Rotações encadeadas Davenport - Davenport chained rotations

Em física e engenharia , as rotações encadeadas de Davenport são três rotações intrínsecas encadeadas sobre eixos específicos fixados no corpo. As rotações de Euler e as rotações de Tait-Bryan são casos particulares da decomposição de rotação geral de Davenport. Os ângulos de rotação são chamados de ângulos de Davenport porque o problema geral de decompor uma rotação em uma seqüência de três foi estudado primeiro por Paul B. Davenport.

O sistema de coordenadas rotativas não ortogonais pode ser imaginado como rigidamente fixado a um corpo rígido. Nesse caso, às vezes é chamado de sistema de coordenadas local . Sendo os eixos de rotação solidários com o corpo móvel, as rotações generalizadas podem ser divididas em dois grupos (aqui x , y e z referem-se ao quadro móvel não ortogonal):

Rotações de Euler generalizadas

( zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy )

Rotações Tait-Bryan generalizadas

( xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz ) .

A maioria dos casos pertence ao segundo grupo, sendo que as rotações de Euler generalizadas são um caso degenerado em que o primeiro e o terceiro eixos se sobrepõem.

Teorema de rotação de Davenport

Davenport possíveis eixos para as etapas 1 e 3, dado Z como a etapa 2

O problema geral de decompor uma rotação em três movimentos compostos sobre eixos intrínsecos foi estudado por P. Davenport, sob o nome de " ângulos de Euler generalizados ", mas posteriormente esses ângulos foram chamados de "ângulos de Davenport" por M. Shuster e L. Markley.

O problema geral consiste em obter a decomposição matricial de uma rotação dados os três eixos conhecidos. Em alguns casos, um dos eixos é repetido. Este problema é equivalente a um problema de decomposição de matrizes.

Davenport provou que qualquer orientação pode ser alcançada compondo três rotações elementares usando eixos não ortogonais. As rotações elementares podem ocorrer sobre os eixos do sistema de coordenadas fixas ( rotações extrínsecas ) ou sobre os eixos de um sistema de coordenadas rotativo, que é inicialmente alinhado com o fixo e modifica sua orientação após cada rotação elementar ( rotações intrínsecas ).

De acordo com o teorema de Davenport, uma decomposição única é possível se e somente se o segundo eixo for perpendicular aos outros dois eixos. Portanto, os eixos 1 e 3 devem estar no plano ortogonal ao eixo 2.

Portanto, decomposições em rotações encadeadas de Euler e rotações encadeadas de Tait-Bryan são casos particulares disso. O caso Tait – Bryan aparece quando os eixos 1 e 3 são perpendiculares, e o caso Euler aparece quando eles estão sobrepostos.

Sistema completo de rotações

Imagem 2: Avião descansando em um avião

Um conjunto de rotações de Davenport é considerado completo se for suficiente para gerar qualquer rotação do espaço por composição. Falando em termos de matriz, está completo se pode gerar qualquer matriz ortonormal do espaço, cujo determinante é +1. Devido à não comutatividade do produto da matriz, o sistema de rotação deve ser solicitado.

Às vezes, a ordem é imposta pela geometria do problema subjacente. Por exemplo, quando usado para veículos, que têm um eixo especial apontando para a direção "para frente", apenas uma das seis combinações possíveis de rotações é útil. A composição interessante é aquela capaz de controlar o rumo e a elevação da aeronave com uma rotação independente cada.

No desenho adjacente, a composição de guinada, inclinação e rotação (YPR) permite o ajuste da direção de uma aeronave com os dois primeiros ângulos. Uma composição diferente como o YRP permitiria estabelecer a direção do eixo das asas, o que obviamente não é útil na maioria dos casos.

Rotações em cadeia de Tait-Bryan

Os principais eixos de uma aeronave

As rotações de Tait – Bryan são um caso especial em que o primeiro e o terceiro eixos são perpendiculares entre eles. Assumindo que um quadro de referência < x , y , z > com uma convenção como em imagem 2, e um plano com <guinada, arfagem, rolo> eixos como na imagem 1 [ desconhecido dados / faltando ] , encontra-se horizontal no plano <x , y> no início, após realizar as rotações intrínsecas Y, P e R nos eixos de yaw, pitch e roll (nesta ordem), obtemos algo semelhante à imagem 3 [ dados desconhecidos / ausentes ] .

