Distribuição não central do qui-quadrado - Noncentral chi-squared distribution

Qui-quadrado não central

Função densidade de probabilidade
Função de distribuição cumulativa
Parâmetros	${\ displaystyle k> 0 \,}$ graus de liberdade ${\ displaystyle \ lambda> 0 \,}$ parâmetro de não centralidade
Apoio, suporte	${\ displaystyle x \ in [0; + \ infty) \,}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} e ^ {- (x + \ lambda) / 2} \ left ({\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({\ sqrt {\ lambda x}})}$
CDF	${\ displaystyle 1-Q _ {\ frac {k} {2}} \ left ({\ sqrt {\ lambda}}, {\ sqrt {x}} \ right)}$com função Marcum Q ${\ displaystyle Q_ {M} (a, b)}$
Quer dizer	${\ displaystyle k + \ lambda \,}$
Variância	${\ displaystyle 2 (k + 2 \ lambda) \,}$
Skewness	${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {3/2} (k + 3 \ lambda)} {(k + 2 \ lambda) ^ {3/2}}}}$
Ex. curtose	${\ displaystyle {\ frac {12 (k + 4 \ lambda)} {(k + 2 \ lambda) ^ {2}}}}$
MGF	${\ displaystyle {\ frac {\ exp \ left ({\ frac {\ lambda t} {1-2t}} \ right)} {(1-2t) ^ {k / 2}}} {\ text {for} } 2t <1}$
CF	${\ displaystyle {\ frac {\ exp \ left ({\ frac {i \ lambda t} {1-2it}} \ right)} {(1-2it) ^ {k / 2}}}}$

Em teoria de probabilidade e estatística , a distribuição não central do qui-quadrado (ou distribuição não central do qui-quadrado, distribuição não central${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$ ) é uma generalização não central da distribuição do qui-quadrado . Freqüentemente surge na análise de potência de testes estatísticos em que a distribuição nula é (talvez assintoticamente) uma distribuição qui-quadrada; exemplos importantes de tais testes são os testes de razão de verossimilhança .

Fundo

Let ser k independente , normalmente distribuído variáveis aleatórias com meios e unidade de variâncias. Então a variável aleatória ${\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {i}, \ ldots, X_ {k})}$ ${\ displaystyle \ mu _ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} X_ {i} ^ {2}}$

é distribuído de acordo com a distribuição não central do qui-quadrado. Ele tem dois parâmetros: que especifica o número de graus de liberdade (ou seja, o número de ), e que está relacionado à média das variáveis ​​aleatórias por: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ mu _ {i} ^ {2}.}$

${\ displaystyle \ lambda}$às vezes é chamado de parâmetro de não centralidade . Observe que algumas referências definem de outras maneiras, como metade da soma acima ou sua raiz quadrada. ${\ displaystyle \ lambda}$

Essa distribuição surge nas estatísticas multivariadas como uma derivada da distribuição normal multivariada . Enquanto a distribuição qui-quadrada central é a norma quadrada de um vetor aleatório com distribuição (ou seja, a distância quadrada da origem até um ponto tomado aleatoriamente dessa distribuição), a não-central é a norma quadrada de um vetor aleatório com distribuição. Aqui está um vetor zero de comprimento k , e é a matriz identidade de tamanho k . ${\ displaystyle N (0_ {k}, I_ {k})}$${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$${\ displaystyle N (\ mu, I_ {k})}$${\ displaystyle 0_ {k}}$${\ displaystyle \ mu = (\ mu _ {1}, \ ldots, \ mu _ {k})}$${\ displaystyle I_ {k}}$

Definição

A função de densidade de probabilidade (pdf) é dada por

${\ displaystyle f_ {X} (x; k, \ lambda) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- \ lambda / 2} (\ lambda / 2) ^ { i}} {i!}} f_ {Y_ {k + 2i}} (x),}$

onde é distribuído como qui-quadrado com graus de liberdade. ${\ displaystyle Y_ {q}}$${\ displaystyle q}$

