Etendue - Etendue

Endue ou étendue ( / ˌ eɪ t ɒ n d u / ; pronunciação francesa: [etɑdy] ) é uma propriedade de luz em um sistema óptico , que caracteriza como "espalhar" a luz é na área e ângulo. Corresponde ao produto do parâmetro do feixe (BPP) na óptica do feixe gaussiano . Outros nomes para endue incluem aceitação , processamento , compreensão luz , poder de captação de luz , medida óptica , eo produto AΩ . A taxa de transferência e o produto AΩ são especialmente usados em radiometria e transferência radiativa, onde estão relacionados ao fator de visualização (ou fator de forma). É um conceito central em óptica sem imagem .

Do ponto de vista da fonte, étendue é o produto da área da fonte e do ângulo sólido que a pupila de entrada do sistema subtende visto da fonte. Da mesma forma, do ponto de vista do sistema, a étendue é igual à área da pupila de entrada vezes o ângulo sólido que a fonte subtende visto da pupila. Essas definições devem ser aplicadas para "elementos" infinitesimalmente pequenos de área e ângulo sólido, que devem então ser somados sobre a fonte e o diafragma, conforme mostrado abaixo. Etendue pode ser considerado um volume no espaço de fase .

Etendue nunca diminui em qualquer sistema óptico onde a potência óptica é conservada. Um sistema óptico perfeito produz uma imagem com a mesma étendue da fonte. A etendue está relacionada ao invariante de Lagrange e ao invariante óptico , que compartilham a propriedade de serem constantes em um sistema óptico ideal. A radiância de um sistema óptico é igual à derivada do fluxo radiante em relação à étendue.

Definição

Etendue para um elemento de superfície diferencial em 2D (esquerda) e 3D (direita).

Um elemento de superfície infinitesimal, dS, com n _S normal está imerso em um meio de índice de refração n . A superfície é atravessada por (ou emite) luz confinada a um ângulo sólido, d Ω , em um ângulo θ com o n _S normal . A área de d S projetada na direção da propagação da luz é d S cos θ . O etendue deste cruzamento de luz dS é definido como

{\ displaystyle \ mathrm {d} G = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega.}

Etendue é o produto da extensão geométrica e do índice de refração ao quadrado de um meio através do qual o feixe se propaga. Como ângulos, ângulos sólidos e índices de refração são quantidades adimensionais , etendue é freqüentemente expresso em unidades de área (dada por dS). No entanto, pode alternativamente ser expresso em unidades de área (metros quadrados) multiplicadas pelo ângulo sólido (esteradianos).

Conservação de etendue

Conforme mostrado abaixo, a etendue é conservada à medida que a luz viaja através do espaço livre e nas refrações ou reflexos. Ele também é conservado conforme a luz viaja através de sistemas ópticos, onde sofre reflexos ou refrações perfeitos. No entanto, se a luz atingisse, digamos, um difusor , seu ângulo sólido aumentaria, aumentando a étendue. Etendue pode então permanecer constante ou pode aumentar conforme a luz se propaga através de uma óptica, mas não pode diminuir. Este é um resultado direto do aumento da entropia , que só pode ser revertida se o conhecimento a priori for usado para reconstruir uma frente de onda com correspondência de fase, como espelhos de fase conjugada .

A conservação de étendue pode ser derivada em diferentes contextos, como dos primeiros princípios ópticos, da óptica hamiltoniana ou da segunda lei da termodinâmica .

Em espaço livre

Etendue no espaço livre.

Considere uma fonte de luz Σ e um detector de luz S , ambos os quais são superfícies estendidas (em vez de elementos diferenciais) e que são separados por um meio de índice de refração n que é perfeitamente transparente (mostrado). Para calcular a evolução do sistema, deve-se considerar a contribuição de cada ponto na superfície da fonte de luz à medida que eles lançam raios para cada ponto do receptor.