Ângulos de proa, elevação e inclinação após as rotações de guinada, inclinação e rotação (Z-Y'-X '')

No início :

• o eixo do rolo plano está no eixo x do quadro de referência
• o eixo do passo plano está no eixo y do quadro de referência
• o eixo de guinada do plano está no eixo z do quadro de referência

As rotações são aplicadas em ordem yaw, pitch and roll . Nessas condições, o Heading (ângulo no plano horizontal) será igual ao yaw aplicado, e a Elevation será igual ao pitch.

Expressões matriciais para as três rotações Tait-Bryan em 3 dimensões são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \\ R_ {x} (\ phi) = \ mathrm {Roll} (\ phi) & = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos \ phi & - \ sin \ phi \\ 0 & \ sin \ phi & \ cos \ phi \ end {bmatriz}} \\ R_ {y} (\ theta) = \ mathrm {Pitch} (\ theta) & = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & 0 & \ sin \ theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \ sin \ theta & 0 & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} \\ R_ {z} (\ psi) = \ mathrm {Yaw} (\ psi) & = { \ begin {bmatrix} \ cos \ psi & - \ sin \ psi & 0 \\\ sin \ psi & \ cos \ psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}. \ end {alinhado}}}$

A matriz das rotações compostas é

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} M & = \ mathrm {Yaw} (\ psi) \, \ mathrm {Pitch} (\ theta) \, \ mathrm {Roll} (\ phi) \\ & = R_ {z} (\ psi) R_ {y} (\ theta) R_ {x} (\ phi). \ end {alinhado}}}$

Das seis combinações possíveis de guinada, inclinação e rotação, esta combinação é a única em que o rumo (direção do eixo de rotação) é igual a uma das rotações (a guinada) e a elevação (ângulo do eixo de rotação com o plano horizontal) é igual a outra das rotações (ao passo).

Rotações encadeadas de Euler

Posição inicial de uma aeronave para aplicar ângulos de Euler adequados

As rotações de Euler aparecem como o caso especial em que o primeiro e o terceiro eixos de rotação se sobrepõem. Essas rotações de Euler estão relacionadas aos ângulos de Euler adequados, que foram pensados ​​para estudar o movimento de um corpo rígido como um planeta. O ângulo para definir a direção do eixo de rotação é normalmente denominado "longitude do eixo de revolução" ou "longitude da linha de nós" em vez de "direção", o que não faz sentido para um planeta.

De qualquer forma, as rotações de Euler ainda podem ser usadas quando se fala de um veículo, embora tenham um comportamento estranho. Como o eixo vertical é a origem dos ângulos, ele é denominado "inclinação" em vez de "elevação". Como antes, ao descrever a atitude de um veículo, há um eixo considerado apontando para frente e, portanto, apenas uma das combinações possíveis de rotações será útil.

A combinação depende de como os eixos são obtidos e de qual é a posição inicial do plano. Utilizando o do desenho, e combinando as rotações de forma que um eixo se repita, somente roll-pitch-roll permitirá controlar a longitude e a inclinação com uma rotação cada.

As três matrizes a multiplicar são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} R_ {z} (\ phi) = \ mathrm {Roll} _ {1} (\ phi) & = {\ begin {bmatrix} \ cos \ phi & - \ sin \ phi & 0 \\\ sin \ phi & \ cos \ phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatriz}} \\ R_ {y} (\ theta) = \ mathrm {Pitch} (\ theta) & = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & 0 & \ sin \ theta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \ sin \ theta & 0 & \ cos \ theta \ end {bmatriz}} \\ R_ {z} (\ psi) = \ mathrm {Roll} _ {2} ( \ psi) & = {\ begin {bmatrix} \ cos \ psi & - \ sin \ psi & 0 \\\ sin \ psi & \ cos \ psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}. \ end {alinhado}} }$

Nesta convenção, o Roll ₁ impõe o "rumo", o pitch é a "inclinação" (complementar da elevação) e o Roll ₂ impõe a "inclinação".

Conversão para rotações extrínsecas

Uma rotação representada por ângulos de Euler ( α , β , γ ) = (−60 °, 30 °, 45 °), usando rotações intrínsecas z-x'-z ″

A mesma rotação representada por (γ, β, α) = (45 °, 30 °, −60 °), usando rotações extrínsecas zxz

As rotações de Davenport são geralmente estudadas como uma composição de rotação intrínseca, devido à importância dos eixos fixados em um corpo em movimento, mas podem ser convertidas em uma composição de rotação extrínseca, caso seja mais intuitiva.

