Onda plana - Plane wave

Na física , uma onda plana é um caso especial de onda ou campo : uma quantidade física cujo valor, em qualquer momento, é constante em qualquer plano perpendicular a uma direção fixa no espaço.

Para qualquer posição no espaço e a qualquer momento , o valor de tal campo pode ser escrito como ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle F ({\ vec {x}}, t) = G ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}, t),}

onde é um vetor de comprimento unitário , e é uma função que fornece o valor do campo a partir de apenas dois parâmetros reais : o tempo e o deslocamento escalar do ponto ao longo da direção . O deslocamento é constante em cada plano perpendicular a . ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle G (d, t)}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle d = {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

Os valores do campo podem ser escalares, vetores ou qualquer outra quantidade física ou matemática. Eles podem ser números complexos , como em uma onda plana exponencial complexa . ${\ displaystyle F}$

Quando os valores de são vetores, a onda é considerada uma onda longitudinal se os vetores forem sempre colineares com o vetor , e uma onda transversal se forem sempre ortogonais (perpendiculares) a ele. ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

Tipos especiais

Onda de avião viajando

As frentes de onda de uma onda de avião viajando no espaço 3

Freqüentemente, o termo "onda plana" se refere especificamente a uma onda plana viajante , cuja evolução no tempo pode ser descrita como uma simples translação do campo a uma velocidade de onda constante ao longo da direção perpendicular às frentes de onda. Esse campo pode ser escrito como ${\ displaystyle c}$

{\ displaystyle F ({\ vec {x}}, t) = G \ left ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}} - ct \ right) \,}

onde passa a ser função de um único parâmetro real , que descreve o "perfil" da onda, nomeadamente o valor do campo no tempo , para cada deslocamento . Nesse caso, é chamado de direção de propagação . Para cada deslocamento , o plano móvel perpendicular à distância da origem é chamado de " frente de onda ". Este avião viaja ao longo da direção de propagação com velocidade ; e o valor do campo é então o mesmo e constante no tempo em cada um de seus pontos. ${\ displaystyle G (u)}$ ${\ displaystyle u = d-ct}$ ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle d = {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle d + ct}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle c}$

Onda plana sinusoidal

O termo também é usado, ainda mais especificamente, para significar uma onda plana "monocromática" ou sinusoidal : uma onda plana progressiva cujo perfil é uma função sinusoidal . Isso é, ${\ displaystyle G (u)}$

{\ displaystyle F ({\ vec {x}}, t) = A \ sin \ left (2 \ pi f ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}} - ct) + \ varphi \ direito)\,}

O parâmetro , que pode ser um escalar ou um vetor, é denominado amplitude da onda; o coeficiente escalar é sua "frequência espacial"; e o escalar é sua "fase". ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

Uma verdadeira onda plana não pode existir fisicamente, porque teria que preencher todo o espaço. No entanto, o modelo de onda plana é importante e amplamente utilizado na física. As ondas emitidas por qualquer fonte com extensão finita em uma grande região homogênea do espaço podem ser bem aproximadas por ondas planas quando vistas sobre qualquer parte dessa região que seja suficientemente pequena em comparação com sua distância da fonte. É o caso, por exemplo, das ondas de luz de uma estrela distante que chegam a um telescópio.

Onda estacionária plana

Uma onda estacionária é um campo cujo valor pode ser expresso como o produto de duas funções, uma dependendo apenas da posição, a outra apenas do tempo. Uma onda estacionária plana , em particular, pode ser expressa como

{\ displaystyle F ({\ vec {x}}, t) = G ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}) \, S (t)}

onde é uma função de um parâmetro escalar (o deslocamento ) com valores escalares ou vetoriais, e é uma função escalar de tempo. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle d = {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle S}$

Esta representação não é única, uma vez que os mesmos valores de campo são obtidos se e são escalados por fatores recíprocos. Se é limitado no intervalo de tempo de interesse (que geralmente é o caso em contextos físicos), e pode ser escalado de forma que o valor máximo de seja 1. Então será a magnitude máxima do campo vista no ponto . ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle | S (t) |}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle | S (t) |}$ ${\ displaystyle | G ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}) |}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Propriedades

Uma onda plana pode ser estudada ignorando as direções perpendiculares ao vetor de direção ; isto é, considerando a função como uma onda em um meio unidimensional. ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle G (z, t) = F (z {\ vec {n}}, t)}$

Qualquer operador local , linear ou não, aplicado a uma onda plana produz uma onda plana. Qualquer combinação linear de ondas planas com o mesmo vetor normal também é uma onda plana. ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

Para uma onda plana escalar em duas ou três dimensões, o gradiente do campo é sempre colinear com a direção ; especificamente, onde é a derivada parcial de em relação ao primeiro argumento. ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$ ${\ displaystyle \ nabla F ({\ vec {x}}, t) = {\ vec {n}} \ parcial _ {1} G ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}, t)}$ ${\ displaystyle \ partial _ {1} G}$ ${\ displaystyle G}$

A divergência de uma onda plana com valor vetorial depende apenas da projeção do vetor na direção . Especificamente, ${\ displaystyle G (d, t)}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

{\ displaystyle (\ nabla \ cdot F) ({\ vec {x}}, t) \; = \; {\ vec {n}} \ cdot \ parcial _ {1} G ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}, t)}

Em particular, uma onda plana transversal satisfaz para todos e . ${\ displaystyle \ nabla \ cdot F = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle t}$

Veja também

Referências

Fontes

Brekhovskikh, L. (1980). Waves in Layered Media (2 ed.). Nova York: Academic Press . ISBN 9780323161626.
Jackson, John David (1998). Eletrodinâmica Clássica (3 ed.). Nova York: Wiley . ISBN 9780471309321.

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