De acordo com a definição acima, a etendue do cruzamento de luz d Σ em direção a d S é dada por:

{\ displaystyle \ mathrm {d} G _ {\ Sigma} = n ^ {2} \, \ mathrm {d} \ Sigma \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma } = n ^ {2} \, \ mathrm {d} \ Sigma \ cos \ theta _ {\ Sigma} {\ frac {\ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S}} {d ^ {2} }}}

onde d Ω _Σ é o ângulo sólido definido pela área d S na área d Σ , ed é a distância entre as duas áreas. Da mesma forma, a étendue do cruzamento de luz d S vindo de d Σ é dada por:

{\ displaystyle \ mathrm {d} G_ {S} = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {S} = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S} {\ frac {\ mathrm {d} \ Sigma \ cos \ theta _ {\ Sigma}} {d ^ {2}}},}

onde d Ω _S é o ângulo sólido definido pela área dΣ. Essas expressões resultam em

{\ displaystyle \ mathrm {d} G _ {\ Sigma} = \ mathrm {d} G_ {S},}

mostrando que a etendue é conservada à medida que a luz se propaga no espaço livre.

A etendue de todo o sistema é então:

{\ displaystyle G = \ int _ {\ Sigma} \! \ int _ {S} \ mathrm {d} G.}

Se ambas as superfícies d Σ e d S estão imersas no ar (ou no vácuo), n = 1 e a expressão acima para a etendue pode ser escrita como

{\ displaystyle \ mathrm {d} G = \ mathrm {d} \ Sigma \, \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, {\ frac {\ mathrm {d} S \, \ cos \ theta _ {S} } {d ^ {2}}} = \ pi \, \ mathrm {d} \ Sigma \, \ left ({\ frac {\ cos \ theta _ {\ Sigma} \ cos \ theta _ {S}} {\ pi d ^ {2}}} \, \ mathrm {d} S \ direita) = \ pi \, \ mathrm {d} \ Sigma \, F _ {\ mathrm {d} \ Sigma \ rightarrow \ mathrm {d} S },}

onde F _{d Σ → d S} é o factor de vista entre diferencial superfícies d Σ e d S . A integração em d Σ e d S resulta em G = π Σ F _{Σ → S} que permite que a étendue entre duas superfícies seja obtida a partir dos fatores de vista entre essas superfícies, conforme fornecido em uma lista de fatores de vista para casos específicos de geometria ou em vários livros didáticos de transferência de calor .

A conservação de étendue no espaço livre está relacionada ao teorema da reciprocidade para fatores de visão .

Em refrações e reflexões

Etendue em refração.

A conservação de etendue discutida acima se aplica ao caso de propagação de luz no espaço livre, ou mais geralmente, em um meio em que o índice de refração é constante. No entanto, etendue também é conservado em refrações e reflexões. Figura "endue em refracção" mostra uma superfície infinitesimal d S na xy plano que separa os dois meios de índices de refracção n _Σ e n _S .

O normal para d S aponta na direção do eixo z . A luz que entra é confinada a um ângulo sólido d Ω _Σ e atinge d S com um ângulo θ _Σ ao seu normal. A luz refratada é confinada a um ângulo sólido d Ω _S e deixa d S com um ângulo θ _{S em relação} ao seu normal. As direções da luz incidente e refratada estão contidas em um plano que forma um ângulo φ com o eixo x , definindo essas direções em um sistema de coordenadas esféricas . Com essas definições, a lei de refração de Snell pode ser escrita como

{\ displaystyle n _ {\ Sigma} \ sin \ theta _ {\ Sigma} = n_ {S} \ sin \ theta _ {S},}

e sua derivada em relação a θ

{\ displaystyle n _ {\ Sigma} \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ theta _ {\ Sigma} = n_ {S} \ cos \ theta _ {S} \ mathrm {d} \ theta _ {S},}

multiplicado um pelo outro resulta em

{\ displaystyle n _ {\ Sigma} ^ {2} \ cos \ theta _ {\ Sigma} \! \ left (\ sin \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ theta _ {\ Sigma} \ , \ mathrm {d} \ varphi \ right) = n_ {S} ^ {2} \ cos \ theta _ {S} \! \ left (\ sin \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ varphi \ right),}

onde ambos os lados da equação também foram multiplicados por d φ que não muda na refração. Esta expressão agora pode ser escrita como

