Fórmulas de Newton-Cotes - Newton–Cotes formulas

Na análise numérica , as fórmulas de Newton-Cotes , também chamadas de regras de quadratura de Newton-Cotes ou simplesmente regras de Newton-Cotes , são um grupo de fórmulas para integração numérica (também chamada de quadratura ) com base na avaliação do integrando em pontos igualmente espaçados. Eles são nomeados após Isaac Newton e Roger Cotes .

As fórmulas de Newton-Cotes podem ser úteis se o valor do integrando em pontos igualmente espaçados for fornecido. Se for possível alterar os pontos nos quais o integrando é avaliado, outros métodos, como quadratura Gaussiana e quadratura de Clenshaw-Curtis, são provavelmente mais adequados.

Descrição

Assume-se que o valor de uma função f definida na é conhecido em pontos igualmente espaçados: . Existem duas classes de quadratura de Newton-Cotes: eles são chamados de "fechados" quando e , ou seja, eles usam os valores da função nos pontos finais do intervalo, e "abertos" quando e , ou seja, eles não usam os valores da função nos pontos finais . As fórmulas de Newton-Cotes usando pontos podem ser definidas (para ambas as classes) como ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle a \ leq x_ {0} <x_ {1} <\ dots <x_ {n} \ leq b}$${\ displaystyle x_ {0} = a}$${\ displaystyle x_ {n} = b}$${\ displaystyle x_ {0}> a}$${\ displaystyle x_ {n} <b}$${\ displaystyle n + 1}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ approx \ sum _ {i = 0} ^ {n} w_ {i} \, f (x_ {i})}$

Onde

• para uma fórmula fechada,, com ,${\ displaystyle x_ {i} = a + ih}$${\ displaystyle h = {\ frac {ba} {n}}}$
• para uma fórmula aberta,, com .${\ displaystyle x_ {i} = a + (i + 1) h}$${\ displaystyle h = {\ frac {ba} {n + 2}}}$

O número h é chamado de tamanho do passo , são chamados de pesos . ${\ displaystyle w_ {i}}$

Os pesos podem ser calculados como a integral dos polinômios da base de Lagrange . Eles dependem apenas e não da função f . ${\ displaystyle x_ {i}}$

Seja o polinômio de interpolação na forma de Lagrange para os pontos de dados fornecidos , então ${\ displaystyle L (x)}$${\ displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0})), \ dots, (x_ {n}, f (x_ {n}))}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ approx \ int _ {a} ^ {b} L (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {b} \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} f (x_ {i}) \, l_ {i} (x) \ right) \, dx = \ sum _ {i = 0} ^ {n} f (x_ {i}) \ underbrace {\ int _ {a} ^ {b} l_ {i} (x) \, dx} _ {w_ {i}}.}$

Instabilidade para alto grau

Uma fórmula de Newton-Cotes de qualquer grau n pode ser construída. No entanto, para n grande, uma regra de Newton-Cotes pode, às vezes, sofrer do fenômeno catastrófico de Runge, em que o erro aumenta exponencialmente para n grande . Métodos como quadratura Gaussiana e quadratura de Clenshaw – Curtis com pontos desigualmente espaçados (agrupados nos pontos finais do intervalo de integração) são estáveis ​​e muito mais precisos e são normalmente preferidos a Newton – Cotes. Se esses métodos não puderem ser usados, porque o integrando é dado apenas na grade equidistribuída fixa, então o fenômeno de Runge pode ser evitado usando uma regra composta, conforme explicado a seguir.

Alternativamente, fórmulas de Newton-Cotes estáveis ​​podem ser construídas usando aproximação de mínimos quadrados em vez de interpolação. Isso permite a construção de fórmulas numericamente estáveis, mesmo para graus elevados.

Fórmulas fechadas de Newton-Cotes

Esta tabela lista algumas das fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado. Pois , deixe , e a notação seja uma abreviação de . ${\ displaystyle 0 \ leq i \ leq n}$${\ displaystyle x_ {i} = a + i {\ tfrac {ba} {n}} = a + ih}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f (x_ {i})}$

