Modelo de campo de fase - Phase-field model

Um modelo de campo de fase é um modelo matemático para resolver problemas interfaciais. Tem sido aplicado principalmente à dinâmica de solidificação, mas também tem sido aplicado a outras situações, como digitação viscosa , mecânica de fratura , fragilização por hidrogênio e dinâmica de vesículas.

O método substitui as condições de contorno na interface por uma equação diferencial parcial para a evolução de um campo auxiliar (o campo de fase) que assume o papel de um parâmetro de ordem . Este campo de fase assume dois valores distintos (por exemplo +1 e -1) em cada uma das fases, com uma mudança suave entre os dois valores na zona ao redor da interface, que é então difusa com uma largura finita. Uma localização discreta da interface pode ser definida como a coleção de todos os pontos onde o campo de fase assume um certo valor (por exemplo, 0).

Um modelo de campo de fase é geralmente construído de forma que no limite de uma largura de interface infinitesimal (o chamado limite de interface agudo) a dinâmica interfacial correta seja recuperada. Esta abordagem permite resolver o problema integrando um conjunto de equações diferenciais parciais para todo o sistema, evitando assim o tratamento explícito das condições de contorno na interface.

Os modelos de campo de fase foram introduzidos pela primeira vez por Fix e Langer, e têm experimentado um interesse crescente em solidificação e outras áreas.

Equações do modelo de campo de fase

Modelos de campo de fase são geralmente construídos para reproduzir uma determinada dinâmica interfacial. Por exemplo, em problemas de solidificação, a dinâmica frontal é dada por uma equação de difusão para concentração ou temperatura na massa e algumas condições de contorno na interface (uma condição de equilíbrio local e uma lei de conservação), que constitui o modelo de interface precisa.

Uma microestrutura de duas fases e o perfil do parâmetro de pedido são mostrados em uma linha através do domínio. A mudança gradual do parâmetro de ordem de uma fase para outra mostra a natureza difusa da interface.${\ displaystyle \ varphi}$

Uma série de formulações do modelo de campo de fase são baseadas em uma função de energia livre dependendo de um parâmetro de ordem (o campo de fase) e um campo difusivo (formulações variacionais). As equações do modelo são então obtidas usando relações gerais da física estatística . Essa função é construída a partir de considerações físicas, mas contém um parâmetro ou combinação de parâmetros relacionados à largura da interface. Os parâmetros do modelo são então escolhidos estudando o limite do modelo com essa largura indo para zero, de forma que se possa identificar esse limite com o modelo de interface afiada pretendido.

Outras formulações começam escrevendo diretamente as equações de campo de fase, sem se referir a nenhum funcional termodinâmico (formulações não variacionais). Nesse caso, a única referência é o modelo de interface nítida, no sentido de que deve ser recuperado ao realizar o pequeno limite de largura de interface do modelo de campo de fase.

As equações de campo de fase, em princípio, reproduzem a dinâmica interfacial quando a largura da interface é pequena comparada com a menor escala de comprimento no problema. Na solidificação, essa escala é o comprimento capilar , que é uma escala microscópica. Do ponto de vista computacional, a integração de equações diferenciais parciais que resolvem uma escala tão pequena é proibitiva. No entanto, Karma e Rappel introduziram o limite de interface fina, que permitiu relaxar essa condição e abriu o caminho para simulações quantitativas práticas com modelos de campo de fase. Com o crescente poder dos computadores e o progresso teórico na modelagem de campo de fase, os modelos de campo de fase tornaram-se uma ferramenta útil para a simulação numérica de problemas interfaciais. ${\ displaystyle d_ {o}}$

Formulações variacionais

Um modelo para um campo de fase pode ser construído por argumentos físicos se houver uma expressão explícita para a energia livre do sistema. Um exemplo simples de problemas de solidificação é o seguinte:

${\ displaystyle F [e, \ varphi] = \ int d {\ mathbf {r}} \ left [K | {\ mathbf {\ nabla}} \ varphi | ^ {2} + h_ {0} f (\ varphi ) + e_ {0} u (\ varphi) ^ {2} \ direita]}$

