Princípios do cálculo hindu -Principles of Hindu Reckoning
Princípios de cálculo hindu ( Kitab fi usul hisab al-hind ) é umlivro de matemática escrito pelo matemático persa dos séculos X e XI Kushyar ibn Labban . É o segundo livro mais antigo existente em árabe sobre a aritmética hindu usando numerais hindu-arábicos (० ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹), precedido por Kibab al-Fusul fi al-Hisub al-Hindi por Abul al-Hassan Ahmad ibn Ibrahim al-Uglidis , escrito em 952.
Embora Al-Khwarzimi também tenha escrito um livro sobre aritmética hindu em 825, seu original em árabe foi perdido e apenas uma tradução do século 12 ainda existe. Kushyar ibn Labban não mencionou as fontes indianas para o cálculo hindu e não existe nenhum livro indiano anterior que cubra os mesmos tópicos discutidos neste livro. Principles of Hindu Reckoning foi uma das fontes estrangeiras do Hindu Reckoning nos séculos 10 e 11 na Índia. Foi traduzido para o inglês por Martin Levey e Marvin Petruck em 1963 a partir do único manuscrito árabe existente na época: Istambul, Biblioteca Aya Sophya, MS 4857 e uma tradução e comentário hebraico de Shālôm ben Joseph 'Anābī.
Tábua de poeira indiana
A aritmética hindu foi conduzida em um painel de poeira semelhante ao painel de contagem chinês . Uma placa de poeira é uma superfície plana com uma camada de areia e forrada com grades. Muito parecido com os numerais da barra de contagem chineses , um espaço em branco em uma grade de sandboard representava zero, e o sinal de zero não era necessário. A mudança de dígitos envolve apagar e reescrever, ao contrário do quadro de contagem.
Contente
Existe apenas uma cópia em árabe existente, agora mantida na Biblioteca Hagia Sophia em Istambul. Há também uma tradução em hebraico com comentários, mantida na Biblioteca Bodleian da Universidade de Oxford . Em 1965, a University of Wisconsin Press publicou uma edição em inglês deste livro traduzida por Martin Levey e Marvin Petruck, com base nas edições em árabe e hebraico. Esta tradução para o inglês incluiu 31 placas de fac-símile do texto original em árabe.
Principles of Hindu Reckoning consiste em duas partes que tratam da aritmética em dois sistemas numéricos na Índia de sua época.
- Parte I lidou principalmente com algoritmo decimal de subtração, multiplicação, divisão, extração de raiz quadrada e raiz cúbica no sistema numeral hindu de valor local . No entanto, uma seção sobre "reduzir pela metade", foi tratada de forma diferente, ou seja, com um híbrido de numeral decimal e sexagesimal.
A semelhança entre o algoritmo hindu decimal com o algoritmo chinês em Sunzi Suanjing é impressionante, exceto pela redução da operação pela metade, pois não havia cálculo decimal / sexagesimal híbrido na China.
- A Parte II tratou da operação de subtração, multiplicação, divisão, extração de raiz quadrada e raiz cúbica no sistema de números sexagesimal . Havia apenas aritmética decimal posicional na China, nunca aritmética sexagesimal.
- Ao contrário Abu'l-Hasan al-Uqlidisi 's Kitab-Fusul fi al-Hisab al-Hindi ( O Aritmética de Al-Uqlidisi ) onde a operação matemática básico de adição, subtracção, multiplicação e divisão foram descritos em palavras, ibn Labban de livro fornecia procedimentos de cálculo reais expressos em algarismos hindu-arábicos.
Aritmética decimal
Adição
Kushyar ibn Labban descreveu em detalhes a adição de dois números.
A adição hindu é idêntica à adição do número da haste em Sunzi Suanjing
| Operação | Cálculo de Rod | Cômputo hindu |
|---|---|---|
| Layout | Organize dois números em duas linhas | Organize dois números em duas linhas |
| ordem de cálculo | da esquerda para a direita | da esquerda para a direita |
| resultado | colocado na linha superior | Colocado na linha superior |
| remova a linha inferior | remover dígito por dígito da esquerda para a direita | dígito não removido |
Houve uma pequena diferença no tratamento da segunda linha, no cálculo hindu, os dígitos da segunda linha desenhados no sandboard permaneceram no lugar do início ao fim, enquanto no cálculo da haste, as hastes das linhas inferiores foram fisicamente removidas e adicionadas à linha superior, dígito por dígito.
Subtração
Na terceira seção de seu livro, Kushyar ibn Labban forneceu algoritmo passo a passo para subtração de 839 de 5625. Os dígitos da segunda linha permaneceram no lugar o tempo todo. No cálculo da barra, o dígito da segunda linha foi removido dígito a dígito no cálculo, deixando apenas o resultado em uma linha.
