Descrições matemáticas de opacidade - Mathematical descriptions of opacity

Quando uma onda eletromagnética viaja por um meio no qual é atenuada (isso é chamado de meio " opaco " ou " atenuante "), ela sofre decadência exponencial, conforme descrito pela lei de Beer-Lambert . No entanto, existem muitas maneiras possíveis de caracterizar a onda e a rapidez com que ela é atenuada. Este artigo descreve as relações matemáticas entre:

• coeficiente de atenuação ;
• profundidade de penetração e profundidade da pele ;
• número de onda angular complexo e constante de propagação ;
• índice de refração complexo ;
• permissividade elétrica complexa ;
• Condutividade AC ( suscetibilidade ).

Observe que, em muitos desses casos, há várias definições e convenções conflitantes em uso comum. Este artigo não é necessariamente abrangente ou universal.

Fundo: onda não atenuada

Descrição

Uma onda eletromagnética que se propaga na direção + z é convencionalmente descrita pela equação:

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] \! ,}$

Onde

E ₀ é um vetor no plano x - y , com as unidades de um campo elétrico (o vetor é em geral um vetor complexo , para permitir todas as polarizações e fases possíveis);

ω é a frequência angular da onda;

k é o número de onda angular da onda;

Re indica a parte real ;

e é o número de Euler .

O comprimento de onda é, por definição,

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi} {k}}.}$

Para uma determinada frequência, o comprimento de onda de uma onda eletromagnética é afetado pelo material no qual ela está se propagando. O comprimento de onda do vácuo (o comprimento de onda que uma onda desta frequência teria se estivesse se propagando no vácuo) é

${\ displaystyle \ lambda _ {0} = {\ frac {2 \ pi \ mathrm {c}} {\ omega}},}$

onde c é a velocidade da luz no vácuo.

Na ausência de atenuação, o índice de refração (também chamado de índice de refração ) é a razão desses dois comprimentos de onda, ou seja,

${\ displaystyle n = {\ frac {\ lambda _ {0}} {\ lambda}} = {\ frac {\ mathrm {c} k} {\ omega}}.}$

A intensidade da onda é proporcional ao quadrado da amplitude, em média ao longo de muitas oscilações da onda, o que equivale a:

${\ displaystyle I (z) \ propto \ left | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ {0 } | ^ {2}.}$

Observe que essa intensidade é independente da localização z , um sinal de que essa onda não está atenuando com a distância. Definimos I ₀ para ser igual a esta intensidade constante:

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} \ propto | \ mathbf {E} _ {0} | ^ {2}.}$

Ambigüidade de conjugado complexo

Porque

${\ displaystyle \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} ^ {*} e ^ {- i (kz- \ omega t)} \ right] \ !,}$

qualquer expressão pode ser usada indistintamente. Geralmente, físicos e químicos usam a convenção à esquerda (com e ^{- iωt} ), enquanto engenheiros elétricos usam a convenção à direita (com e ^{+ iωt} , por exemplo, veja impedância elétrica ). A distinção é irrelevante para uma onda não atenuada, mas torna-se relevante em alguns casos abaixo. Por exemplo, existem duas definições de índice refrativo complexo , uma com uma parte imaginária positiva e outra com uma parte imaginária negativa, derivada de duas convenções diferentes. As duas definições são conjugados complexos uma da outra.

Coeficiente de atenuação

Uma maneira de incorporar a atenuação na descrição matemática da onda é por meio de um coeficiente de atenuação :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = e ^ {- \ alpha z / 2} \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] \ !,}$

onde α é o coeficiente de atenuação.

