Equação de Sackur-Tetrode - Sackur–Tetrode equation

A equação de Sackur-Tetrode é uma expressão para a entropia de um gás ideal monoatômico .

É nomeado para Hugo Martin Tetrode (1895-1931) e Otto Sackur (1880-1914), que o desenvolveram independentemente como uma solução das estatísticas de gás de Boltzmann e equações de entropia, mais ou menos na mesma época em 1912.

Fórmula

A equação Sackur-Tetrode expressa a entropia de um gás monatômico ideal em termos de seu estado termodinâmico - especificamente, seu volume , energia interna e o número de partículas : ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ frac {S} {k _ {\ rm {B}} N}} = \ ln \ left [{\ frac {V} {N}} \ left ({\ frac {4 \ pi m} { 3h ^ {2}}} {\ frac {U} {N}} \ right) ^ {3/2} \ right] + {\ frac {5} {2}}}$

onde está a constante de Boltzmann , é a massa de uma partícula de gás e é a constante de Planck . ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle h}$

A equação também pode ser expressa em termos do comprimento de onda térmico : ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ displaystyle {\ frac {S} {k _ {\ rm {B}} N}} = \ ln \ left ({\ frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ right) + {\ frac {5} {2}}}$

Curvas de entropia vs temperatura de gases clássicos e quânticos ideais ( gás Fermi , gás de Bose ) em três dimensões. Embora todos estejam em estreita concordância em altas temperaturas, eles discordam em baixas temperaturas, onde a entropia clássica (equação de Sackur-Tetrode) começa a se aproximar de valores negativos.

Para obter uma derivação da equação Sackur-Tetrode, consulte o paradoxo de Gibbs . Para as restrições impostas à entropia de um gás ideal apenas pela termodinâmica, consulte o artigo sobre o gás ideal .

As expressões acima assumem que o gás está no regime clássico e é descrito pelas estatísticas de Maxwell-Boltzmann (com "contagem correta de Boltzmann"). A partir da definição do comprimento de onda térmico , isso significa que a equação Sackur-Tetrode é válida apenas quando

${\ displaystyle {\ frac {V} {N \ Lambda ^ {3}}} \ gg 1}$

Na verdade, a entropia prevista pela equação de Sackur-Tetrode se aproxima do infinito negativo conforme a temperatura se aproxima de zero.

Constante de Sackur – Tetrode

A constante de Sackur-Tetrode , escrita S ₀ / R , é igual a S / k _B N avaliada a uma temperatura de T  = 1  kelvin , à pressão padrão (100 kPa ou 101,325 kPa, a ser especificado), para um mol de um gás ideal composto por partículas de massa igual à constante de massa atômica ( m _u  =  1,660 539 066 60 (50) × 10 ⁻²⁷  kg ). Seu valor CODATA 2018 recomendado é:

S ₀ / R = -1,151 707 537 06 (45) para p ^o = 100 kPa

S ₀ / R = -1,164 870 523 58 (45) para p ^o = 101,325 kPa.

Interpretação teórica da informação

Além da perspectiva termodinâmica da entropia , as ferramentas da teoria da informação podem ser usadas para fornecer uma perspectiva da entropia da informação . Em particular, é possível derivar a equação de Sackur-Tetrode em termos da teoria da informação. A entropia geral é representada como a soma de quatro entropias individuais, ou seja, quatro fontes distintas de informações ausentes. Estas são a incerteza posicional, a incerteza momentânea, o princípio da incerteza da mecânica quântica e a indistinguibilidade das partículas. Somando as quatro peças, a equação Sackur-Tetrode é então dada como

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {S} {k _ {\ rm {B}} N}} & = [\ ln V] + \ left [{\ frac {3} {2}} \ ln \ left (2 \ pi emk _ {\ rm {B}} T \ right) \ right] + [- 3 \ ln h] + \ left [- {\ frac {\ ln N!} {N}} \ right] \\ & \ approx \ ln \ left [{\ frac {V} {N}} \ left ({\ frac {2 \ pi mk _ {\ rm {B}} T} {h ^ {2}}} \ right ) ^ {\ frac {3} {2}} \ right] + {\ frac {5} {2}} \ end {alinhados}}}$

A derivação usa aproximação de Stirling , . A rigor, o uso de argumentos dimensionados para os logaritmos é incorreto, porém seu uso é um "atalho" feito para simplificar. Se cada argumento logarítmico fosse dividido por um valor padrão não especificado expresso em termos de uma massa padrão não especificada, comprimento e tempo, esses valores padrão seriam cancelados no resultado final, produzindo a mesma conclusão. Os termos de entropia individuais não serão absolutos, mas sim dependerão dos padrões escolhidos e serão diferentes com padrões diferentes por uma constante aditiva. ${\ displaystyle \ ln N! \ approx N \ ln NN}$

Referências

Leitura adicional

• Emch, GG; Liu, C. (2002), Logic of Thermostatistics Physics , Springer-Verlag , Capítulo 3: teoria cinética dos gases .
• Koutsoyiannis, D. (2013), "Física da incerteza, o paradoxo de Gibbs e partículas indistinguíveis", Studies in History and Philosophy of Science Part B , 44 (4): 480-489, Bibcode : 2013SHPMP..44..480K , doi : 10.1016 / j.shpsb.2013.08.007 . (Isso deriva uma equação Sackur-Tetrode de uma maneira diferente, também com base nas informações.)
• Paños, FJ; Pérez, E. (2015), "Sackur – Tetrode equation in the lab", European Journal of Physics , 36 (5): 055033, Bibcode : 2015EJPh ... 36e5033J , doi : 10.1088 / 0143-0807 / 36/5 / 055033 .
• Williams, Richard (2009), "The Sackur – Tetrode Equation: How entropy met Quantum mechanics" , APS News , 18 (8) .