A partir dessa representação, a distribuição não central do qui-quadrado é vista como uma mistura ponderada de Poisson de distribuições centrais do qui-quadrado. Suponha que uma variável aleatória J tenha uma distribuição de Poisson com média e a distribuição condicional de Z dado J  =  i seja qui-quadrado com k  + 2 i graus de liberdade. Então, a distribuição incondicional de Z é qui-quadrado não central com k graus de liberdade e parâmetro de não centralidade . ${\ displaystyle \ lambda / 2}$${\ displaystyle \ lambda}$

Alternativamente, o pdf pode ser escrito como

${\ displaystyle f_ {X} (x; k, \ lambda) = {\ frac {1} {2}} e ^ {- (x + \ lambda) / 2} \ left ({\ frac {x} {\ lambda }} \ right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({\ sqrt {\ lambda x}})}$

onde é uma função de Bessel modificada do primeiro tipo dada por ${\ displaystyle I _ {\ nu} (y)}$

${\ displaystyle I _ {\ nu} (y) = (y / 2) ^ {\ nu} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(y ^ {2} / 4) ^ { j}} {j! \ Gamma (\ nu + j + 1)}}.}$

Usando a relação entre as funções de Bessel e as funções hipergeométricas , o pdf também pode ser escrito como:

${\ displaystyle f_ {X} (x; k, \ lambda) = {{\ rm {e}} ^ {- \ lambda / 2}} _ {0} F_ {1} (; k / 2; \ lambda x / 4) {\ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)}} {\ rm {e}} ^ {- x / 2} x ^ {k / 2-1}. }$

Siegel (1979) discute o caso k  = 0 especificamente ( zero graus de liberdade ), caso em que a distribuição tem uma componente discreta em zero.

Propriedades

Função geradora de momento

A função geradora de momento é dada por

${\ displaystyle M (t; k, \ lambda) = {\ frac {\ exp \ left ({\ frac {\ lambda t} {1-2t}} \ right)} {(1-2t) ^ {k / 2}}}.}$

Momentos

Os primeiros momentos cruéis são:

${\ displaystyle \ mu '_ {1} = k + \ lambda}$

${\ displaystyle \ mu '_ {2} = (k + \ lambda) ^ {2} +2 (k + 2 \ lambda)}$

${\ displaystyle \ mu '_ {3} = (k + \ lambda) ^ {3} +6 (k + \ lambda) (k + 2 \ lambda) +8 (k + 3 \ lambda)}$

${\ displaystyle \ mu '_ {4} = (k + \ lambda) ^ {4} +12 (k + \ lambda) ^ {2} (k + 2 \ lambda) +4 (11k ^ {2} + 44k \ lambda +36 \ lambda ^ {2}) + 48 (k + 4 \ lambda)}$

Os primeiros momentos centrais são:

${\ displaystyle \ mu _ {2} = 2 (k + 2 \ lambda) \,}$

${\ displaystyle \ mu _ {3} = 8 (k + 3 \ lambda) \,}$

${\ displaystyle \ mu _ {4} = 12 (k + 2 \ lambda) ^ {2} +48 (k + 4 \ lambda) \,}$

O n th cumulante é

${\ displaystyle K_ {n} = 2 ^ {n-1} (n-1)! (k + n \ lambda). \,}$

Portanto

${\ displaystyle \ mu '_ {n} = 2 ^ {n-1} (n-1)! (k + n \ lambda) + \ sum _ {j = 1} ^ {n-1} {\ frac { (n-1)! 2 ^ {j-1}} {(nj)!}} (k + j \ lambda) \ mu '_ {nj}.}$

Função de distribuição cumulativa

Novamente usando a relação entre as distribuições qui-quadradas centrais e não centrais, a função de distribuição cumulativa (cdf) pode ser escrita como

${\ displaystyle P (x; k, \ lambda) = e ^ {- \ lambda / 2} \; \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ lambda / 2) ^ {j }} {j!}} Q (x; k + 2j)}$

onde é a função de distribuição cumulativa da distribuição qui-quadrada central com k graus de liberdade que é dada por ${\ displaystyle Q (x; k) \,}$

${\ displaystyle Q (x; k) = {\ frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)}} \,}$

e onde está a função gama incompleta inferior .${\ displaystyle \ gamma (k, z) \,}$

A função Marcum Q também pode ser usada para representar o cdf. ${\ displaystyle Q_ {M} (a, b)}$