Então, a intensidade da onda satisfaz:

${\ displaystyle I (z) \ propto \ left | e ^ {- \ alpha z / 2} \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ {0} | ^ {2} e ^ {- \ alpha z},}$

ie

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- \ alpha z}.}$

O coeficiente de atenuação, por sua vez, está simplesmente relacionado a várias outras quantidades:

• o coeficiente de absorção é essencialmente (mas nem sempre) sinônimo de coeficiente de atenuação; consulte o coeficiente de atenuação para obter detalhes;
• coeficiente de absorção molar ou coeficiente de extinção molar , também chamado de absortividade molar , é o coeficiente de atenuação dividido pela molaridade (e geralmente multiplicado por ln (10), ou seja, decádico); consulte a lei de Beer-Lambert e a absortividade molar para obter detalhes;
• O coeficiente de atenuação de massa , também chamado de coeficiente de extinção de massa , é o coeficiente de atenuação dividido pela densidade; consulte o coeficiente de atenuação de massa para obter detalhes;
• a seção transversal de absorção e a seção transversal de espalhamento são ambas quantitativamente relacionadas ao coeficiente de atenuação; veja seção transversal de absorção e seção transversal de espalhamento para detalhes;
• O coeficiente de atenuação às vezes também é chamado de opacidade ; veja opacidade (ótica) .

Profundidade de penetração e profundidade da pele

Profundidade de penetração

Uma abordagem muito semelhante usa a profundidade de penetração :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = e ^ {- z / (2 \ delta _ {\ mathrm {caneta}})} \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] \ !,}$

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- z / \ delta _ {\ mathrm {caneta}}},}$

onde δ _pen é a profundidade de penetração.

Profundidade da pele

A profundidade da pele é definida para que a onda satisfaça:

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = e ^ {- z / \ delta _ {\ mathrm {skin}}} \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i (kz- \ omega t)} \ right] \ !,}$

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2z / \ delta _ {\ mathrm {skin}}},}$

onde δ _pele é a profundidade da pele.

Fisicamente, a profundidade de penetração é a distância que a onda pode percorrer antes que sua intensidade seja reduzida por um fator de 1 / e 0,37. A profundidade da pele é a distância que a onda pode percorrer antes que sua amplitude seja reduzida pelo mesmo fator. ${\ displaystyle {} \ approx {}}$

O coeficiente de absorção está relacionado com a profundidade de penetração e a profundidade da pele por

${\ displaystyle \ alpha = 1 / \ delta _ {\ mathrm {pen}} = 2 / \ delta _ {\ mathrm {skin}}.}$

Número de onda angular complexo e constante de propagação

Número de onda angular complexo

Outra maneira de incorporar a atenuação é usar o número de onda angular complexo :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i ({\ underline {k}} z- \ omega t )}\direito]\!,}$

onde k é o número de onda angular complexo.

Então, a intensidade da onda satisfaz:

${\ displaystyle I (z) \ propto \ left | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i ({\ underline {k}} z- \ omega t)} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ {0} | ^ {2} e ^ {- 2 \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) z},}$

ie

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) z}.}$

Portanto, comparando isso com a abordagem do coeficiente de absorção,

${\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ underline {k}}) = k,}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) = \ alpha / 2.}$

De acordo com a ambigüidade observada acima , alguns autores usam a definição de conjugado complexo :

${\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ underline {k}}) = k,}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) = - \ alpha / 2.}$

Constante de propagação

Uma abordagem intimamente relacionada, especialmente comum na teoria das linhas de transmissão , usa a constante de propagação :

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {- \ gamma z + i \ omega t} \ right] \ !,}$

onde γ é a constante de propagação.

Então, a intensidade da onda satisfaz:

${\ displaystyle I (z) \ propto \ left | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {- \ gamma z + i \ omega t} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ { 0} | ^ {2} e ^ {- 2 \ operatorname {Re} (\ gamma) z},}$

ie

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 \ operatorname {Re} (\ gamma) z}.}$

Comparando as duas equações, a constante de propagação e o número de onda angular complexo estão relacionados por:

${\ displaystyle \ gamma = i {\ underline {k}} ^ {*},}$

onde o * denota conjugação complexa.

${\ displaystyle \ operatorname {Re} (\ gamma) = \ operatorname {Im} ({\ underline {k}}) = \ alpha / 2.}$

Essa quantidade também é chamada de constante de atenuação , às vezes denotada como α .