Qualquer rotação extrínseca é equivalente a uma rotação intrínseca pelos mesmos ângulos, mas com ordem invertida das rotações elementares e vice-versa. Por exemplo, as rotações intrínsecas x-y'-z ″ pelos ângulos α , β , γ são equivalentes às rotações extrínsecas zyx pelos ângulos γ , β , α . Ambos são representados por uma matriz

${\ displaystyle R = X (\ alpha) Y (\ beta) Z (\ gamma)}$

se R é usado para pré-multiplicar vetores de coluna , e por uma matriz

${\ displaystyle R = Z (\ gamma) Y (\ beta) X (\ alpha)}$

se R é usado para pós-multiplicar vetores de linha . Consulte Ambiguidades na definição de matrizes de rotação para obter mais detalhes.

Relação com movimentos físicos

Rotações intrínsecas

As rotações intrínsecas são rotações elementares que ocorrem em torno dos eixos do sistema de coordenadas de rotação XYZ , que muda sua orientação após cada rotação elementar. O sistema XYZ gira, enquanto xyz é fixo. Começando com XYZ sobreposto a xyz , uma composição de três rotações intrínsecas pode ser usada para alcançar qualquer orientação de destino para XYZ . Os ângulos de Euler ou Tait-Bryan ( α , β , γ ) são as amplitudes dessas rotações elementares. Por exemplo, a orientação do alvo pode ser alcançada da seguinte forma:

• O sistema XYZ gira em α em torno do eixo Z (que coincide com o eixo z ). O eixo X agora está na linha de nós.
• O sistema XYZ gira em torno do eixo X agora girado por β . O eixo Z está agora em sua orientação final e o eixo X permanece na linha de nós.
• O sistema XYZ gira uma terceira vez em torno do novo eixo Z por γ .

A notação mencionada acima nos permite resumir isso da seguinte maneira: as três rotações elementares do sistema XYZ ocorrem em torno de z , x 'e z ″. Na verdade, essa seqüência é freqüentemente denotada como z-x'-z ″ . Conjuntos de eixos de rotação associados a ângulos de Euler e ângulos de Tait-Bryan apropriados são comumente nomeados usando esta notação (veja detalhes acima). Às vezes, a mesma sequência é simplesmente chamada de zxz , ZXZ ou 3-1-3 , mas essa notação pode ser ambígua, pois pode ser idêntica à usada para rotações extrínsecas. Nesse caso, torna-se necessário especificar separadamente se as rotações são intrínsecas ou extrínsecas.

Matrizes de rotação podem ser usadas para representar uma sequência de rotações intrínsecas. Por exemplo,

${\ displaystyle R = X (\ alpha) Y (\ beta) Z (\ gamma)}$

representa uma composição de rotações intrínsecas sobre os eixos x-y'-z ″ , se usado para pré-multiplicar vetores de coluna , enquanto

${\ displaystyle R = Z (\ gamma) Y (\ beta) X (\ alpha)}$

representa exatamente a mesma composição quando usado para pós-multiplicação de vetores de linha . Consulte Ambiguidades na definição de matrizes de rotação para obter mais detalhes.

Rotações extrínsecas

Rotações extrínsecas são rotações elementares que ocorrem em torno dos eixos do sistema de coordenadas fixas xyz . O sistema XYZ gira, enquanto xyz é fixo. Começando com XYZ sobreposto a xyz , uma composição de três rotações extrínsecas pode ser usada para atingir qualquer orientação de destino para XYZ . Os ângulos de Euler ou Tait-Bryan ( α , β , γ ) são as amplitudes dessas rotações elementares. Por exemplo, a orientação do alvo pode ser alcançada da seguinte forma:

• O sistema XYZ gira em torno do eixo z por α . O eixo X está agora no ângulo α em relação ao eixo x .
• O sistema XYZ gira novamente em torno do eixo x por β . O eixo Z está agora no ângulo β em relação ao eixo z .
• O sistema XYZ gira uma terceira vez em torno do eixo z por γ .

Em suma, as três rotações elementares ocorrem em torno de z , x e z . Na verdade, essa sequência é freqüentemente denotada como zxz (ou 3-1-3). Conjuntos de eixos de rotação associados a ângulos de Euler e ângulos de Tait – Bryan apropriados são comumente nomeados usando esta notação (veja detalhes acima).

Matrizes de rotação podem ser usadas para representar uma sequência de rotações extrínsecas. Por exemplo,

${\ displaystyle R = Z (\ gamma) Y (\ beta) X (\ alpha)}$

representa uma composição de rotações extrínsecas sobre os eixos xyz , se usado para pré-multiplicar vetores de coluna , enquanto

${\ displaystyle R = X (\ alpha) Y (\ beta) Z (\ gamma)}$

representa exatamente a mesma composição quando usado para pós-multiplicação de vetores de linha . Consulte Ambiguidades na definição de matrizes de rotação para obter mais detalhes.

