Relação McCumber - McCumber relation

A relação de McCumber (ou teoria de McCumber) é uma relação entre as seções transversais efetivas de absorção e emissão de luz na física dos lasers de estado sólido . Tem o nome de Dean McCumber , que propôs o relacionamento em 1964.

Definição

Seja a seção transversal de absorção efetiva as seções transversais de emissão efetivas na freqüência e seja a temperatura efetiva do meio. A relação McCumber é ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega)}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega)}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle ~ T ~}$

(1) ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega)} {\ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega)}} \ exp \! \ left ({\ frac { \ hbar \ omega} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right) = \ left ({\ frac {N_ {1}} {N_ {2}}} \ right) _ {T} = \ exp \! \ left ({\ frac {\ hbar \ omega _ {\ rm {z}}} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right)}$

onde é a razão térmica estável das populações; a frequência é chamada de frequência de "linha zero"; é a constante de Planck e é a constante de Boltzmann . Observe que o lado direito da Equação (1) não depende de . ${\ displaystyle \ left ({\ frac {N_ {1}} {N_ {2}}} \ right) _ {T}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {z}}}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle k _ {\ rm {B}}}$${\ displaystyle ~ \ omega ~}$

Ganho

É típico que as propriedades de laser de um meio sejam determinadas pela temperatura e pela população no nível de laser excitado, e não são sensíveis ao método de excitação usado para alcançá-lo. Neste caso, a seção transversal de absorção e a seção transversal de emissão na frequência podem ser relacionadas ao ganho dos lasers de tal forma, que o ganho nesta frequência pode ser determinado da seguinte forma: ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega)}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega)}$${\ displaystyle ~ \ omega ~}$

(2) ${\ displaystyle ~~~~~~~~~~~~~~~~ G (\ omega) = N_ {2} \ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega) -N_ {1} \ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega)}$

O DEMcCumber postulou essas propriedades e descobriu que as seções de choque de emissão e absorção não são independentes; eles estão relacionados com a Equação (1).

Átomos idealizados

No caso de um átomo de dois níveis idealizado , o equilíbrio detalhado para a emissão e absorção que preserva a fórmula de Planck para a radiação de corpo negro leva à igualdade da seção transversal de absorção e emissão. Nos lasers de estado sólido, a divisão de cada um dos níveis de laser leva ao alargamento que excede em muito a largura de linha espectral natural . No caso de um átomo de dois níveis ideal, o produto da largura da linha e do tempo de vida é da ordem da unidade, que obedece ao princípio da incerteza de Heisenberg . Em materiais de laser de estado sólido, a largura de linha é várias ordens de magnitude maior, de modo que os espectros de emissão e absorção são determinados pela distribuição de excitação entre os subníveis, e não pela forma da linha espectral de cada transição individual entre os subníveis. Essa distribuição é determinada pela temperatura efetiva dentro de cada um dos níveis de laser. A hipótese de McCumber é que a distribuição da excitação entre os subníveis é térmica. A temperatura efetiva determina os espectros de emissão e absorção ( a temperatura efetiva é chamada de temperatura pelos cientistas, mesmo se o meio excitado como um todo estiver muito longe do estado térmico)

Dedução da relação McCumber

Figura 1. Esboço de subníveis

Considere o conjunto de centros ativos (fig.1.). Suponha uma transição rápida entre os subníveis dentro de cada nível e uma transição lenta entre os níveis. De acordo com a hipótese de McCumber, as seções transversais e não dependem das populações e . Portanto, podemos deduzir a relação, assumindo o estado térmico. ${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {a}}}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ rm {e}}}$${\ displaystyle N_ {1}}$${\ displaystyle N_ {2}}$

Seja a velocidade de grupo da luz no meio, o produto é a taxa espectral de emissão estimulada e é a de absorção; é a taxa espectral de emissão espontânea . (Observe que, nesta aproximação, não existe absorção espontânea) O equilíbrio dos fótons dá: ${\ displaystyle ~ v (\ omega) ~}$${\ displaystyle ~ n_ {2} \ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega) v (\ omega) D (\ omega) ~}$${\ displaystyle ~ n_ {1} \ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega) v (\ omega) D (\ omega) ~}$${\ displaystyle a (\ omega) n_ {2}}$

(3) ${\ displaystyle ~~~ n_ {2} \ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega) v (\ omega) D (\ omega) + n_ {2} a (\ omega) = n_ {1} \ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega) v (\ omega) D (\ omega) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\ rm {(equilíbrio)}}}$

Que pode ser reescrito como

(4) ${\ displaystyle ~~~ D (\ omega) = {\ frac {\ frac {a (\ omega)} {\ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega) v (\ omega)}} {{\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} {\ frac {\ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega)} {\ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega)}} -1}} ~~~~~~~~~~~~~~~ {\ rm {(D1)}}}$

A distribuição térmica da densidade dos fótons segue a radiação do corpo negro

(5) ${\ displaystyle ~~~ D (\ omega) ~ = ~ {\ frac {{\ frac {1} {\ pi ^ {2}}} {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {3} }}} {\ exp \! \ left ({\ frac {\ hbar \ omega} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right) -1}} ~~~~~ {\ rm {(D2 )}}}$