${\ displaystyle \ operatorname {Im} (\ gamma) = \ operatorname {Re} ({\ underline {k}}) = k.}$

Essa quantidade também é chamada de constante de fase , às vezes denominada β .

Infelizmente, a notação nem sempre é consistente. Por exemplo, às vezes é chamado de "constante de propagação" em vez de γ , que troca as partes reais e imaginárias. ${\ displaystyle {\ underline {k}}}$

Índice de refração complexo

Lembre-se de que em meios não atenuantes, o índice de refração e o número de onda angular são relacionados por:

${\ displaystyle n = {\ frac {\ mathrm {c}} {v}} = {\ frac {\ mathrm {c} k} {\ omega}},}$

Onde

• n é o índice de refração do meio;
• c é a velocidade da luz no vácuo;
• v é a velocidade da luz no meio.

Um índice de refração complexo pode, portanto, ser definido em termos do número de onda angular complexo definido acima:

${\ displaystyle {\ underline {n}} = {\ frac {\ mathrm {c} {\ underline {k}}} {\ omega}}.}$

onde n é o índice de refração do meio.

Em outras palavras, a onda é necessária para satisfazer

${\ displaystyle \ mathbf {E} (z, t) = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {i \ omega ({\ underline {n}} z / \ mathrm {c} -t)} \ right] \ !.}$

Então, a intensidade da onda satisfaz:

${\ displaystyle I (z) \ propto \ left | \ mathbf {E} _ {0} e ^ {i \ omega ({\ underline {n}} z / \ mathrm {c} -t)} \ right | ^ {2} = | \ mathbf {E} _ {0} | ^ {2} e ^ {- 2 \ omega \ operatorname {Im} ({\ underline {n}}) z / \ mathrm {c}},}$

ie

${\ displaystyle I (z) = I_ {0} e ^ {- 2 \ omega \ operatorname {Im} ({\ underline {n}}) z / \ mathrm {c}}.}$

Comparando com a seção anterior, temos

${\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ underline {n}}) = {\ frac {\ mathrm {c} k} {\ omega}}.}$

Essa quantidade é freqüentemente (ambiguamente) chamada simplesmente de índice de refração .

${\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ underline {n}}) = {\ frac {\ mathrm {c} \ alpha} {2 \ omega}} = {\ frac {\ lambda _ {0} \ alpha} {4 \ pi}}.}$

Essa quantidade é chamada de coeficiente de extinção e denotada por κ .

De acordo com a ambigüidade observada acima , alguns autores usam a definição de conjugado complexo, onde o coeficiente de extinção (ainda positivo) é menos a parte imaginária de . ${\ displaystyle {\ underline {n}}}$

Permissividade elétrica complexa

Em meios não atenuantes, a permissividade elétrica e o índice de refração são relacionados por:

${\ displaystyle n = \ mathrm {c} {\ sqrt {\ mu \ varejpsilon}} \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad n = {\ sqrt {\ mu \ varejpsilon}} \ quad {\ texto {(cgs)}},}$

Onde

• µ é a permeabilidade magnética do meio;
• ε é a permissividade elétrica do meio.
• "SI" refere-se ao sistema SI de unidades , enquanto "cgs" se refere às unidades Gaussianas-cgs .

Em meios atenuantes, a mesma relação é usada, mas a permissividade pode ser um número complexo, chamado de permissividade elétrica complexa :

${\ displaystyle {\ underline {n}} = \ mathrm {c} {\ sqrt {\ mu {\ underline {\ varepsilon}}}} \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad {\ underline { n}} = {\ sqrt {\ mu {\ underline {\ varepsilon}}}} \ quad {\ text {(cgs)}},}$

onde ε é a permissividade elétrica complexa do meio.

