Lógica Łukasiewicz - Łukasiewicz logic

Em matemática e filosofia , lógica Łukasiewicz ( / ˌ l u k do ə ʃ ɛ v ɪ tʃ / LOO -kə- SHEV -itch , polaca: [wukaɕɛvitʂ] ) é um não-clássica , a lógica polivalente . Foi originalmente definida no início do século 20 por Jan Łukasiewicz como uma lógica de três valores ; ele foi posteriormente generalizado para variantes n- valorizadas (para todos os n finitos ), bem como variantes infinitamente-muitos-valorizadas ( ℵ ₀ -avaliadas), tanto proposicionais quanto de primeira ordem. A versão avaliada em ℵ ₀ foi publicada em 1930 por Łukasiewicz e Alfred Tarski ; conseqüentemente, às vezes é chamada de lógica Łukasiewicz – Tarski . Ela pertence às classes de t-norma lógica difusa e lógicas subestruturais .

Este artigo apresenta a lógica Łukasiewicz (–Tarski) em sua generalidade completa, ou seja, como uma lógica de valor infinito. Para uma introdução elementar à instanciação de três valores Ł ₃ , consulte a lógica de três valores .

Língua

Os conectivos proposicionais da lógica de Łukasiewicz são implicação , negação , equivalência , conjunção fraca , conjunção forte , disjunção fraca , disjunção forte e constantes proposicionais e . A presença de conjunção e disjunção é uma característica comum da lógica subestrutural sem a regra da contração, à qual pertence a lógica de Łukasiewicz. ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ neg}$ ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$ ${\ displaystyle \ wedge}$ ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle \ vee}$ ${\ displaystyle \ oplus}$ ${\ displaystyle {\ overline {0}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {1}}}$

Axiomas

O sistema original de axiomas para a lógica proposicional Łukasiewicz de valor infinito usava implicação e negação como conectivos primitivos:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} A & \ rightarrow (B \ rightarrow A) \\ (A \ rightarrow B) & \ rightarrow ((B \ rightarrow C) \ rightarrow (A \ rightarrow C)) \\ ((A \ rightarrow B) \ rightarrow B) & \ rightarrow ((B \ rightarrow A) \ rightarrow A) \\ (\ neg B \ rightarrow \ neg A) & \ rightarrow (A \ rightarrow B). \ end {alinhado}} }

A lógica proposicional de Łukasiewicz de valor infinito também pode ser axiomatizada pela adição dos seguintes axiomas ao sistema axiomático da lógica da norma t monoidal :

Divisibilidade: ${\ displaystyle (A \ wedge B) \ rightarrow (A \ otimes (A \ rightarrow B))}$
Negação dupla: ${\ displaystyle \ neg \ neg A \ rightarrow A.}$

Ou seja, a lógica Łukasiewicz de valor infinito surge adicionando o axioma de negação dupla à lógica de norma t básica BL , ou adicionando o axioma de divisibilidade à lógica IMTL.

As lógicas de Łukasiewicz de valor finito requerem axiomas adicionais.

Semântica de valor real

A lógica de Łukasiewicz de valor infinito é uma lógica de valor real em que as sentenças do cálculo sentencial podem receber um valor de verdade não apenas zero ou um, mas também qualquer número real intermediário (por exemplo, 0,25). As avaliações têm uma definição recursiva onde:

${\ displaystyle w (\ theta \ circ \ phi) = F _ {\ circ} (w (\ theta), w (\ phi))}$ para um conectivo binário ${\ displaystyle \ circ,}$
${\ displaystyle w (\ neg \ theta) = F _ {\ neg} (w (\ theta)),}$
${\ displaystyle w \ left ({\ overline {0}} \ right) = 0}$ e ${\ displaystyle w \ left ({\ overline {1}} \ right) = 1,}$

e onde as definições das operações são mantidas da seguinte forma:

Implicação: ${\ displaystyle F _ {\ rightarrow} (x, y) = \ min \ {1,1-x + y \}}$
Equivalência: ${\ displaystyle F _ {\ leftrightarrow} (x, y) = 1- | xy |}$
Negação: ${\ displaystyle F _ {\ neg} (x) = 1-x}$
Conjunção fraca: ${\ displaystyle F _ {\ wedge} (x, y) = \ min \ {x, y \}}$
Disjunção fraca: ${\ displaystyle F _ {\ vee} (x, y) = \ max \ {x, y \}}$
Conjunção forte: ${\ displaystyle F _ {\ otimes} (x, y) = \ max \ {0, x + y-1 \}}$
Disjunção forte: ${\ displaystyle F _ {\ oplus} (x, y) = \ min \ {1, x + y \}.}$