Ambos (4) e (5) são válidos para todas as frequências . Para o caso de centros ativos de dois níveis idealizados , e , que leva à relação entre a taxa espectral de emissão espontânea e a seção transversal de emissão . (Mantemos o termo probabilidade de emissão para a quantidade , que é a probabilidade de emissão de um fóton dentro de um pequeno intervalo espectral durante um curto intervalo de tempo , assumindo que no momento em que o átomo é excitado.) A relação (D2) é uma propriedade fundamental de emissão espontânea e estimulada, e talvez a única forma de proibir uma quebra espontânea do equilíbrio térmico no estado térmico de excitações e fótons. ${\ displaystyle ~ \ omega ~}$${\ displaystyle ~ \ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega) = \ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega) ~}$${\ displaystyle ~ n_ {1} / n_ {2} = \ exp \! \ left ({\ frac {\ hbar \ omega} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right)}$${\ displaystyle a (\ omega)}$${\ displaystyle ~ \ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega) ~}$${\ displaystyle ~ a (\ omega) {\ rm {d}} \ omega {\ rm {d}} t ~}$${\ displaystyle ~ (\ omega, \ omega + {\ rm {d}} \ omega) ~}$${\ displaystyle ~ (t, t + {\ rm {d}} t) ~}$${\ displaystyle ~ t ~}$

Para cada número de local , para cada número de subnível , a probabilidade de emissão espectral parcial pode ser expressa a partir da consideração de átomos de dois níveis idealizados: ${\ displaystyle ~ s ~}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle ~ a_ {s, j} (\ omega) ~}$

(6) ${\ displaystyle ~~~ a_ {s, j} (\ omega) = \ sigma _ {s, j} (\ omega) {\ frac {\ omega ^ {2} v (\ omega)} {\ pi ^ { 2} c ^ {3}}} ~~. ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ {\ rm {comparação1}} ~~ {\ rm {parcial}}}$

Negligenciando os efeitos coerentes cooperativos, a emissão é aditiva: para qualquer concentração de locais e para qualquer população parcial de subníveis, a mesma proporcionalidade entre e é válida para as seções transversais efetivas: ${\ displaystyle ~ q_ {s} ~}$${\ displaystyle ~ n_ {s, j} ~}$${\ displaystyle ~ a ~}$${\ displaystyle ~ \ sigma _ {\ rm {e}} ~}$

(7) ${\ displaystyle {\ frac {a (\ omega)} {\ sigma _ {\ rm {e}} (\ omega)}} = {\ frac {\ omega ^ {2} v (\ omega)} {\ pi ^ {2} c ^ {3}}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ({\ rm {comparação) (av)}}}$

Então, a comparação de (D1) e (D2) dá a relação

(8) ${\ displaystyle {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} {\ frac {\ sigma _ {\ rm {a}} (\ omega)} {\ sigma _ {\ rm {e}} ( \ omega)}} = \ exp \! \ left ({\ frac {\ hbar \ omega} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right) ~~. ~~~~~~~~ {\ rm {(n1n2) (mc1)}}}$

Esta relação é equivalente à relação McCumber (mc), se definirmos a frequência da linha zero como solução da equação ${\ displaystyle \ omega _ {Z}}$

(9) ${\ displaystyle ~ \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ right) _ {\! T} = \ exp \! \ left ({\ frac {\ hbar \ omega _ { \ rm {Z}}} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right) ~~~~, ~~~}$

o subscrito indica que a proporção de populações é avaliada no estado térmico. A frequência da linha zero pode ser expressa como ${\ displaystyle ~ T ~}$

(10) ${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Z}} = {\ frac {k _ {\ rm {B}} T} {\ hbar}} \ ln \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ { 2}}} \ right) _ {T} ~~~~~~~~~~~~~~~~~. ~~ {({\ rm {oz)}}}}$

Então (n1n2) torna-se equivalente à relação McCumber (mc).

Nenhuma propriedade específica de subníveis de meio ativo é necessária para manter a relação McCumber. Segue-se do pressuposto sobre a transferência rápida de energia entre níveis de laser excitados e entre níveis de laser mais baixos. A relação McCumber (mc) tem a mesma faixa de validade que o próprio conceito da seção transversal de emissão.

Confirmação da relação McCumber

A relação McCumber é confirmada por vários meios de comunicação. Em particular, a relação (1) permite aproximar duas funções de frequência, seções de choque de emissão e absorção, com ajuste único.

Violação da relação McCumber e movimento perpétuo

Figura 2. Seções transversais para Yb: Gd ₂ SiO ₅ versus ${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {2 \ pi c} {\ omega}}}$

Em 2006, a forte violação da relação McCumber foi observada para Yb: Gd ₂ SiO ₅ e relatada em 3 periódicos independentes. O comportamento típico das seções transversais relatadas é mostrado na Fig.2 com curvas grossas. A seção transversal de emissão é praticamente zero no comprimento de onda de 975 nm; esta propriedade torna Yb: Gd ₂ SiO ₅ um excelente material para lasers de estado sólido eficientes .

No entanto, a propriedade relatada (curvas grossas) não é compatível com a segunda lei da termodinâmica . Com tal material, o dispositivo de movimento perpétuo seria possível. Seria suficiente encher uma caixa com paredes refletoras com Yb: Gd ₂ SiO ₅ e permitir que ela troque radiação com um corpo negro através de uma janela espectralmente seletiva que é transparente nas vizinhanças de 975 nm e refletiva em outros comprimentos de onda. Devido à falta de emissividade em 975 nm, o meio deve aquecer, quebrando o equilíbrio térmico.

Com base na segunda Lei da termodinâmica, os resultados experimentais foram refutados em 2007. Com a teoria de McCumber, foi sugerida a correção para a seção transversal de emissão efetiva (curva fina preta). Então, essa correção foi confirmada experimentalmente.

Referências