Multiplicação
A multiplicação Kushyar ibn Labban é uma variação da multiplicação Sunzi.
| Operação | Sunzi | hindu |
|---|---|---|
| multiplicante | colocado na linha superior, | colocado na linha superior, |
| multiplicador | terceira fila | 2ª linha abaixo do multiplicante |
| alinhamento | último dígito do multiplicador com o primeiro dígito do multiplicante | último dígito do multiplicador com o primeiro dígito do multiplicante |
| enchimento multiplicador | espaços em branco do número da haste | espaços em branco do estilo do numeral da haste, não numeral hindu 0 |
| ordem de cálculo | da esquerda para a direita | da esquerda para a direita |
| produtos | colocado na linha central | fundido com multiplicante |
| mudança de multiplicador | uma posição à direita | uma posição à direita |
Divisão
O professor Lam Lay Yong descobriu que o método de divisão hindu descrito por Kushyar ibn Labban é totalmente idêntico à divisão de cálculo de bastão no Sunzi Suanjing do século 5 .
| Operação | Divisão sunzi | Divisão hindu |
|---|---|---|
| dividendo | na linha do meio, | na linha do meio, |
| divisor | divisor na linha inferior | divisor na linha inferior |
| Quociente | colocado na linha superior | colocado na linha superior |
| preenchimento do divisor | espaços em branco do número da haste | espaços em branco do estilo do numeral da haste, não numeral hindu 0 |
| ordem de cálculo | da esquerda para a direita | da esquerda para a direita |
| Divisor de deslocamento | uma posição à direita | uma posição à direita |
| Restante | numerador na linha do meio, denominador na parte inferior | numerador na linha do meio, denominador na parte inferior |
Além do formato, procedimento e fração de resto totalmente idênticos, um sinal revelador que revela a origem desse algoritmo de divisão está no 0 ausente após 243, que no verdadeiro numeral hindu deve ser escrito como 2430, não 243 em branco; o espaço em branco é uma característica dos numerais da haste (e do ábaco).
Divida por 2
A divisão por 2 ou "dividir pela metade" no cálculo hindu foi tratada com um híbrido de números decimais e sexagesimais: Não foi calculado da esquerda para a direita como aritmética decimal, mas da direita para a esquerda: depois de reduzir pela metade o primeiro dígito 5 para obter 2 1 ⁄ 2 , substitua 5 por 2 e escreva 30 abaixo dele :
- 5622
- 30
Resultado final:
- 2812
- 30
Extração de raiz quadrada
Kushyar ibn Labban descreveu o algoritmo para extração de raiz quadrada com exemplo de
O algoritmo de extração de raiz quadrada de Kushyar ibn Labban é basicamente o mesmo que o algoritmo Sunzi
| Operação | Raiz quadrada sunzi | ibn Labban sqrt |
|---|---|---|
| dividendo | na linha do meio, | na linha do meio, |
| divisor | divisor na linha inferior | divisor na linha inferior |
| Quociente | colocado na linha superior | colocado na linha superior |
| preenchimento do divisor | espaços em branco do número da haste | espaços em branco do estilo do numeral da haste, não numeral hindu 0 |
| ordem de cálculo | da esquerda para a direita | da esquerda para a direita |
| divisor dobrando | multiplicado por 2 | multiplicado por 2 |
| Divisor de deslocamento | uma posição à direita | uma posição à direita |
| Quociente de deslocamento | Posicionado no início, sem turno subsequente | uma posição à direita |
| Restante | numerador na linha do meio, denominador na parte inferior | numerador na linha do meio, denominador na parte inferior |
| denominador final | nenhuma mudança | adicionar 1 |
A aproximação da raiz quadrada não perfeita usando o algoritmo Sunzi produz resultados ligeiramente mais altos do que o valor verdadeiro na parte decimal, a aproximação da raiz quadrada de Labban deu um valor ligeiramente mais baixo, as partes inteiras são iguais.
Aritmética sexagesimal
Multiplicação
O formato de multiplicação sexagesimal hindu era completamente diferente da aritmética decimal hindu. O exemplo de Kushyar ibn Labban de 25 graus 42 minutos multiplicado por 18 graus 36 minutos foi escrito verticalmente como
- 18 | 25
- 36 | 42
com um espaço em branco no meio
Influência
Os Princípios de cálculo hindu de Kushyar ibn Labban exerceram forte influência sobre os algoritmos árabes posteriores. Seu aluno al-Nasawi seguiu o método de seu professor. Algorista do século 13, o trabalho de Jordanus de Nemore foi influenciado por al-Nasawi. Ainda no século 16, o nome de ibn Labban ainda era mencionado.