Aritmética verbal - Verbal arithmetic

Verbal aritmética , também conhecido como alphametics , cryptarithmetic , cryptarithm ou adição palavra , é um tipo de jogo de matemática consistindo de um matemático equação entre desconhecidos números , cujos algarismos são representados por letras do alfabeto. O objetivo é identificar o valor de cada letra. O nome pode ser estendido para quebra-cabeças que usam símbolos não alfabéticos em vez de letras.

A equação é normalmente uma operação básica da aritmética , como adição , multiplicação ou divisão . O exemplo clássico, publicado na edição de julho de 1924 da Strand Magazine por Henry Dudeney , é:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} && {\ text {S}} & {\ text {E}} & {\ text {N}} & {\ text {D}} \\ + && {\ text {M }} & {\ text {O}} & {\ text {R}} & {\ text {E}} \\\ hline = & {\ text {M}} & {\ text {O}} & {\ texto {N}} & {\ text {E}} & {\ text {Y}} \\\ end {matriz}}}$

A solução para este quebra-cabeça é O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 e S = 9.

Tradicionalmente, cada letra deve representar um dígito diferente e (como uma notação aritmética comum) o dígito inicial de um número com vários dígitos não deve ser zero. Um bom quebra-cabeça deve ter uma solução única, e as letras devem formar uma frase (como no exemplo acima).

A aritmética verbal pode ser útil como motivação e fonte de exercícios no ensino de álgebra .

História

Os quebra-cabeças criptarítmicos são bastante antigos e seu inventor é desconhecido. Um exemplo de 1864 em The American Agriculturist refuta a noção popular de que foi inventado por Sam Loyd . O nome "criptaritmo" foi cunhado pelo puzzlist Minos (pseudônimo de Simon Vatriquant ) na edição de maio de 1931 da Sphinx, uma revista belga de matemática recreativa, e foi traduzido como "criptaritmético" por Maurice Kraitchik em 1942. Em 1955, JAH Hunter apresentou a palavra "alfamética" para designar criptogramas, como o de Dudeney, cujas letras formam palavras ou frases significativas .

Tipos de criptaritmos

Os tipos de criptaritmo incluem o alphamético, o digimético e a divisão esquelética.

Alphametic: Um tipo de criptaritmo em que um conjunto de palavras é escrito na forma de uma soma de adição longa ou algum outro problema matemático. O objetivo é substituir as letras do alfabeto por dígitos decimais para fazer uma soma aritmética válida.
Digimético: Um criptaritmo no qual os dígitos são usados para representar outros dígitos.

Divisão esquelética: Uma divisão longa em que a maioria ou todos os dígitos são substituídos por símbolos (geralmente asteriscos) para formar um criptaritmo.
Criptaritmo reverso: Uma variação rara em que uma fórmula é escrita e a solução é o criptaritmo correspondente, cuja solução é a fórmula dada.

Resolvendo criptaritmos

Resolver um criptaritmo manualmente geralmente envolve uma mistura de deduções e testes exaustivos de possibilidades. Por exemplo, a seguinte sequência de deduções resolve o quebra-cabeça ENVIAR + MAIS = DINHEIRO de Dudeney acima (as colunas são numeradas da direita para a esquerda):

${\ displaystyle {\ begin {matrix} && {\ text {S}} & {\ text {E}} & {\ text {N}} & {\ text {D}} \\ + && {\ text {M }} & {\ text {O}} & {\ text {R}} & {\ text {E}} \\\ hline = & {\ text {M}} & {\ text {O}} & {\ texto {N}} & {\ text {E}} & {\ text {Y}} \\\ end {matriz}}}$

Na coluna 5, M = 1, uma vez que é a única transferência possível da soma de dois números de um único dígito na coluna 4.
Uma vez que há um transporte na coluna 5, O deve ser menor ou igual a M (da coluna 4). Mas O não pode ser igual a M, então O é menor que M. Portanto, O = 0 .
Uma vez que O é 1 menor que M, S é 8 ou 9 dependendo se há um transporte na coluna 4. Mas se houvesse um transporte na coluna 4, N seria menor ou igual a O (da coluna 3). Isso é impossível porque O = 0. Portanto, não há transporte na coluna 3 e S = 9 .
Se não houvesse transporte na coluna 3, então E = N, o que é impossível. Portanto, há um transporte e N = E + 1.
Se não houvesse transporte na coluna 2, então (N + R) mod 10 = E e N = E + 1, então (E + 1 + R) mod 10 = E que significa (1 + R) mod 10 = 0 , então R = 9. Mas S = 9, então deve haver um transporte na coluna 2, então R = 8 .
Para produzir um transporte na coluna 2, devemos ter D + E = 10 + Y.
Y é pelo menos 2, então D + E é pelo menos 12.
Os únicos dois pares de números disponíveis que somam pelo menos 12 são (5,7) e (6,7), portanto, E = 7 ou D = 7.
Como N = E + 1, E não pode ser 7 porque então N = 8 = R, então D = 7 .
E não pode ser 6 porque então N = 7 = D então E = 5 e N = 6 .
D + E = 12 então Y = 2 .

