polinomial trigonométrica - Trigonometric polynomial

Nos matemáticas subcampos de análise numérica e análise matemática , uma polinomial trigonométrica é um finito combinação linear de funções sin ( nx ) e cos ( nx ) com n assumir os valores de um ou mais números naturais . Os coeficientes pode ser tomado como números reais, para funções reais. Para coeficientes complexos , não há diferença entre tais uma função e um finito série de Fourier .

Polinómios trigonométricas são amplamente utilizados, por exemplo, na interpolação trigonométrica aplicada à interpolação de funções periódicas . Eles são usados também na transformação discreta de Fourier .

O termo polinomial trigonométrica para o caso de valor real pode ser visto como utilizar a analogia : as funções sin ( nx ) e cos ( nx ) são semelhantes à base monomial para polinômios . No caso complexo polinômios trigonométricas são medidos pelos poderes positivos e negativos de e ^ix .

Definição formal

Qualquer função T da forma de

${\ Displaystyle T (x) = a_ {0} + \ soma _ {n = 1} ^ {n} A_ {n} \ cos (nx) + i \ soma _ {n = 1} ^ {N} b_ { n} \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R})}$

com por , é chamado um polinómio complexo trigonométrica de grau N ( Rudin 1987 , p. 88). Usando a fórmula de Euler o polinomial pode ser reescrita como ${\ Displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle 0 \ leq n \ leq N}$

${\ Displaystyle T (x) = \ soma _ {n = -N ^} {N} C_ {n} e ^} {inx \ qquad (x \ in \ mathbb {R}).}$

Analogamente, deixando e ou , então, ${\ A_ displaystyle {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {R}, \ quad 0 \ leq n \ leq N}$${\ Displaystyle a_ {N} \ neq 0}$${\ Displaystyle b_ {N} \ neq 0}$

${\ Displaystyle t (x) = a_ {0} + \ soma _ {n = 1} ^ {n} A_ {n} \ cos (nx) + \ soma _ {n = 1} ^ {N} b_ {n } \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R})}$

é chamado um polinómio verdadeiro trigonométrica de grau N ( Powell, 1981 , p. 150).

propriedades

Um polinomial trigonométrico pode ser considerada uma função periódica sobre o eixo real , com período algum múltiplo de 2 π , ou como uma função no círculo unitário .

Um resultado de base é que os polinómios trigonométricas são denso no espaço de funções contínuas sobre o círculo unitário, com a norma uniforme ( Rudin 1987 , Thm 4,25); este é um caso especial do teorema de pedra de Weierstrass . Mais concretamente, para cada ƒ e função contínua cada ε> 0, existe um polinômio trigonométrico T tal que | ƒ ( z ) - T ( z ) | < Ε para todos z . O teorema de Pest afirma que as médias aritméticas das somas parciais da série de Fourier de ƒ convergem uniformemente para ƒ, fornecida ƒ é contínua no círculo, dando assim uma forma explícita para encontrar um polinomial trigonométrica de aproximação T .

Um polinomial trigonométrica de grau N tem um máximo de 2 N raízes em qualquer intervalo aberto [ um , um + 2 π ) com um de R , a menos que seja a função zero ( Powell, 1981 , p. 150).

Referências

• Powell, Michael JD (1981), Teoria da Aproximação e Métodos , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-29514-7
• Rudin, Walter (1987), análise real e complexa , Nova Iorque (3a ed.): McGraw-Hill , ISBN  978-0-07-054234-1 , MR  0.924.157.