Ideal mínimo - Minimal ideal

No ramo da álgebra abstrata conhecido como teoria dos anéis , um ideal direito mínimo de um anel R é um ideal direito diferente de zero que não contém nenhum outro ideal direito diferente de zero. Da mesma forma, um ideal mínimo à esquerda é um ideal à esquerda diferente de zero de R não contendo nenhum outro ideal à esquerda diferente de zero de R , e um ideal mínimo de R é um ideal não zero que não contém nenhum outro ideal bilateral de R diferente de zero . ( Isaacs 2009 , p. 190)

Em outras palavras, os ideais mínimos de direita são elementos mínimos do poset dos ideais de direita diferentes de zero de R ordenados por inclusão. O leitor é avisado que fora desse contexto, alguns posets de ideais podem admitir o ideal zero e, portanto, o ideal zero poderia ser um elemento mínimo nesse poset. Esse é o caso do poset de ideais primos de um anel, que pode incluir o ideal zero como um ideal primo mínimo .

Definição

A definição de um N ideal mínimo direito de um anel R é equivalente às seguintes condições:

  • N é diferente de zero e se K é um ideal direita de R com {0} ⊆ K ⊆ N , então ou K = {0} ou K = N .
  • N é um módulo R direito simples .

Mínimas ideais certas são a dupla noção de ideais certas máximas .

Propriedades

Muitos fatos padronizados sobre ideais mínimos podem ser encontrados em textos padronizados, como ( Anderson & Fuller 1992 ), ( Isaacs 2009 ), ( Lam 2001 ) e ( Lam 1999 ).

  • Em um anel com unidade , ideais máximos corretos sempre existem. Em contraste, ideais mínimos de direita, esquerda ou de dois lados em um anel com unidade não precisam existir.
  • O direito peanha de um anel é um importante estrutura definida em termos dos mínimos ideais direita de R .
  • Os anéis para os quais todo ideal correto contém um ideal correto mínimo são exatamente os anéis com um pedestal direito essencial.
  • Qualquer anel Artinian direito ou anel Kasch direito tem um ideal mínimo certo.
  • Domínios que não são anéis de divisão não têm ideais mínimos corretos.
  • Em anéis com a unidade, mínimas ideais direita são necessariamente ideais principais direito , pois para qualquer diferente de zero x em um ideal direita mínima N , o conjunto xR representa um ideal diferente de zero direita de R dentro de N , e assim xR = N .
  • Lema de Brauer: Qualquer mínima ideal direita N num anel R satisfaz N 2 = {0} ou N = eR para alguns elemento idempotente e de R . ( Lam 2001 , p. 162)
  • Se N 1 e N 2 são ideais mínimos corretos não isomórficos de R , então o produto N 1 N 2 é igual a {0}.
  • Se N 1 e N 2 são ideais mínimos distintos de um anel R , então N 1 N 2 = {0}.
  • Um anel simples com um ideal mínimo certo é um anel semi - simples .
  • Em um anel semiprime , existe um ideal mínimo de direita se e somente se existe um ideal mínimo de esquerda. ( Lam 2001 , p. 174)

Generalização

Um sub-mulo diferente de zero N de um módulo direita H é chamado um sub-módulo mínimo , se ele não contém outros sub-módulos diferentes de zero de M . De forma equivalente, N é um submódulo diferente de zero de M, que é um módulo simples . Isso também pode ser estendido para bimódulos chamando um sub-bimódulo diferente de zero N um sub-bimódulo mínimo de M se N não contém nenhum outro sub-bimódulo diferente de zero.

Se o módulo M é considerado como sendo o direito R -module R R , então claramente os submódulos mínimas são exatamente as mínimas ideais certos de R . Da mesma forma, as mínimas ideais esquerda de R são, precisamente, os sub-módulos mínimos da esquerda módulo R R . No caso dos ideais de dois lados, vemos que os ideais mínimas de R são exatamente as mínimas sub-bimodules do bimodule R R R .

Assim como com os anéis, não há garantia de que existam submódulos mínimos em um módulo. Submódulos mínimos podem ser usados ​​para definir a base de um módulo .

Referências

  • Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules , Graduate Texts in Mathematics , 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. X + 376, ISBN   0-387-97845-3 , MR   1245487
  • Isaacs, I. Martin (2009) [1994], Álgebra: um curso de graduação , Graduate Studies in Mathematics , 100 , Providence, RI: American Mathematical Society, pp. Xii + 516, ISBN   978-0-8218-4799-2 , MR   2472787
  • Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-98428-5 , MR   1653294
  • Lam, TY (2001), A first course in noncomutative rings , Graduate Texts in Mathematics, 131 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. Xx + 385, ISBN   0-387-95183-0 , MR   1838439

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