onde é o campo de fase, , é a entalpia local, por unidade de volume, é uma função polinomial de certo , e (onde é o calor latente , é a temperatura de fusão, e é o calor específico). O termo com corresponde à energia interfacial. A função é geralmente considerada como um potencial de poço duplo que descreve a densidade de energia livre do grosso de cada fase, que por sua vez corresponde aos dois mínimos da função . As constantes e têm, respectivamente, dimensões de energia por unidade de comprimento e energia por unidade de volume. A largura da interface é então fornecida por . O modelo de campo de fase pode então ser obtido a partir das seguintes relações variacionais: ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle u (\ varphi) = e / e_ {0} + h (\ varphi) / 2}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle e_ {0} = {L ^ {2}} / {T_ {M} c_ {p}}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle T_ {M}}$${\ displaystyle c_ {p}}$${\ displaystyle \ nabla \ varphi}$${\ displaystyle f (\ varphi)}$${\ displaystyle f (\ varphi)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle W = {\ sqrt {K / h_ {0}}}}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} \ varphi = - {\ frac {1} {\ tau}} \ left ({\ frac {\ delta F} {\ delta \ varphi}} \ right) + \ eta ({ \ mathbf {r}}, t)}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} e = De_ {0} \ nabla ^ {2} \ left ({\ frac {\ delta F} {\ delta e}} \ right) - {\ mathbf {\ nabla}} \ cdot {\ mathbf {q}} _ {e} (\ mathbf {r}, t).}$

onde D é um coeficiente de difusão para a variável , e e são estocásticos termos representam variações térmicas (e cujas propriedades estatística pode ser obtido a partir da dissipação de teorema de flutuação ). A primeira equação fornece uma equação para a evolução do campo de fase, enquanto a segunda é uma equação de difusão, que geralmente é reescrita para a temperatura ou para a concentração (no caso de uma liga). Essas equações são, dimensionar espaço com e tempos com : ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {e}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle l ^ {2} / D}$

${\ displaystyle \ alpha \ varepsilon ^ {2} \ partial _ {t} \ varphi = \ varepsilon ^ {2} \ nabla ^ {2} \ varphi -f '(\ varphi) - {\ frac {e_ {0} } {h_ {0}}} h '(\ varphi) u + {\ tilde {\ eta}} ({\ mathbf {r}}, t)}$

${\ displaystyle \ partial _ {t} u = \ nabla ^ {2} u + {\ frac {1} {2}} h '(\ varphi) \ partial _ {t} \ varphi - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {q} _ {u} (\ mathbf {r}, t)}$

onde é a largura da interface não dimensional , e , são ruídos não dimensionalizados. ${\ displaystyle \ varepsilon = W / l}$${\ displaystyle \ alpha = {D \ tau} / {W ^ {2} h_ {0}}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ eta}} ({\ mathbf {r}}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {u} (\ mathbf {r}, t)}$

Funções alternativas de densidade de energia

A escolha da função de energia livre,, pode ter um efeito significativo no comportamento físico da interface e deve ser selecionada com cuidado. A função de poço duplo representa uma aproximação da equação de estado de Van der Waals perto do ponto crítico e tem sido historicamente usada por sua simplicidade de implementação quando o modelo de campo de fase é empregado exclusivamente para fins de rastreamento de interface. Mas isso levou ao fenômeno de queda espontânea frequentemente observado, pelo qual a alta miscibilidade de fase prevista por uma Equação de Estado perto do ponto crítico permite uma interpenetração significativa das fases e pode, eventualmente, levar ao desaparecimento completo de uma gota cujo raio está abaixo de algum valor crítico. Minimizar as perdas de continuidade percebidas ao longo da duração de uma simulação requer limites no parâmetro Mobilidade, resultando em um equilíbrio delicado entre esfregaço interfacial devido à convecção, reconstrução interfacial devido à minimização de energia livre (ou seja, difusão baseada na mobilidade) e interpenetração de fase, também dependente sobre a mobilidade. Uma revisão recente das funções alternativas de densidade de energia para aplicações de rastreamento de interface propôs uma forma modificada da função de obstáculo duplo que evita o fenômeno de queda espontânea de queda e limites na mobilidade, com resultados comparativos fornecendo uma série de simulações de referência usando o poço duplo função e a técnica de interface nítida de volume de fluido . A implementação proposta tem uma complexidade computacional apenas ligeiramente maior do que a função de poço duplo e pode ser útil para aplicações de rastreamento de interface do modelo de campo de fase, onde a duração / natureza dos fenômenos simulados introduzem preocupações de continuidade de fase (ou seja, pequenas gotas , simulações estendidas, múltiplas interfaces, etc.). ${\ displaystyle f (\ varphi)}$