Conversão entre rotações intrínsecas e extrínsecas

Uma rotação representada por ângulos de Euler ( α , β , γ ) = (−60 °, 30 °, 45 °), usando rotações intrínsecas z-x'-z ″

A mesma rotação representada por (γ, β, α) = (45 °, 30 °, −60 °), usando rotações extrínsecas zxz

Qualquer rotação extrínseca é equivalente a uma rotação intrínseca pelos mesmos ângulos, mas com ordem invertida das rotações elementares e vice-versa. Por exemplo, as rotações intrínsecas x-y'-z ″ pelos ângulos α , β , γ são equivalentes às rotações extrínsecas zyx pelos ângulos γ , β , α . Ambos são representados por uma matriz

${\ displaystyle R = X (\ alpha) Y (\ beta) Z (\ gamma)}$

se R é usado para pré-multiplicar vetores de coluna , e por uma matriz

${\ displaystyle R = Z (\ gamma) Y (\ beta) X (\ alpha)}$

se R é usado para pós-multiplicar vetores de linha . Consulte Ambiguidades na definição de matrizes de rotação para obter mais detalhes.

A prova da conversão no caso de pré-multiplicação

A matriz de rotação da sequência de rotação intrínseca x-y'-z ″ pode ser obtida pelas rotações sequenciais do elemento intrínseco da direita para a esquerda:

${\ displaystyle R = Z''Y'X.}$

Nesse processo, existem três quadros relacionados na sequência de rotação intrínseca. Vamos denotar o quadro 0 como o quadro inicial, o quadro 1 após a primeira rotação em torno do eixo x , o quadro 2 após a segunda rotação em torno do eixo y ' e o quadro 3 como a terceira rotação em torno do eixo z ″ .

Visto que uma matriz de rotação pode ser representada entre esses três quadros, vamos usar o índice do ombro esquerdo para denotar o quadro de representação. A seguinte notação significa a matriz de rotação que transforma a estrutura de um para o quadro b e que está representado no quadro C  :

${\ displaystyle {} ^ {c} \! R_ {a \ rightarrow b}.}$

Uma matriz de rotação de elemento intrínseco representada naquele quadro onde a rotação acontece tem o mesmo valor que aquele da matriz de rotação de elemento extrínseco correspondente:

${\ displaystyle {} ^ {0} \! R_ {1 \ rightarrow 0} = X, \ quad {} ^ {1} \! R_ {2 \ rightarrow 1} = Y, \ quad {} ^ {2} \ ! R_ {3 \ rightarrow 2} = Z.}$

A matriz de rotação do elemento intrínseco Y ' e Z ″ representada no quadro 0 pode ser expressa como outras formas:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} Y '& = {} ^ {0} \! R_ {2 \ rightarrow 1} \\ & = {} ^ {0} \! R_ {1 \ rightarrow 0} {} ^ {1} \! R_ {2 \ rightarrow 1} {} ^ {0} \! R_ {1 \ rightarrow 0} ^ {- 1} \\ & = XYX ^ {- 1} \\ [3pt] Z '' & = {} ^ {0} \! R_ {3 \ rightarrow 2} \\ & = {} ^ {0} \! R_ {1 \ rightarrow 0} {} ^ {1} \! R_ {3 \ rightarrow 2 } {} ^ {0} \! R_ {1 \ rightarrow 0} ^ {- 1} \\ & = X \ left ({} ^ {1} \! R_ {2 \ rightarrow 1} {} ^ {2} \! R_ {3 \ rightarrow 2} {} ^ {1} \! R_ {2 \ rightarrow 1} ^ {- 1} \ right) X ^ {- 1} \\ & = XYZY ^ {- 1} X ^ {-1} \ end {alinhado}}}$

As duas equações acima são substituídas pela primeira equação:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} R & = Z''Y'X \\ & = \ left (XYZY ^ {- 1} X ^ {- 1} \ right) \ left (XYX ^ {- 1} \ right ) X \\ & = XYZY ^ {- 1} \ left (X ^ {- 1} X \ right) Y \ left (X ^ {- 1} X \ right) \\ & = XYZ \ left (Y ^ { -1} Y \ right) \\ & = XYZ \ end {alinhado}}}$

Portanto, a matriz de rotação de uma sequência de rotação do elemento intrínseco é a mesma da sequência de rotação do elemento extrínseco inverso:

${\ displaystyle R = Z''Y'X = XYZ.}$

Veja também

• Decomposição de matriz
• Rotação de Givens

Referências