Grupo Mumford – Tate - Mumford–Tate group
Na geometria algébrica , o grupo Mumford-Tate (ou grupo Hodge ) TA ( F ) construído a partir de uma estrutura Hodge F é um determinado grupo algébrico L . Quando F é dado por uma representação racional de um toro algébrico , a definição de G é como o fechamento Zariski da imagem na representação do grupo circular , sobre os números racionais . Mumford ( 1966 ) introduziu os grupos Mumford – Tate sobre os números complexos sob o nome de grupos de Hodge. Serre (1967) introduziu o análogo p -adic da construção de Mumford para os módulos Hodge-Tate , usando o trabalho de Tate ( 1967 ) em grupos p-divisíveis , e os chamou de grupos Mumford-Tate.
Formulação
O toro algébrico T usado para descrever as estruturas de Hodge tem uma representação matricial concreta, como as matrizes 2 × 2 invertíveis da forma que é dada pela ação de a + bi com base {1, i } dos números complexos C sobre R :
O grupo de círculos dentro deste grupo de matrizes é o grupo unitário U (1).
Estruturas de Hodge que surgem na geometria, por exemplo nos grupos de cohomologia de variedades Kähler , têm uma rede que consiste nas classes de cohomologia integral. Não é bem assim quanto é necessário para a definição do grupo Mumford-Tate, mas assume que o espaço vetorial V subjacente à estrutura Hodge tem uma determinada estrutura racional, ou seja, é dada sobre os números racionais Q . Para os propósitos da teoria, o espaço vetorial complexo V C , obtido pela extensão dos escalares de V de Q para C , é usado.
O peso k da estrutura de Hodge descreve a ação das matrizes diagonais de T , e V é suposto, portanto, ser homogêneo de peso k , sob essa ação. Sob a ação do grupo completo, V C se divide em subespaços V pq , conjugado complexo em pares sob comutação p e q . Pensando na matriz em termos do número complexo λ que ela representa, V pq tem a ação de λ pela p ésima potência e do complexo conjugado de λ pela q ésima potência. Aqui necessariamente
- p + q = k .
Em termos mais abstratos, o toro T subjacente ao grupo de matrizes é a restrição Weil do grupo multiplicativo GL (1), do campo complexo ao campo real, um toro algébrico cujo grupo de caracteres consiste nos dois homomorfismos a GL (1) , intercambiado por conjugação complexa.
Uma vez formulada desta forma, a representação racional ρ de T em V estabelecendo a estrutura de Hodge F determina a imagem ρ ( U (1)) em GL ( V C ); e MT ( F ) é por definição o menor grupo algébrico definido em Q contendo esta imagem.
Conjectura de Mumford-Tate
O contexto original para a formulação do grupo em questão era a causa da representação de Galois no módulo Tate de uma variedade abeliano Uma . Conjeturalmente, a imagem de tal representação de Galois, que é um grupo de Lie l-adico para um dado número primo l , é determinada pelo grupo Mumford-Tate correspondente G (vindo da estrutura de Hodge em H 1 ( A )), para até que ponto o conhecimento de G determina a álgebra de Lie da imagem de Galois. Essa conjectura é conhecida apenas em casos particulares. Por meio de generalizações dessa conjectura, o grupo Mumford-Tate foi conectado ao grupo motívico de Galois e, por exemplo, a questão geral de estender a conjectura de Sato-Tate (agora um teorema).
Período conjectura
Uma conjectura relacionada sobre variedades abelianas afirma que a matriz de período de A sobre um campo numérico tem grau de transcendência , no sentido do campo gerado por suas entradas, predito pela dimensão de seu grupo Mumford-Tate, como na seção anterior. O trabalho de Pierre Deligne mostrou que a dimensão limita o grau de transcendência; de modo que o grupo Mumford-Tate capta muitas relações algébricas entre os períodos. Este é um caso especial da conjectura do período Grothendieck completo.
Notas
Referências
- Mumford, David (1966), "Famílias de variedades abelianas", Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 347-351, MR 0206003
- Serre, Jean-Pierre (1967), "Sur les groupes de Galois attachés aux groupes p-divisibles", em Springer, Tonny A. (ed.), Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966) , Berlim, Novo York: Springer-Verlag , pp. 118–131, ISBN 978-3-540-03953-2, MR 0242839
- Tate, John T. (1967), "p-divisible groups.", Em Springer, Tonny A. (ed.), Proc. Conf. Local Fields (Driebergen, 1966) , Berlim, Nova York: Springer-Verlag , MR 0231827