undersampling - Undersampling

Figura 1: Os gráficos mostram topo 2 transformadas de Fourier 2 de funções diferentes, que produzem os mesmos resultados quando amostrado a uma frequência particular. A função de banda de base é amostrado mais rápido do que a sua taxa de Nyquist, e a função passa-banda é subamostrados, eficazmente convertê-lo para a banda de base. Os gráficos mais baixos indicam como idênticos resultados espectrais são criados pelos pseudônimos do processo de amostragem.

Lote de taxas de amostragem (eixo y) versus a frequência borda superior (eixo x) para uma banda de largura 1; áreas cinzas são combinações que são "autorizados" no sentido de que não há duas frequências no alias banda a mesma frequência. As zonas cinzentas escuras correspondem à Undersampling com o valor máximo de n nas equações desta secção.

No processamento de sinais , undersampling ou de amostragem passa banda é uma técnica em que um amostras de um passa-banda do sinal filtrado pela uma taxa de amostragem inferior à sua taxa de Nyquist (o dobro do superior frequência de corte ), mas ainda é capaz de reconstruir o sinal.

Quando um sinal de passa-banda undersamples um, as amostras são indistinguíveis das das amostras de uma baixa frequência aliás do sinal de alta frequência. Esta amostragem é também conhecido como amostragem passa banda, amostragem harmónica, se a amostragem, e a conversão directa SE-para-digital.

Descrição

As transformadas de Fourier de funções reais são simétricos em torno do 0 Hz eixo. Após amostragem, apenas um somatório periódica da transformada de Fourier (chamado de tempo discreto com transformada de Fourier ) ainda está disponível. As cópias individuais deslocou-frequência do original transformar são chamados aliases . O desvio de frequência entre os pseudónimos adjacentes é a taxa de amostragem, denotado por f _s . Quando os nomes alternativos são mutuamente exclusivas (espectralmente), transformar o original e a função contínua original, ou uma versão do mesmo (se desejado) deslocou-frequência, pode ser recuperado a partir das amostras. Os primeiros e terceiros gráficos da Figura 1 representam uma banda de base do espectro, antes e depois de serem amostrados a uma taxa que separa completamente os pseudónimos.

O segundo gráfico da Figura 1 ilustra o perfil de uma função de passagem de banda ocupando a banda (frequência A , A + B sua imagem no espelho (bege sombreada)) (azul claro) e. A condição para uma taxa de amostragem não destrutiva é que os pseudónimos de ambas as bandas não se sobreponham quando deslocado por todos os múltiplos inteiros da f _s . O quarto gráfico representa o resultado espectral de amostragem a mesma taxa que a função de banda de base. A taxa foi escolhido por encontrar a menor taxa que é um sub-múltiplo inteiro de A e também satisfaz a banda base critério de Nyquist : f _s  > 2 B . Por conseguinte, a função passa-banda tem efectivamente sido convertido para banda de base. Todas as outras taxas que evitam sobreposição são dadas por estes parâmetros mais gerais, onde A e A + B são substituídos por F _L e M _H , respectivamente :

${\ Displaystyle {\ frac {2f_ {H}} {n}} \ leq f_ {s} \ leq {\ frac {2f_ {L}} {n-1}}}$, Para qualquer número inteiro n satisfatória:${\ Displaystyle 1 \ leq n \ leq \ esquerda \ lfloor {\ frac {f_ {H}} {f_ {H} -f_ {L}}} \ direita \} rfloor$

A maior n para o qual a condição é leva satisfeitos, para as taxas mais baixas de amostragem possíveis.

Sinais importantes deste tipo incluem intermediário-freqüência de um rádio (IF) de sinal, rádio-frequência (RF), e os individuais canais de um banco de filtros .

Se n > 1, então as condições resultam no que é por vezes referido como subamostragem , amostragem passa banda , ou usando uma taxa de amostragem inferior à taxa de Nyquist (2 f _H ). Para o caso de uma dada frequência de amostragem, fórmulas mais simples para identificar as restrições de banda espectral do sinal são dadas abaixo.

Espectro da banda de rádio FM (88-108 MHz) e o seu nome alternativo de banda-base abaixo dos 44 MHz ( n = 5) de amostragem. Um filtro anti-Alias bastante apertado para a banda de rádio FM é necessária, e não há espaço para estações em canais de expansão próximas, como 87,9 sem aliasing.

Espectro da banda de rádio FM (88-108 MHz) e o seu nome alternativo de banda de base sob 56 MHz ( n = 4) de amostragem, que mostra muito espaço para bandas de transição de filtro passa-banda de suavização de serrilhado. A imagem de banda de base é no presente caso (mesmo inverteu-frequência n ).

Exemplo: Considere rádio FM para ilustrar a idéia de undersampling.