Fórmulas de Newton-Cotes fechadas

n	Tamanho do passo h	Nome comum	Fórmula	Termo de erro
1	${\ displaystyle ba}$	Regra trapezoidal	${\ displaystyle {\ frac {h} {2}} (f_ {0} + f_ {1})}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {12}} h ^ {3} f ^ {(2)} (\ xi)}$
2	${\ displaystyle {\ frac {ba} {2}}}$	Regra de Simpson	${\ displaystyle {\ frac {h} {3}} (f_ {0} + 4f_ {1} + f_ {2})}$	${\ displaystyle - {\ frac {1} {90}} h ^ {5} f ^ {(4)} (\ xi)}$
3	${\ displaystyle {\ frac {ba} {3}}}$	Regra 3/8 de Simpson	${\ displaystyle {\ frac {3h} {8}} (f_ {0} + 3f_ {1} + 3f_ {2} + f_ {3})}$	${\ displaystyle - {\ frac {3} {80}} h ^ {5} f ^ {(4)} (\ xi)}$
4	${\ displaystyle {\ frac {ba} {4}}}$	Regra de Boole	${\ displaystyle {\ frac {2h} {45}} (7f_ {0} + 32f_ {1} + 12f_ {2} + 32f_ {3} + 7f_ {4})}$	${\ displaystyle - {\ frac {8} {945}} h ^ {7} f ^ {(6)} (\ xi)}$

A regra de Boole é às vezes erroneamente chamada de regra de Bode, como resultado da propagação de um erro tipográfico em Abramowitz e Stegun , um dos primeiros livros de referência.

O expoente do tamanho do segmento h no termo de erro mostra a taxa na qual o erro de aproximação diminui. A ordem da derivada de f no termo de erro fornece o menor grau de um polinômio que não pode mais ser integrado exatamente (ou seja, com erro igual a zero) com esta regra. O número deve ser retirado do intervalo (a, b) . ${\ displaystyle \ xi}$

Fórmulas abertas de Newton-Cotes

Esta tabela lista algumas das fórmulas de Newton-Cotes do tipo aberto. Novamente, é uma abreviação de , com . ${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f (x_ {i})}$${\ displaystyle x_ {i} = a + i {\ frac {ba} {n + 2}}}$

Abrir Fórmulas Newton-Cotes

n	Tamanho do passo h	Nome comum	Fórmula	Termo de erro
0	${\ displaystyle {\ frac {ba} {2}}}$	Regra do retângulo ou regra do ponto médio	${\ displaystyle 2hf_ {1} \,}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} h ^ {3} f ^ {(2)} (\ xi)}$
1	${\ displaystyle {\ frac {ba} {3}}}$	Método trapézio	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} h (f_ {1} + f_ {2})}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} h ^ {3} f ^ {(2)} (\ xi)}$
2	${\ displaystyle {\ frac {ba} {4}}}$	Regra de Milne	${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} h (2f_ {1} -f_ {2} + 2f_ {3})}$	${\ displaystyle {\ frac {14} {45}} h ^ {5} f ^ {(4)} (\ xi)}$
3	${\ displaystyle {\ frac {ba} {5}}}$		${\ displaystyle {\ frac {5} {24}} h (11f_ {1} + f_ {2} + f_ {3} + 11f_ {4})}$	${\ displaystyle {\ frac {95} {144}} h ^ {5} f ^ {(4)} (\ xi)}$

Regras compostas

Para que as regras de Newton-Cotes sejam precisas, o tamanho do passo h precisa ser pequeno, o que significa que o intervalo de integração deve ser pequeno, o que não é verdade na maioria das vezes. Por esse motivo, geralmente se realiza a integração numérica dividindo-se em subintervalos menores, aplicando uma regra de Newton-Cotes em cada subintervalo e somando os resultados. Isso é chamado de regra composta . Consulte Integração numérica . ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle [a, b]}$

Veja também

• Quadratura (matemática)
• Interpolação
• Interpolação de spline

Referências

• M. Abramowitz e IA Stegun, eds. Manual de funções matemáticas com fórmulas, gráficos e tabelas matemáticas . Nova York: Dover, 1972. (Consulte a Seção 25.4.)
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm e Cleve B. Moler. Métodos de computador para cálculos matemáticos . Englewood Cliffs, NJ: Prentice – Hall, 1977. (Ver Seção 5.1.)
• Pressione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 4.1. Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Josef Stoer e Roland Bulirsch. Introdução à Análise Numérica . Nova York: Springer-Verlag, 1980. (Consulte a Seção 3.1.)

links externos

• "Newton-Cotes quadrature formula" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Fórmulas de Newton – Cotes em www.math-linux.com
• Weisstein, Eric W. "Newton – Cotes Formulas" . MathWorld .
• Integração Newton-Cotes , numericalmathematics.com