferentes umas das outras (de L ₁ a L _∞ , com p = q = r = ∞ no caso clássico) e T pode ser o eixo real, semieixo ou um segmento fechado.

A desigualdade de Kallman – Rota generaliza as desigualdades de Landau – Kolmogorov do operador derivado para contrações mais gerais em espaços de Banach .

Notas

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