Sistema de massa variável - Variable-mass system

Foguetes , que perdem quantidades significativas de massa como combustível durante o vôo, são um exemplo de sistema de massa variável.

Em mecânica , um sistema de massa variável é uma coleção de matéria cuja massa varia com o tempo . Pode ser confuso tentar aplicar a segunda lei do movimento de Newton diretamente a tal sistema. Em vez disso, a dependência do tempo da massa m pode ser calculada reorganizando a segunda lei de Newton e adicionando um termo para explicar o momento transportado pela massa que entra ou sai do sistema. A equação geral do movimento de massa variável é escrita como

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ext}} + \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = m {\ mathrm {d} \ mathbf {v} \ over \ mathrm {d} t}}$

onde F _ext é a força externa líquida no corpo, v _rel é a velocidade relativa da massa que escapa ou entra em relação ao centro de massa do corpo ev é a velocidade do corpo. Na astrodinâmica , que lida com a mecânica dos foguetes , o termo v _rel é freqüentemente chamado de velocidade de exaustão efetiva e denotado por v _e .

Derivação

Existem diferentes derivações para a equação de movimento do sistema de massa variável, dependendo se a massa está entrando ou saindo de um corpo (em outras palavras, se a massa do corpo em movimento está aumentando ou diminuindo, respectivamente). Para simplificar os cálculos, todos os corpos são considerados partículas . Também é assumido que a massa é incapaz de aplicar forças externas no corpo fora dos eventos de acreção / ablação.

Acréscimo de massa

No instante uma, uma massa d m com velocidade relativa de u é de cerca de colidir com o corpo principal de massa m e a velocidade v . Após um tempo d t , no instante 2, ambas as partículas se movem como um corpo com velocidade v  + d v .

A seguinte derivação é para um corpo que está ganhando massa ( acreção ). Um corpo de massa variável no tempo m se move a uma velocidade v em um tempo inicial t . No mesmo instante, uma partícula de massa dm se move com a velocidade u . O momento inicial pode ser escrito como

${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {\ mathrm {1}} = m \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ mathrm {d} m}$

Agora, em um tempo t + d t , deixe o corpo principal e a partícula se acumularem em um corpo de velocidade v + d v . Assim, o novo momento do sistema pode ser escrito como

${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {\ mathrm {2}} = (m + \ mathrm {d} m) (\ mathbf {v} + \ mathrm {d} \ mathbf {v}) = m \ mathbf {v } + m \ mathrm {d} \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ mathrm {d} m + \ mathrm {d} m \ mathrm {d} \ mathbf {v}}$

Uma vez que d m d v é o produto de dois pequenos valores, ele pode ser ignorado, o que significa que durante d t o momento do sistema varia para

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathbf {p} _ {\ mathrm {2}} - \ mathbf {p} _ {\ mathrm {1}} = (m \ mathbf {v} + m \ mathrm {d} \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ mathrm {d} m) - (m \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \ mathrm {d} m) = m \ mathrm { d} \ mathbf {v} - (\ mathbf {u} - \ mathbf {v}) \ mathrm {d} m}$

Portanto, pela segunda lei de Newton

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ext}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {m \ mathrm { d} \ mathbf {v} - (\ mathbf {u} - \ mathbf {v}) \ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} - (\ mathbf {u} - \ mathbf {v}) {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}}$

Notando que u - v é a velocidade de d m em relação a m , simbolizado por v _rel , esta equação final pode ser disposto como

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ext}} + \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = m {\ mathrm {d} \ mathbf {v} \ over \ mathrm {d} t}}$

Ablação / ejeção em massa

Em um sistema onde a massa está sendo ejetada ou ablacionada de um corpo principal, a derivação é ligeiramente diferente. No tempo t , deixe uma massa m viajar a uma velocidade v , o que significa que o momento inicial do sistema é

${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {\ mathrm {1}} = m \ mathbf {v}}$

Supondo que u seja a velocidade da massa ablacionada d m em relação ao solo, no momento t + d t o momento do sistema torna-se

${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {\ mathrm {2}} = (m- \ mathrm {d} m) (\ mathbf {v} + \ mathrm {d} \ mathbf {v}) - \ mathbf {u } \ mathrm {d} m = m \ mathbf {v} + m \ mathrm {d} \ mathbf {v} - \ mathbf {v} \ mathrm {d} m- \ mathrm {d} m \ mathrm {d} \ mathbf {v} - \ mathbf {u} \ mathrm {d} m}$

onde u é a velocidade da massa ejetada em relação ao solo, e é negativa porque a massa ablacionada se move na direção oposta à massa. Assim, durante d t o momento do sistema varia para