O quadrado de ambos os lados e usando os resultados da seção anterior dá:

${\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ underline {\ varepsilon}}) = {\ frac {\ mathrm {c} ^ {2} \ varepsilon _ {0}} {\ omega ^ {2} \ mu / \ mu _ {0}}} \! \ left (k ^ {2} - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {4}} \ right) \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad \ operatorname {Re} ({\ underline {\ varepsilon}}) = {\ frac {\ mathrm {c} ^ {2}} {\ omega ^ {2} \ mu}} \! \ left (k ^ {2 } - {\ frac {\ alpha ^ {2}} {4}} \ right) \ quad {\ text {(cgs)}},}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ underline {\ varepsilon}}) = {\ frac {\ mathrm {c} ^ {2} \ varepsilon _ {0}} {\ omega ^ {2} \ mu / \ mu _ {0}}} k \ alpha \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad \ operatorname {Im} ({\ underline {\ varepsilon}}) = {\ frac {\ mathrm {c} ^ {2}} {\ omega ^ {2} \ mu}} k \ alpha \ quad {\ text {(cgs)}}.}$

Condutividade AC

Outra forma de incorporar a atenuação é por meio da condutividade elétrica, conforme segue.

Uma das equações que regem a propagação das ondas eletromagnéticas é a lei de Maxwell-Ampère :

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J_ {f}} + {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {D}} {\ mathrm {d} t}} \ quad {\ texto {(SI)}}, \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = {\ frac {4 \ pi} {\ mathrm {c}}} \ mathbf {J_ {f}} + {\ frac {1 } {\ mathrm {c}}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {D}} {\ mathrm {d} t}} \ quad {\ text {(cgs)}},}$

onde está o campo de deslocamento . ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$

Conectando a lei de Ohm e a definição de permissividade (real)

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ sigma \ mathbf {E} + \ varepsilon {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {E}} {\ mathrm {d} t}} \ quad { \ text {(SI)}}, \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = {\ frac {4 \ pi \ sigma} {\ mathrm {c}}} \ mathbf {E} + {\ frac {\ {\ mathrm {c}}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {E}} {\ mathrm {d} t}} \ quad {\ text {(cgs)}},}$

onde σ é a condutividade elétrica (real, mas dependente da frequência), chamada de condutividade AC .

Com dependência do tempo senoidal em todas as quantidades, ou seja,

${\ displaystyle \ mathbf {H} = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {H} _ {0} e ^ {- i \ omega t} \ right] \ !,}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ operatorname {Re} \! \ left [\ mathbf {E} _ {0} e ^ {- i \ omega t} \ right] \ !,}$

o resultado é

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} _ {0} = - i \ omega \ mathbf {E} _ {0} \! \ left (\ varepsilon + i {\ frac {\ sigma} {\ omega} } \ right) \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} _ {0} = {\ frac {-i \ omega} {\ mathrm {c}}} \ mathbf {E} _ {0} \! \ left (\ varepsilon + i {\ frac {4 \ pi \ sigma} {\ omega}} \ right) \ quad {\ text {(cgs)}}.}$

Se a corrente não fosse incluída explicitamente (pela lei de Ohm), mas apenas implicitamente (por meio de uma permissividade complexa), a quantidade entre parênteses seria simplesmente a permissividade elétrica complexa. Portanto, ${\ displaystyle \ mathbf {J_ {f}}}$

${\ displaystyle {\ underline {\ varepsilon}} = \ varepsilon + i {\ frac {\ sigma} {\ omega}} \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad {\ underline {\psilon}} = \ varejpsilon + i {\ frac {4 \ pi \ sigma} {\ omega}} \ quad {\ text {(cgs)}}.}$

Comparando com a seção anterior, a condutividade AC satisfaz

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {k \ alpha} {\ omega \ mu}} \ quad {\ text {(SI)}}, \ qquad \ sigma = {\ frac {k \ alpha \ mathrm {c} ^ {2}} {4 \ pi \ omega \ mu}} \ quad {\ text {(cgs)}}.}$

Notas

Referências

• Jackson, John David (1999). Eletrodinâmica Clássica (3ª ed.). Nova York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Griffiths, David J. (1998). Introdução à Eletrodinâmica (3ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• JI Pankove (1971). Processos ópticos em semicondutores . Nova York: Dover Publications Inc.