Álgebra multiplicadora - Multiplier algebra

Em matemática , a álgebra multiplicadora , denotada por M ( A ), de uma C * -álgebra A é uma C * -álgebra unital que é a maior C * -álgebra unital que contém A como um ideal em um "não degenerado" caminho. É a generalização não comutativa da compactação Stone-Čech . Álgebras multiplicadoras foram introduzidas por Busby (1968) .

Por exemplo, se A é o C * -álgebra de operadores compacto em um espaço de Hilbert separável , M ( A ) é B ( H ), o C * -álgebra de todos os operadores limitados em H .

Definição

Um I ideal em uma C * -álgebra B é considerado essencial se I ∩ J não é trivial para todo J ideal . Um I ideal é essencial se e somente se I ^⊥ , o "complemento ortogonal" de I no módulo B de Hilbert C * é {0}.

Seja A uma C * -álgebra. Sua álgebra multiplicadora M ( A ) é qualquer C * -álgebra que satisfaça a seguinte propriedade universal : para toda C * -álgebra D contendo A como ideal, existe um único * -homomorfismo φ: D → M ( A ) tal que φ estende o homomorfismo de identidade em A e φ ( A ^⊥ ) = {0}.

A exclusividade até o isomorfismo é especificada pela propriedade universal. Quando A é unital, H ( A ) = Uma . Também segue da definição que para qualquer D contendo A como um ideal essencial, a álgebra multiplicadora M ( A ) contém D como uma C * -subálgebra.

A existência de M ( A ) pode ser demonstrada de várias maneiras.

Uma dupla centralizador de um C * -álgebra Um é um par ( L , R ) de delimitada linear mapas em Um tal que aL ( b ) = R ( um ) b para todos um e b em um . Isso implica que || L || = || R ||. O conjunto de centralizadores duplos de A pode receber uma estrutura de álgebra C *. Esta álgebra C * contém A como um ideal essencial e pode ser identificada como a álgebra multiplicadora M ( A ). Por exemplo, se A são os operadores compactos K ( H ) em um espaço de Hilbert separável, então cada x ∈ B ( H ) define um centralizador duplo de A simplesmente pela multiplicação da esquerda e da direita.

Alternativamente, M ( A ) pode ser obtido por meio de representações. O seguinte fato será necessário:

Lema. Se I é um ideal num C * -álgebra B , em seguida, qualquer representação fiel não degenerada π de que pode ser estendido de forma única a B .

Agora tomar qualquer representação fiel não degenerada π de A no espaço de Hilbert H . O lema acima, junto com a propriedade universal da álgebra do multiplicador, resulta que M ( A ) é isomórfico ao idealizador de π ( A ) em B ( H ). É imediato que M ( K ( H )) = B ( H ).

Por último, seja E um módulo C * de Hilbert e B ( E ) (resp. K ( E )) os operadores adjuntos (resp. Compactos) em E M ( A ) podem ser identificados por meio de um * -homomorfismo de A em B ( E ). Algo semelhante ao lema acima é verdadeiro:

Lema. Se I é um ideal num C * -álgebra B , então qualquer não degenerada fiel * -homomorphism π de I em B ( E ) pode ser estendido de forma única a B .

Consequentemente, se π é um * -homomorfismo não degenerado fiel de A em B ( E ), então M ( A ) é isomórfico ao idealizador de π ( A ). Por exemplo, M ( K ( E )) = B ( E ) para qualquer módulo E de Hilbert .

A C * -álgebra A é isomórfica aos operadores compactos no módulo A de Hilbert . Portanto, H ( A ) é os operadores adjointable sobre um .

Topologia estrita

Considere a topologia em M ( A ) especificada pelos seminormas { l _a , r _a } _{a ∈ A} , onde

${\ displaystyle l_ {a} (x) = \ | ax \ |, \; r_ {a} (x) = \ | xa \ |.}$

A topologia resultante é chamada de topologia estrita em M ( A ). A é estritamente denso em M ( A ).

Quando A é unital, M ( A ) = A e a topologia estrita coincide com a topologia normal. Para B ( H ) = M ( K ( H )), a topologia estrita é a topologia σ-forte * . Segue acima que B ( H ) está completo na topologia σ-forte *.

Caso comutativo

Seja X um espaço de Hausdorff localmente compacto , A = C ₀ ( X ), a álgebra C * comutativa de funções contínuas que desaparecem no infinito . Em seguida, H ( A ) é C _b ( X ), os função limitada contínuas em X . Pelo teorema de Gelfand-Naimark , tem-se o isomorfismo de C * -álgebras

${\ displaystyle C_ {b} (X) \ simeq C (Y)}$

onde Y é o espectro de C _b ( X ). Y é, de facto, homeomorfos ao compactificaç~ao pedra-Cech βX de X .

Álgebra corona

A coroa ou corona álgebra de A é o quociente H ( A ) / A . Por exemplo, a álgebra corona da álgebra de operadores compactos em um espaço de Hilbert é a álgebra de Calkin .

A álgebra corona é um análogo não comutativo do conjunto corona de um espaço topológico.

Referências

• B. Blackadar, K-Theory for Operator Algebras , MSRI Publications, 1986.
• Busby, Robert C. (1968), "Double centralizers and extensions of C * -algebras" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 132 : 79–99, doi : 10.2307 / 1994883 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1994883 , MR  0225175 , arquivado do original (PDF) em 2020-02-20
• Pedersen, Gert K. (2001) [1994], "Multipliers of C * -algebras" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press