Outro exemplo de TO + GO = OUT (a fonte é desconhecida):

${\ displaystyle {\ begin {matrix} && {\ text {T}} & {\ text {O}} \\ + && {\ text {G}} & {\ text {O}} \\\ hline = & {\ text {O}} & {\ text {U}} & {\ text {T}} \\\ end {matriz}}}$

A soma dos dois maiores números de dois dígitos é 99 + 99 = 198. Portanto, O = 1 e há um transporte na coluna 3.
Uma vez que a coluna 1 está à direita de todas as outras colunas, é impossível ter transporte. Portanto, 1 + 1 = T e T = 2 .
Como a coluna 1 foi calculada na última etapa, sabe-se que não há transporte na coluna 2. Porém, também é sabido que existe transporte na coluna 3 na primeira etapa. Portanto, 2 + G≥10. Se G for igual a 9, U seria igual a 1, mas isso é impossível porque O também é igual a 1. Portanto, apenas G = 8 é possível e com 2 + 8 = 10 + U, U = 0 .

O uso da aritmética modular geralmente ajuda. Por exemplo, o uso da aritmética mod-10 permite que as colunas de um problema de adição sejam tratadas como equações simultâneas , enquanto o uso da aritmética mod-2 permite inferências baseadas na paridade das variáveis.

Na ciência da computação , os criptaritmos fornecem bons exemplos para ilustrar o método da força bruta e algoritmos que geram todas as permutações de m escolhas a partir de n possibilidades. Por exemplo, o quebra-cabeça de Dudeney acima pode ser resolvido testando todas as atribuições de oito valores entre os dígitos 0 a 9 às oito letras S, E, N, D, M, O, R, Y, dando 1.814.400 possibilidades. Eles também fornecem bons exemplos para retroceder o paradigma do projeto de algoritmo .

Outra informação

Quando generalizado para bases arbitrárias, o problema de determinar se um criptaritmo tem uma solução é NP-completo . (A generalização é necessária para o resultado de dureza porque na base 10, existem apenas 10! Atribuições possíveis de dígitos para letras, e estas podem ser verificadas em relação ao quebra-cabeça em tempo linear.)

A alfamética pode ser combinada com outros quebra-cabeças numéricos, como Sudoku e Kakuro, para criar Sudoku e Kakuro enigmáticos .

Maior alphamética

Anton Pavlis construiu um alphamético em 1983 com 41 adendos:

ASSIM + MUITOS + MAIS + HOMENS + PARECEM + DIZER + QUE +

ELES + PODEM + EM BREVE + TENTAR + FICAR + FICAR + EM + CASA +

ASSIM + COMO + PARA + VER + OU + OUVIR + O + MESMO + UM +

HOMEM + TENTE + PARA + ENCONTRAR + A + EQUIPE + ON + A +

LUA + AS + ELE + TEM + NA + A + OUTRA + DEZ

= TESTES

(A resposta é que TRANHYSMOE = 9876543210.)

Veja também

Equação diofantina
Quebra-cabeças matemáticos
Permutação
Quebra-cabeças
Sideways Arithmetic From Wayside School - um livro cujo enredo gira em torno desses quebra-cabeças

Referências

Martin Gardner , Mathematics, Magic and Mystery . Dover (1956)
Journal of Recreational Mathematics , tinha uma coluna regular de alfamética.
Jack van der Elsen, Alphametics . Maastricht (1998)
Kahan S., Have some sums to solve: The complete alphametics book, Baywood Publishing, (1978)
Brooke M. Cento e cinquenta quebra-cabeças na cripta-aritmética. Nova York: Dover, (1963)
Hitesh Tikamchand Jain, ABC of Cryptarithmetic / Alphametics. Índia (2017)

Languages

In other projects