Limite de interface agudo das equações de campo de fase

Um modelo de campo de fase pode ser construído para reproduzir propositalmente uma determinada dinâmica interfacial representada por um modelo de interface nítido. Nesse caso, o limite agudo da interface (ou seja, o limite quando a largura da interface vai para zero) do conjunto proposto de equações de campo de fase deve ser executado. Este limite é geralmente obtido por expansões assintóticas dos campos do modelo em potências da largura da interface . Essas expansões são realizadas tanto na região interfacial (expansão interna) quanto no volume (expansão externa) e, a seguir, são combinadas assintoticamente ordem por ordem. O resultado fornece uma equação diferencial parcial para o campo difusivo e uma série de condições de contorno na interface, que devem corresponder ao modelo de interface nítido e cuja comparação com ele fornece os valores dos parâmetros do modelo de campo de fase. ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Considerando que tais expansões foram em modelos de campo de fase iniciais realizados até a ordem inferior em apenas, os modelos mais recentes usam assintóticos de ordem superior (limites de interface fina) a fim de cancelar efeitos espúrios indesejados ou incluir nova física no modelo. Por exemplo, esta técnica permitiu cancelar efeitos cinéticos, para tratar casos com difusividades desiguais nas fases, para modelar dedilhado viscoso e fluxos Navier-Stokes bifásicos, para incluir flutuações no modelo, etc. ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Modelos de campo multifásico

Parâmetros de múltiplas ordens descrevem uma microestrutura de material policristalino.

Em modelos de campo multifásico, a microestrutura é descrita por um conjunto de parâmetros de ordem, cada um relacionado a uma fase específica ou orientação cristalográfica. Este modelo é usado principalmente para transformações de fase de estado sólido onde vários grãos evoluem (por exemplo , crescimento de grãos , recristalização ou transformação de primeira ordem como austenita em ferrita em ligas ferrosas). Além de permitir a descrição de vários grãos em uma microestrutura, os modelos de campo multifásico permitem, especialmente, a consideração de várias fases termodinâmicas que ocorrem, por exemplo, em graus de ligas técnicas.

Modelos de campo de fase em gráficos

Muitos dos resultados para modelos de campo de fase contínuo têm análogos discretos para gráficos, apenas substituindo cálculo por cálculo em gráficos .

Modelagem de Campo de Fase em Mecânica da Fratura

A fratura em sólidos é frequentemente analisada numericamente dentro de um contexto de elementos finitos usando representações de fissuras discretas ou difusas. Abordagens que usam uma representação de elemento finito costumam fazer uso de fortes descontinuidades embutidas no nível intra-elemento e muitas vezes exigem critérios adicionais com base em, por exemplo, tensões, densidades de energia de deformação ou taxas de liberação de energia ou outros tratamentos especiais, como técnicas de fechamento de rachadura virtual e remeshing para determinar caminhos de crack. Em contraste, as abordagens que usam uma representação de trinca difusa mantêm a continuidade do campo de deslocamento, como modelos de dano contínuo e teorias de fratura de campo de fase. O último remonta à reformulação do princípio de Griffith em uma forma variacional e tem semelhanças com modelos de tipo de dano aprimorados por gradiente. Talvez a característica mais atraente das abordagens de campo de fase para a fratura seja que o início da trinca e os caminhos da trinca são obtidos automaticamente a partir de um problema de minimização que acopla as energias elástica e de fratura. Em muitas situações, a nucleação da trinca pode ser devidamente contabilizada seguindo os ramos dos pontos críticos associados às soluções elásticas até que percam a estabilidade. Em particular, modelos de campo de fase de fratura podem permitir nucleação mesmo quando a densidade de energia de deformação elástica é espacialmente constante. Uma limitação desta abordagem é que a nucleação é baseada na densidade de energia de deformação e não no estresse. Uma visão alternativa baseada na introdução de uma força motriz de nucleação busca abordar esta questão.

Programas

• PACE3D - Algoritmos Paralelos para Evolução de Cristal em 3D é um pacote de simulação de campo de fase paralelizado incluindo transformações multi-componentes multifásicas, estruturas de grãos em grande escala e acoplamento com fluxo de fluido, interações elásticas, plásticas e magnéticas. É desenvolvido na Universidade de Ciências Aplicadas de Karlsruhe e no Instituto de Tecnologia de Karlsruhe.
• O Projeto de Simulação de Microestrutura de Mesoescala (MMSP) é uma coleção de classes C ++ para simulação de microestrutura baseada em grade.
• O MICRostructure Evolution Simulation Software (MICRESS) é um pacote de simulação de campo multifásico e multicomponente acoplado a bancos de dados termodinâmicos e cinéticos. É desenvolvido e mantido pela ACCESS eV.
• MOOSE estrutura de elementos finitos multifísicos C ++ de código aberto maciçamente paralelo com suporte para simulações de campo de fase desenvolvidas no Laboratório Nacional de Idaho.
• PhasePot é uma ferramenta de simulação de microestrutura baseada em Windows, usando uma combinação de campo de fase e modelos de Monte Carlo Potts.
• OpenPhase é um software de código aberto para a simulação da formação da microestrutura em sistemas em transformação de fase de primeira ordem com base no modelo de campo multifásico.
• mef90 / vDef é um simulador de fratura de campo de fase variacional de código aberto baseado na teoria desenvolvida em.

Referências

Leitura adicional

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