MÚSICA (algoritmo) - MUSIC (algorithm)

MUSIC ( MUltiple SIgnal Classification ) é um algoritmo usado para estimativa de frequência e descoberta de direção de rádio .

História

Em muitos problemas práticos de processamento de sinais, o objetivo é estimar, a partir de medições, um conjunto de parâmetros constantes dos quais os sinais recebidos dependem. Tem havido várias abordagens para tais problemas, incluindo o chamado método de máxima verossimilhança (ML) de Capon (1969) e o método de entropia máxima de Burg (ME). Embora muitas vezes bem-sucedidos e amplamente utilizados, esses métodos têm certas limitações fundamentais (especialmente viés e sensibilidade nas estimativas de parâmetros), em grande parte porque usam um modelo incorreto (por exemplo, AR em vez de ARMA especial ) das medições.

Pisarenko (1973) foi um dos primeiros a explorar a estrutura do modelo de dados, fazendo-o no contexto da estimação de parâmetros de sinusóides complexos em ruído aditivo utilizando uma abordagem de covariância. Schmidt (1977), enquanto trabalhava na Northrop Grumman e independentemente, Bienvenu e Kopp (1979) foram os primeiros a explorar corretamente o modelo de medição no caso de matrizes de sensores de forma arbitrária. Schmidt, em particular, conseguiu isso derivando primeiro uma solução geométrica completa na ausência de ruído e, em seguida, estendendo habilmente os conceitos geométricos para obter uma solução aproximada razoável na presença de ruído. O algoritmo resultante foi denominado MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) e tem sido amplamente estudado.

Em uma avaliação detalhada baseada em milhares de simulações, o Laboratório Lincoln do Massachusetts Institute of Technology concluiu em 1998 que, entre os algoritmos de alta resolução atualmente aceitos, o MUSIC era o mais promissor e um dos principais candidatos para estudos adicionais e implementação real de hardware. No entanto, embora as vantagens de desempenho do MUSIC sejam substanciais, elas são alcançadas com um custo em computação (pesquisa de espaço de parâmetro) e armazenamento (de dados de calibração de matriz).

Teoria

O método MUSIC assume que um vetor de sinal,, consiste em exponenciais complexas, cujas frequências são desconhecidas, na presença de ruído branco gaussiano , conforme dado pelo modelo linear ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ mathbf {n}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {A} \ mathbf {s} + \ mathbf {n}.}$

Aqui está uma matriz de Vandermonde de vetores direcionadores e é o vetor de amplitude. Uma suposição crucial é que o número de fontes,, é menor do que o número de elementos no vetor de medição , ou seja . ${\ displaystyle \ mathbf {A} = [\ mathbf {a} (\ omega _ {1}), \ cdots, \ mathbf {a} (\ omega _ {p})]}$${\ displaystyle M \ times p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} (\ omega) = [1, e ^ {j \ omega}, e ^ {j2 \ omega}, \ ldots, e ^ {j (M-1) \ omega}] ^ { T}}$${\ displaystyle \ mathbf {s} = [s_ {1}, \ ldots, s_ {p}] ^ {T}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle p <M}$

A matriz de autocorrelação de é então dada por ${\ displaystyle M \ times M}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {x} = \ mathbf {A} \ mathbf {R} _ {s} \ mathbf {A} ^ {H} + \ sigma ^ {2} \ mathbf {I},}$

onde é a variância do ruído, é a matriz de identidade e é a matriz de autocorrelação de . ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {I}}$${\ displaystyle M \ times M}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {s}}$${\ displaystyle p \ times p}$${\ displaystyle \ mathbf {s}}$

A matriz de autocorrelação é tradicionalmente estimada usando a matriz de correlação de amostra ${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {x}}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbf {R}}} _ {x} = {\ frac {1} {N}} \ mathbf {X} \ mathbf {X} ^ {H}}$

onde é o número de observações do vetor e . Dada a estimativa de , MUSIC estima o conteúdo de frequência do sinal ou matriz de autocorrelação usando um método de eigenspace . ${\ displaystyle N> M}$${\ displaystyle \ mathbf {X} = [\ mathbf {x} _ {1}, \ mathbf {x} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {x} _ {N}]}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {x}}$

Como é uma matriz Hermitiana, todos os seus autovetores são ortogonais entre si. Se os autovalores de são classificados em ordem decrescente, os autovetores correspondentes aos maiores autovalores (isto é, direções de maior variabilidade) abrangem o subespaço do sinal . Os autovetores restantes correspondem a autovalores iguais e abrangem o subespaço de ruído , que é ortogonal ao subespaço de sinal ,. ${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {x}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {M} \}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {x}}$${\ displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {p} \}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {S}}$${\ displaystyle Mp}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {N}}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {S} \ perp {\ mathcal {U}} _ {N}}$

Observe que para , MUSIC é idêntico à decomposição harmônica de Pisarenko . A ideia geral por trás do método MUSIC é usar todos os autovetores que abrangem o subespaço de ruído para melhorar o desempenho do estimador de Pisarenko. ${\ displaystyle M = p + 1}$