${\ displaystyle P (x; k, \ lambda) = 1-Q _ {\ frac {k} {2}} \ left ({\ sqrt {\ lambda}}, {\ sqrt {x}} \ right)}$

Aproximação (incluindo para quantis)

Abdel-Aty deriva (como "primeiro aprox.") Uma aproximação não central de Wilson-Hilferty:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ chi '^ {2}} {k + \ lambda}} \ right) ^ {\ frac {1} {3}}}$é aproximadamente normalmente distribuído , ou seja, ${\ displaystyle \ sim {\ mathcal {N}} \ left (1 - {\ frac {2} {9f}}, {\ frac {2} {9f}} \ right),}$

${\ displaystyle P (x; k, \ lambda) \ approx \ Phi \ left \ {{\ frac {\ left ({\ frac {x} {k + \ lambda}} \ right) ^ {1/3} - \ esquerda (1 - {\ frac {2} {9f}} \ direita)} {\ sqrt {\ frac {2} {9f}}}} \ direita \}, {\ text {onde}} \ f: = { \ frac {(k + \ lambda) ^ {2}} {k + 2 \ lambda}} = k + {\ frac {\ lambda ^ {2}} {k + 2 \ lambda}},}$

que é bastante preciso e se adapta bem à não centralidade. Além disso, torna-se para o caso qui-quadrado (central) . ${\ displaystyle f = f (k, \ lambda)}$${\ displaystyle f = k}$${\ displaystyle \ lambda = 0}$

Sankaran discute uma série de aproximações de forma fechada para a função de distribuição cumulativa . Em um artigo anterior, ele derivou e afirma a seguinte aproximação:

${\ displaystyle P (x; k, \ lambda) \ approx \ Phi \ left \ {{\ frac {({\ frac {x} {k + \ lambda}}) ^ {h} - (1 + hp (h- 1-0,5 (2-h) mp))} {h {\ sqrt {2p}} (1 + 0,5mp)}} \ right \}}$

Onde

${\ displaystyle \ Phi \ lbrace \ cdot \ rbrace \,}$indica a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão ;

${\ displaystyle h = 1 - {\ frac {2} {3}} {\ frac {(k + \ lambda) (k + 3 \ lambda)} {(k + 2 \ lambda) ^ {2}}} \, ;}$

${\ displaystyle p = {\ frac {k + 2 \ lambda} {(k + \ lambda) ^ {2}}};}$

${\ displaystyle m = (h-1) (1-3h) \ ,.}$

Esta e outras aproximações são discutidas em um livro de texto posterior.

Para uma determinada probabilidade, essas fórmulas são facilmente invertidas para fornecer a aproximação correspondente para calcular quantis aproximados. ${\ displaystyle x}$

Derivação do pdf

A derivação da função de densidade de probabilidade é feita mais facilmente executando as seguintes etapas:

1. Uma vez que possuem variâncias unitárias, sua distribuição conjunta é esfericamente simétrica, até uma mudança de local.${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {k}}$
2. A simetria esférica, então, implica que a distribuição de depende das médias apenas através do comprimento ao quadrado ,. Sem perda de generalidade, podemos, portanto, pegar e .${\ displaystyle X = X_ {1} ^ {2} + \ cdots + X_ {k} ^ {2}}$${\ displaystyle \ lambda = \ mu _ {1} ^ {2} + \ cdots + \ mu _ {k} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ sqrt {\ lambda}}}$${\ displaystyle \ mu _ {2} = \ cdots = \ mu _ {k} = 0}$
3. Agora deduza a densidade de (isto é, o  caso k = 1). A transformação simples de variáveis ​​aleatórias mostra que${\ displaystyle X = X_ {1} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f_ {X} (x, 1, \ lambda) & = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}} \ left (\ phi ({\ sqrt { x}} - {\ sqrt {\ lambda}}) + \ phi ({\ sqrt {x}} + {\ sqrt {\ lambda}}) \ right) \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi x}}} e ^ {- (x + \ lambda) / 2} \ cosh ({\ sqrt {\ lambda x}}), \ end {alinhado}}}$