Nos EUA, rádio FM opera na banda de frequência de f _L = 88 MHz para F _H = 108 MHz. A largura de banda é dada por

${\ Displaystyle W = f_ {H} -f_ {L} = 108 \ \ mathrm {MHz} -88 \ \ mathrm {MHz} = 20 \ \ mathrm {MHz}}$

As condições de amostragem estiver satisfeito, por

${\ Displaystyle 1 \ leq n \ leq \ lfloor 5,4 \ rfloor = \ \ lfloor esquerda {108 \ \ mathrm {MHz} \ em mais de 20 \ \ mathrm {MHz}} \ direita \} rfloor$

Por conseguinte, n pode ser 1, 2, 3, 4, ou 5.

O valor de n = 5 dá as mais baixas frequências de amostragem intervalo e este é um cenário de subamostragem. Neste caso, o espectro do sinal se encaixa entre 2 e 2,5 vezes a taxa de amostragem (superior a 86,4-88 MHz, mas menor do que 108-110 MHz).${\ Displaystyle 43,2 \ \ mathrm {MHz} <f _ {\ mathrm {s}} <44 \ \ mathrm {MHz}}$

Um valor mais baixo de n também levará a uma taxa de amostragem útil. Por exemplo, utilizando-se n = 4, o espectro de banda FM se encaixa facilmente entre 1,5 e 2,0 vezes a taxa de amostragem, para uma taxa de amostragem de perto de 56 MHz (múltiplos da frequência de Nyquist sendo 28, 56, 84, 112, etc.). Veja as ilustrações à direita.

Quando undersampling um sinal do mundo real, o circuito de amostragem deve ser rápido o suficiente para capturar a maior frequência de sinal de interesse. Teoricamente, cada amostra deve ser tomado durante um infinitamente pequeno intervalo, mas isso não for exequível. Em vez disso, a amostragem do sinal deve ser feita em um intervalo bastante curto que pode representar o valor instantâneo do sinal com a frequência mais elevada. Isto significa que, no exemplo de rádio FM acima, o circuito de amostragem tem de ser capaz de captar um sinal com uma frequência de 108 MHz, não 43,2 MHz. Assim, a frequência de amostragem pode ser apenas um pouco maior que 43,2 MHz, mas a largura de banda de entrada do sistema deve ser de pelo menos 108 MHz. Do mesmo modo, a precisão da temporização de amostragem, ou a incerteza de abertura do dispositivo de amostragem, a frequência do conversor analógico-para-digital , deve ser apropriado para as frequências serem amostrados 108MHz, não a taxa de amostragem inferior.

Se o teorema de amostragem é interpretado como requerendo a duas vezes a frequência mais alta, então a taxa de amostragem necessária seria assumido como sendo maior do que o de Nyquist taxa de 216 MHz. Enquanto isso faz satisfazer a última condição da taxa de amostragem, é grosseiramente sobre-amostrado.

Note-se que se uma banda é amostrado com n > 1, então um filtro passa-banda é necessário para o filtro anti-aliasing , em vez de um filtro passa-baixo.

Como vimos, a condição normal de banda de base para a amostragem é reversível que X ( f ) = 0 fora do intervalo :   ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ left (- {\ frac {1} {2}} f _ {\ mathrm {s}}, {\ frac {1} {2}} f _ {\ mathrm {s}} \ right), }$

e a função de interpolação reconstrutiva, ou resposta ao impulso do filtro passa baixo, é  ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ operatorname {sinc} \ left (t / T \ right).}$

Para acomodar subamostragem, o estado de passagem de banda é que X ( f ) = 0 fora da união de faixas de frequência positivos e negativos abertas

${\ Displaystyle \ esquerda (- {\ frac {n} {2}} f _ {\ mathrm {s}}, - {\ frac {n-1} {2}} f _ {\ mathrm {s}} \ direita) \ chávena \ esquerda ({\ frac {n-1} {2}} f _ {\ mathrm {s}}, {\ frac {n} {2}} f _ {\ mathrm {s}} \ direita)}$para algum inteiro positivo .${\ Displaystyle n \,}$

que inclui a condição de banda de base normal, caso n = 1 (com excepção de que, quando os intervalos se encontram em 0 de frequência, que pode ser fechada).

A função de interpolação correspondente é o filtro passa-banda dada por esta diferença de respostas de impulso passa baixo :

${\ Displaystyle n \ operatorname {sinc} \ esquerda ({\ frac {nt} {T}} \ direito) - (n-1) \ operatorname {sinc} \ esquerda ({\ frac {(n-1) t} {T}} \ right)}$.

Por outro lado, a reconstrução não é geralmente o objetivo com sinais IF ou RF amostrados. Em vez disso, a sequência de amostras pode ser tratada como amostras normais do sinal de frequência de banda-base deslocada para-perto, e para a desmodulação digital pode proceder com base nisso, reconhecendo o espectro de espelhamento quando n é mesmo.

Outras generalizações de undersampling para o caso de sinais com várias bandas são possíveis, e os sinais de mais de domínios multidimensionais (espaço ou espaço-tempo) e foram elaborados em detalhe por Igor Kluvánek .

Veja também

• Garoa (processamento de imagem)

Referências