Uma vez que qualquer vetor de sinal que resida no subespaço de sinal deve ser ortogonal ao subespaço de ruído , deve ser assim para todos os vetores próprios que abrangem o subespaço de ruído. A fim de medir o grau de ortogonalidade de em relação a todos os , o algoritmo MUSIC define uma norma quadrada ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} \ in {\ mathcal {U}} _ {S}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} \ perp {\ mathcal {U}} _ {N}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} \ perp \ mathbf {v} _ {i}}$${\ displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {i} \} _ {i = p + 1} ^ {M}}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} \ in {\ mathcal {U}} _ {N}}$

${\ displaystyle d ^ {2} = \ | \ mathbf {U} _ {N} ^ {H} \ mathbf {e} \ | ^ {2} = \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {U} _ {N} \ mathbf {U} _ {N} ^ {H} \ mathbf {e} = \ sum _ {i = p + 1} ^ {M} | \ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf { v} _ {i} | ^ {2}}$

onde a matriz é a matriz de autovetores que abrangem o subespaço de ruído . Se , então, conforme implícito na condição de ortogonalidade. Tomar um recíproco da expressão da norma quadrada cria picos agudos nas frequências do sinal. A função de estimativa de frequência para MÚSICA (ou o pseudo-espectro) é ${\ displaystyle \ mathbf {U} _ {N} = [\ mathbf {v} _ {p + 1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {M}]}$${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {N}}$${\ displaystyle \ mathbf {e} \ in {\ mathcal {U}} _ {S}}$${\ displaystyle d ^ {2} = 0}$

${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {MU} (e ^ {j \ omega}) = {\ frac {1} {\ mathbf {e} ^ {H} \ mathbf {U} _ {N} \ mathbf {U} _ {N} ^ {H} \ mathbf {e}}} = {\ frac {1} {\ sum _ {i = p + 1} ^ {M} | \ mathbf {e} ^ {H } \ mathbf {v} _ {i} | ^ {2}}},}$

onde estão os autovetores de ruído e ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} = {\ begin {bmatrix} 1 & e ^ {j \ omega} & e ^ {j2 \ omega} & \ cdots & e ^ {j (M-1) \ omega} \ end {bmatrix}} ^ {T}}$

é o vetor de direcionamento candidato. As localizações dos maiores picos da função de estimativa fornecem as estimativas de frequência para os componentes do sinal ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle {\ hat {\ omega}} = \ arg \ max _ {\ omega} \; {\ hat {P}} _ {MU} (e ^ {j \ omega}).}$

MÚSICA é uma generalização do método de Pisarenko , e se reduz ao método de Pisarenko quando . No método de Pisarenko, apenas um único autovetor é usado para formar o denominador da função de estimativa de frequência; e o autovetor é interpretado como um conjunto de coeficientes autorregressivos , cujos zeros podem ser encontrados analiticamente ou com algoritmos de localização de raiz polinomial. Em contraste, MUSIC assume que várias dessas funções foram adicionadas juntas, então zeros podem não estar presentes. Em vez disso, existem mínimos locais, que podem ser localizados pesquisando computacionalmente a função de estimativa de picos. ${\ displaystyle M = p + 1}$

Comparação com outros métodos

O MUSIC supera métodos simples, como pegar picos de espectros DFT na presença de ruído, quando o número de componentes é conhecido com antecedência, porque explora o conhecimento desse número para ignorar o ruído em seu relatório final.

Ao contrário do DFT, ele é capaz de estimar frequências com precisão superior a uma amostra, pois sua função de estimativa pode ser avaliada para qualquer frequência, não apenas para os bins DFT. Esta é uma forma de super-resolução .

Sua principal desvantagem é que exige que o número de componentes seja conhecido com antecedência, de modo que o método original não pode ser usado em casos mais gerais. Existem métodos para estimar o número de componentes de origem puramente a partir de propriedades estatísticas da matriz de autocorrelação. Consulte, por exemplo, Além disso, MUSIC assume que as fontes coexistentes não são correlacionadas, o que limita suas aplicações práticas.

Métodos semi-paramétricos iterativos recentes oferecem superresolução robusta, apesar de fontes altamente correlacionadas, por exemplo, SAMV

Outras aplicações

Uma versão modificada de MUSIC, denotada como Time-Reversal MUSIC (TR-MUSIC), foi recentemente aplicada à imagem computacional de reversão de tempo. O algoritmo MUSIC também foi implementado para detecção rápida das frequências DTMF ( sinalização multifrequência de tom duplo ) na forma de biblioteca C - libmusic.

Veja também

• Estimativa de densidade espectral
• Periodograma
• Filtro correspondente
• Método de Welch
• Método de Bartlett
• SAMV
• Localização de direção de rádio
• Algoritmo de detecção de pitch
• Microscopia de alta resolução

Referências

Leitura adicional

• A estimativa e rastreamento de frequência, Quinn e Hannan, Cambridge University Press 2001.