onde é a densidade normal padrão.${\ displaystyle \ phi (\ cdot)}$

1. Expanda o termo cosh em uma série de Taylor. Isso dá a representação da mistura ponderada de Poisson da densidade, ainda para k  = 1. Os índices nas variáveis ​​aleatórias qui-quadrado na série acima são 1 + 2 i neste caso.
2. Finalmente, para o caso geral. Presumimos, sem perda de generalidade, que são normais padrão e, portanto, têm uma distribuição qui-quadrada central com ( k  - 1) graus de liberdade, independente de . O uso da representação da mistura ponderada de poisson para , e o fato de que a soma das variáveis ​​aleatórias qui-quadrado também é um qui-quadrado, completa o resultado. Os índices da série são (1 + 2 i ) + ( k  - 1) =  k  + 2 i conforme necessário.${\ displaystyle X_ {2}, \ ldots, X_ {k}}$${\ displaystyle X_ {2} ^ {2} + \ cdots + X_ {k} ^ {2}}$${\ displaystyle X_ {1} ^ {2}}$${\ displaystyle X_ {1} ^ {2}}$

Distribuições relacionadas

• Se é qui-quadrado distribuída em seguida, também é qui-quadrado não central distribuídos:${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V \ sim \ chi _ {k} ^ {2}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V \ sim {\ chi '} _ {k} ^ {2} (0)}$
• Uma combinação linear de variáveis de quiquadrado não-centrais independentes , é generalizada do qui-quadrado distribuído .${\ displaystyle \ xi = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Y_ {i} + c, \ quad Y_ {i} \ sim \ chi '^ {2} (m_ {i}, \ delta _ { i} ^ {2})}$
• Se e e é independente de , em seguida, um não central F -distributed variável é desenvolvido como${\ displaystyle V_ {1} \ sim {\ chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} (\ lambda)}$${\ displaystyle V_ {2} \ sim {\ chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} (0)}$${\ displaystyle V_ {1}}$${\ displaystyle V_ {2}}$${\ displaystyle {\ frac {V_ {1} / k_ {1}} {V_ {2} / k_ {2}}} \ sim F '_ {k_ {1}, k_ {2}} (\ lambda)}$
• Se então${\ displaystyle J \ sim \ mathrm {Poisson} \ left ({{\ frac {1} {2}} \ lambda} \ right)}$${\ displaystyle \ chi _ {k + 2J} ^ {2} \ sim {\ chi '} _ {k} ^ {2} (\ lambda)}$
• Se , então, pega a distribuição do arroz com o parâmetro .${\ displaystyle V \ sim {\ chi '} _ {2} ^ {2} (\ lambda)}$${\ displaystyle {\ sqrt {V}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ lambda}}}$
• Aproximação normal: se , então na distribuição como ou .${\ displaystyle V \ sim {\ chi '} _ {k} ^ {2} (\ lambda)}$${\ displaystyle {\ frac {V- (k + \ lambda)} {\ sqrt {2 (k + 2 \ lambda)}}} \ to N (0,1)}$${\ displaystyle k \ to \ infty}$${\ displaystyle \ lambda \ to \ infty}$
• Se e onde são independentes, então onde .${\ displaystyle V_ {1} \ sim {\ chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} (\ lambda _ {1})}$${\ displaystyle V_ {2} \ sim {\ chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} (\ lambda _ {2})}$${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$${\ displaystyle W = (V_ {1} + V_ {2}) \ sim {\ chi '} _ {k} ^ {2} (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2})}$${\ displaystyle k = k_ {1} + k_ {2}}$
• Em geral, para um conjunto finito de , a soma dessas variáveis ​​aleatórias distribuídas de qui-quadrado não central tem a distribuição onde . Isso pode ser visto usando funções geradoras de momento da seguinte maneira: pela independência das variáveis ​​aleatórias. Resta conectar o MGF para as distribuições não centrais do qui-quadrado no produto e calcular o novo MGF - isso é deixado como um exercício. Alternativamente, pode ser visto através da interpretação na seção de fundo acima como somas de quadrados de variáveis ​​aleatórias independentes normalmente distribuídas com variâncias de 1 e as médias especificadas.${\ displaystyle V_ {i} \ sim {\ chi '} _ {k_ {i}} ^ {2} (\ lambda _ {i}), i \ in \ left \ {1..N \ right \}}$${\ displaystyle Y = \ sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i}}$${\ displaystyle Y \ sim {\ chi '} _ {k_ {y}} ^ {2} (\ lambda _ {y})}$${\ displaystyle k_ {y} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i}, \ lambda _ {y} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ lambda _ {i} }$${\ displaystyle M_ {Y} (t) = M _ {\ sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i}} (t) = \ prod _ {i = 1} ^ {N} M_ {V_ { isto)}$${\ displaystyle V_ {i}}$
• A complexa distribuição não central do qui-quadrado tem aplicações em sistemas de radiocomunicação e radar. Let ser escalares independentes complexas variáveis aleatórias com simetria circular não central, meios de e unidade variâncias: . Em seguida, a variável real aleatória é distribuída de acordo com a distribuição qui-quadrada não central complexa:${\ displaystyle (z_ {1}, \ ldots, z_ {k})}$${\ displaystyle \ mu _ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left | z_ {i} - \ mu _ {i} \ right | ^ {2} = 1}$${\ displaystyle S = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left | z_ {i} \ right | ^ {2}}$