{\ displaystyle n _ {\ Sigma} ^ {2} \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = n_ {S} ^ {2} \ cos \ theta _ { S} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {S},}

e multiplicando ambos os lados por d S obtemos

{\ displaystyle n _ {\ Sigma} ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {\ Sigma} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {\ Sigma} = n_ {S} ^ { 2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta _ {S} \, \ mathrm {d} \ Omega _ {S}}

isso é

{\ displaystyle \ mathrm {d} G _ {\ Sigma} = \ mathrm {d} G_ {S},}

mostrando que a étendue da luz refratada em d S é conservada. O mesmo resultado também é válido para o caso de uma reflexão numa superfície d S , caso em que n _Σ = n _S e θ _Σ = θ _S .

Conservação da radiância básica

O brilho de uma superfície está relacionado ao étendue por:

{\ displaystyle L _ {\ mathrm {e}, \ Omega} = n ^ {2} {\ frac {\ partial \ Phi _ {\ mathrm {e}}} {\ partial G}},}

Onde

${\ displaystyle \ Phi _ {\ mathrm {e}}}$ é o fluxo radiante emitido, refletido, transmitido ou recebido;
n é o índice de refração em que a superfície está imersa;
G é o étendue do feixe de luz.

À medida que a luz viaja através de um sistema óptico ideal, tanto o étendue quanto o fluxo radiante são conservados. Portanto, a radiância básica é definida como:

{\ displaystyle L _ {\ mathrm {e}, \ Omega} ^ {*} = {\ frac {L _ {\ mathrm {e}, \ Omega}} {n ^ {2}}}}

também é conservado. Em sistemas reais, o étendue pode aumentar (por exemplo, devido ao espalhamento) ou o fluxo radiante pode diminuir (por exemplo, devido à absorção) e, portanto, a radiância básica pode diminuir. No entanto, étendue não pode diminuir e o fluxo radiante pode não aumentar e, portanto, a radiância básica não pode aumentar.

Etendue como um volume no espaço de fase

Momento óptico.

No contexto da óptica hamiltoniana , em um ponto no espaço, um raio de luz pode ser completamente definido por um ponto r = ( x , y , z ) , um vetor euclidiano unitário v = (cos α _X , cos α _Y , cos α _Z ) indicando sua direção e o índice de refração n no ponto r . O momento óptico do raio nesse ponto é definido por

{\ displaystyle \ mathbf {p} = n (\ cos \ alpha _ {X}, \ cos \ alpha _ {Y}, \ cos \ alpha _ {Z}) = (p, q, r),}

onde || p || = n . A geometria do vetor de momento ótico é ilustrada na figura "momento ótico".

Em um sistema de coordenadas esféricas, p pode ser escrito como

{\ displaystyle \ mathbf {p} = n \! \ left (\ sin \ theta \ cos \ varphi, \ sin \ theta \ sin \ varphi, \ cos \ theta \ right),}

do qual

{\ displaystyle \ mathrm {d} p \, \ mathrm {d} q = {\ frac {\ parcial (p, q)} {\ parcial (\ theta, \ varphi)}} \ mathrm {d} \ theta \ , \ mathrm {d} \ varphi = \ left ({\ frac {\ parcial p} {\ parcial \ theta}} {\ frac {\ parcial q} {\ parcial \ varphi}} - {\ frac {\ parcial p } {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ partial q} {\ partial \ theta}} \ right) \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = n ^ {2} \ cos \ theta \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = n ^ {2} \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega,}

e, portanto, para uma área infinitesimal d S = d x d y no plano xy imerso em um meio de índice de refração n , a etendue é dada por

{\ displaystyle \ mathrm {d} G = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} p \, \ mathrm {d} q,}

que é um volume infinitesimal no espaço de fase x , y , p , q . A conservação de étendue no espaço de fase é o equivalente em óptica ao teorema de Liouville na mecânica clássica. Etendue como volume no espaço de fase é comumente usado em óptica sem imagem .

Concentração máxima

Etendue para um grande ângulo sólido.