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathbf {p} _ {\ mathrm {2}} - \ mathbf {p} _ {\ mathrm {1}} = (m \ mathbf {v} + m \ mathrm {d} \ mathbf {v} - \ mathrm {d} \ mathbf {m} \ mathrm {d} \ mathbf {v} - \ mathbf {v} \ mathrm {d} m- \ mathbf {u} \ mathrm {d} m) - (m \ mathbf {v}) = m \ mathrm {d} \ mathbf {v} - (\ mathbf {v} + \ mathrm {d} \ mathbf {v} + \ mathbf { u}) \ mathrm {d} m}$

A velocidade relativa v _rel da massa ablacionada em relação à massa m é escrita como

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} = \ mathbf {u} - (- \ mathbf {v} - \ mathrm {d} \ mathbf {v}) = \ mathbf {v} + \ mathrm {d} \ mathbf {v} + \ mathbf {u}}$

Portanto, a mudança no momento pode ser escrita como

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} = m \ mathrm {d} \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} \ mathrm {d} m}$

Portanto, pela segunda lei de Newton

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ext}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {m \ mathrm { d} \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} \ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} - \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}}$

Portanto, a equação final pode ser organizada como

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ext}} + \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = m {\ mathrm {d} \ mathbf {v} \ over \ mathrm {d} t}}$

Formulários

Quando liberado, esse balão- foguete ejeta uma quantidade significativa de sua massa na forma de ar, causando uma grande aceleração.

Pela definição de aceleração , a = d v / d t , então a equação de movimento do sistema de massa variável pode ser escrita como

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ext}} + \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a}}$

Nos corpos que não são tratados como partículas a deve ser substituída por um _cm , a aceleração do centro de massa do sistema, ou seja,

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ext}} + \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a} _ {\ mathrm {cm}}}$

Muitas vezes, a força devido ao empuxo é definida como de modo que ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {impulso}} = \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} }$

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {ext}} + \ mathbf {F} _ {\ mathrm {impulso}} = m \ mathbf {a} _ {\ mathrm {cm}}}$

Esta forma mostra que um corpo pode ter aceleração devido ao empuxo mesmo que nenhuma força externa atue sobre ele ( F _ext = 0). Observe, finalmente, que se deixarmos F _net ser a soma de F _ext e F _empuxo , a equação recupera a forma usual da segunda lei de Newton:

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {\ mathrm {net}} = m \ mathbf {a} _ {\ mathrm {cm}}}$

Equação de foguete ideal

Razões de massa do foguete versus velocidade final calculada a partir da equação do foguete

A equação do foguete ideal , ou a equação do foguete de Tsiolkovsky , pode ser usada para estudar o movimento de veículos que se comportam como um foguete (onde um corpo se acelera ao ejetar parte de sua massa, um propelente , em alta velocidade). Pode ser derivado da equação geral de movimento para sistemas de massa variável da seguinte forma: quando nenhuma força externa atua sobre um corpo ( F _ext = 0), a equação de movimento do sistema de massa variável se reduz a

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf { v}} {\ mathrm {d} t}}}$

Se a velocidade do propelente ejetado, v _rel , for assumida como tendo a direção oposta à aceleração do foguete, d v / d t , o equivalente escalar desta equação pode ser escrito como

${\ displaystyle -v _ {\ mathrm {rel}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}} = m {\ mathrm {d} v \ over \ mathrm {d} t} }$

do qual d t pode ser cancelado para dar

${\ displaystyle -v _ {\ mathrm {rel}} \ mathrm {d} m = m \ mathrm {d} v \,}$

A integração por separação de variáveis dá

${\ displaystyle -v _ {\ mathrm {rel}} \ int _ {m_ {0}} ^ {m_ {1}} {\ frac {\ mathrm {d} m} {m}} = \ int _ {v_ { 0}} ^ {v_ {1}} \ mathrm {d} v}$

${\ displaystyle v _ {\ mathrm {rel}} \ ln {\ frac {m_ {0}} {m_ {1}}} = v_ {1} -v_ {0}}$

Reorganizando e deixando Δ v = v ₁ - v ₀ , chega-se à forma padrão da equação do foguete ideal:

${\ displaystyle \ Delta v = v _ {\ mathrm {rel}} \ ln {\ frac {m_ {0}} {m_ {1}}}}$

onde m ₀ é a massa total inicial, incluindo o propelente, m ₁ é a massa total final, v _rel é a velocidade de escape efetiva (muitas vezes denotada como v _e ), e Δ v é a mudança máxima de velocidade do veículo (quando não forças externas estão agindo).

Referências