${\ displaystyle f_ {S} (S) = \ left ({\ frac {S} {\ lambda}} \ right) ^ {(k-1) / 2} e ^ {- (S + \ lambda)} I_ { k-1} (2 {\ sqrt {S \ lambda}})}$

Onde ${\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ left | \ mu _ {i} \ right | ^ {2}.}$

Transformações

Sankaran (1963) discute as transformações da forma . Ele analisa as expansões das cumulantes de até o termo e mostra que as seguintes opções de produzir resultados razoáveis: ${\ displaystyle z = [(Xb) / (k + \ lambda)] ^ {1/2}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle O ((k + \ lambda) ^ {- 4})}$${\ displaystyle b}$

• ${\ displaystyle b = (k-1) / 2}$torna o segundo cumulante de aproximadamente independente de${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ lambda}$
• ${\ displaystyle b = (k-1) / 3}$torna o terceiro cumulante de aproximadamente independente de${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ lambda}$
• ${\ displaystyle b = (k-1) / 4}$torna o quarto cumulante de aproximadamente independente de${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ lambda}$

Além disso, uma transformação mais simples pode ser usada como uma transformação estabilizadora de variância que produz uma variável aleatória com média e variância . ${\ displaystyle z_ {1} = (X- (k-1) / 2) ^ {1/2}}$${\ displaystyle (\ lambda + (k-1) / 2) ^ {1/2}}$${\ displaystyle O ((k + \ lambda) ^ {- 2})}$

A usabilidade dessas transformações pode ser prejudicada pela necessidade de obter as raízes quadradas dos números negativos.

Várias distribuições de chi e qui-quadrado

Nome	Estatística
distribuição qui-quadrado	${\ displaystyle \ sum _ {1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}$
distribuição não central do qui-quadrado	${\ displaystyle \ sum _ {1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}$
distribuição de chi	${\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i} - \ mu _ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ { 2}}}}$
distribuição não central de chi	${\ displaystyle {\ sqrt {\ sum _ {1} ^ {k} \ left ({\ frac {X_ {i}} {\ sigma _ {i}}} \ right) ^ {2}}}}$

Ocorrências

Use em intervalos de tolerância

Os intervalos de tolerância de regressão normal bilateral podem ser obtidos com base na distribuição não central do qui-quadrado. Isso permite o cálculo de um intervalo estatístico dentro do qual, com algum nível de confiança, uma proporção especificada de uma população amostrada cai.

Notas

Referências

• Abramowitz, M. e Stegun, IA (1972), Handbook of Mathematical Functions , Dover. Seção 26.4.25.
• Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995), Continuous Univariate Distributions, Volume 2 (2ª edição) , Wiley. ISBN  0-471-58494-0
• Muirhead, R. (2005) Aspects of Multivariate Statistical Theory (2ª edição). Wiley. ISBN  0-471-76985-1
• Siegel, AF (1979), "A distribuição não central do qui-quadrado com zero graus de liberdade e teste de uniformidade", Biometrika , 66, 381-386
• Press, SJ (1966), "Linear Combination of non-central chi-squared variates", The Annals of Mathematical Statistics , 37 (2): 480-487, doi : 10.1214 / aoms / 1177699531 , JSTOR  2238621