Considere uma superfície infinitesimal d S , imersa em um meio de índice de refração n atravessado por (ou emitindo) luz dentro de um cone de ângulo α . A etendue desta luz é dada por

{\ displaystyle \ mathrm {d} G = n ^ {2} \, \ mathrm {d} S \ int \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ Omega = n ^ {2} dS \ int _ {0 } ^ {2 \ pi} \! \ Int _ {0} ^ {\ alpha} \ cos \ theta \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi = \ pi n ^ {2} \ mathrm {d} S \ sin ^ {2} \ alpha.}

Observando que n sen α é a abertura numérica NA , do feixe de luz, isso também pode ser expresso como

{\ displaystyle \ mathrm {d} G = \ pi \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {NA} ^ {2}.}

Observe que d Ω é expresso em um sistema de coordenadas esféricas . Agora, se uma grande superfície S é atravessada por (ou emite) luz também confinada a um cone de ângulo α , a etendue do cruzamento de luz S é

{\ displaystyle G = \ pi n ^ {2} \ sin ^ {2} \ alpha \ int \ mathrm {d} S = \ pi n ^ {2} S \ sin ^ {2} \ alpha = \ pi S \ , \ mathrm {NA} ^ {2}.}

Etendue e concentração ideal.

O limite de concentração máxima (mostrado) é uma óptica com uma abertura de entrada S , no ar ( n _i = 1 ) coletando luz dentro de um ângulo sólido de ângulo 2 α (seu ângulo de aceitação ) e enviando-a para um receptor de área menor Σ imerso em um meio de índice de refração n , cujos pontos são iluminados dentro de um ângulo sólido de ângulo 2 β . A partir da expressão acima, a etendue da luz que entra é

{\ displaystyle G _ {\ mathrm {i}} = \ pi S \ sin ^ {2} \ alpha}

e a etendue da luz que atinge o receptor é

{\ displaystyle G _ {\ mathrm {r}} = \ pi n ^ {2} \ Sigma \ sin ^ {2} \ beta.}

Conservação de etendue G _i = G _r então dá

{\ displaystyle C = {\ frac {S} {\ Sigma}} = n ^ {2} {\ frac {\ sin ^ {2} \ beta} {\ sin ^ {2} \ alpha}},}

onde C é a concentração da óptica. Para uma dada abertura angular α , da luz incidente, essa concentração será máxima para o valor máximo de sen β , que é β = π / 2. A concentração máxima possível é então

{\ displaystyle C _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {n ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ alpha}}.}

No caso de o índice de incidentes não ser unitário, temos

{\ displaystyle G _ {\ mathrm {i}} = \ pi n _ {\ mathrm {i}} S \ sin ^ {2} \ alpha = G _ {\ mathrm {r}} = \ pi n _ {\ mathrm {r} } \ Sigma \ sin ^ {2} \ beta,}

e entao

{\ displaystyle C = \ left ({\ frac {\ mathrm {NA} _ {\ mathrm {r}}} {\ mathrm {NA} _ {\ mathrm {i}}}} \ right) ^ {2}, }

e no limite do melhor caso de β = π / 2, isso se torna

{\ displaystyle C _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {n _ {\ mathrm {r}} ^ {2}} {\ mathrm {NA} _ {\ mathrm {i}} ^ {2}}}. }

Se a óptica fosse um colimador em vez de um concentrador, a direção da luz é invertida e a conservação da etendue nos dá a abertura mínima, S , para um dado ângulo total de saída 2 α .

Veja também

Referências

Leitura adicional

Greivenkamp, John E. (2004). Guia de campo para óptica geométrica . SPIE Field Guides vol. FG01 . SPIE. ISBN 0-8194-5294-7.
Xutao Sun et al. , 2006, "Análise e medição de Etendue da fonte de luz com refletor elíptico", Displays (27), 56–61.
Randall Munroe explica por que é impossível acender uma fogueira com o luar concentrado usando um argumento de conservação etendue. Munroe, Randall. "Fogo do luar" . E se? . Retirado em 28 de julho de 2020 .

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