A função de verdade da conjunção forte é a norma t de Łukasiewicz e a função de verdade da disjunção forte é sua conorma t dual . Obviamente, e , portanto, se , enquanto as respectivas proposições logicamente equivalentes têm . ${\ displaystyle F _ {\ otimes}}$ ${\ displaystyle F _ {\ oplus}}$ ${\ displaystyle F _ {\ otimes} (. 5, .5) = 0}$ ${\ displaystyle F _ {\ oplus} (. 5, .5) = 1}$ ${\ displaystyle T (p) =. 5}$ ${\ displaystyle T (p \ wedge p) = T (\ neg p \ wedge \ neg p) = 0}$ ${\ displaystyle T (p \ vee p) = T (\ neg p \ vee \ neg p) = 1}$

A função de verdade é o resíduo da norma t de Łukasiewicz. Todas as funções de verdade dos conectivos básicos são contínuas. ${\ displaystyle F _ {\ rightarrow}}$

Por definição, uma fórmula é uma tautologia da lógica de Łukasiewicz de valor infinito se for avaliada como 1 sob cada valoração de variáveis proposicionais por números reais no intervalo [0, 1].

Semântica de valor finito e valor contável

Usando exatamente as mesmas fórmulas de avaliação como para a semântica de valor real Łukasiewicz (1922) também definiu (até isomorfismo) semântica sobre

qualquer conjunto finito de cardinalidade n ≥ 2 escolhendo o domínio como {0, 1 / ( n - 1), 2 / ( n - 1), ..., 1 }
qualquer conjunto contável escolhendo o domínio como { p / q | 0 ≤ p ≤ q onde p é um número inteiro não negativo eq é um número inteiro positivo}.

Semântica algébrica geral

A semântica de valor real padrão determinada pela norma t Łukasiewicz não é a única semântica possível da lógica Łukasiewicz. A semântica algébrica geral da lógica proposicional de Łukasiewicz de valor infinito é formada pela classe de todas as álgebras MV . A semântica padrão com valor real é uma álgebra MV especial, chamada de álgebra MV padrão .

Como outras lógicas fuzzy de norma t, a lógica proposicional de Łukasiewicz de valor infinito goza de completude com respeito à classe de todas as álgebras para as quais a lógica é sólida (isto é, MV-álgebras), bem como com respeito apenas às lineares. Isso é expresso pelos teoremas de completude geral, linear e padrão:

As seguintes condições são equivalentes:

${\ displaystyle A}$ é demonstrável na lógica proposicional de Łukasiewicz de valor infinito
${\ displaystyle A}$ é válido em todas as álgebras MV ( integridade geral )
${\ displaystyle A}$ é válido em todas as álgebras MV ordenadas linearmente ( completude linear )
${\ displaystyle A}$ é válido na álgebra MV padrão ( completude padrão ).

Font, Rodriguez e Torrens introduziram em 1984 a álgebra de Wajsberg como um modelo alternativo para a lógica de Łukasiewicz de valor infinito.

Uma tentativa dos anos 1940 por Grigore Moisil de fornecer semântica algébrica para a lógica Łukasiewicz n- avaliada por meio de sua álgebra Łukasiewicz-Moisil (LM) (que Moisil chamou de álgebras Łukasiewicz ) acabou sendo um modelo incorreto para n ≥ 5. Esse problema foi tornada pública por Alan Rose em 1956. A álgebra MV de CC Chang , que é um modelo para a lógica ℵ ₀ -valued (infinitamente-muitos-valor) Łukasiewicz-Tarski, foi publicada em 1958. Para a axiomaticamente mais complicada (finita ) lógicas de Łukasiewicz avaliadas em n , álgebras adequadas foram publicadas em 1977 por Revaz Grigolia e denominadas MV _n -álgebras. MV _n- álgebras são uma subclasse de LM _n -álgebras, e a inclusão é estrita para n ≥ 5. Em 1982, Roberto Cignoli publicou algumas restrições adicionais que adicionadas a LM _n -álgebras produzem modelos adequados para a lógica de Łukasiewicz n- avaliada; Cignoli chamou sua descoberta de álgebras de Łukasiewicz adequadas .

Referências

^ Łukasiewicz J., 1920, O logice trójwartościowej (em polonês). Ruch filozoficzny 5 : 170–171. Tradução para o inglês: On three-value logic, in L. Borkowski (ed.), Selected works by Jan Łukasiewicz , North-Holland, Amsterdam, 1970, pp. 87-88. ISBN 0-7204-2252-3
^ Hay, LS, 1963, Axiomatization of the infinite-valued predicate calculus . Journal of Symbolic Logic 28 : 77–86.
^ Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas de múltiplos valores não comutativas . Springer. p. vii. ISBN 978-3-319-01589-7.citando Łukasiewicz, J., Tarski, A .: Untersuchungen über den Aussagenkalkül . Comp. Rend. Soc. Sci. et Lettres Varsovie Cl. III 23, 30–50 (1930).
^ ^a ^b Hájek P. , 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic . Dordrecht: Kluwer.
^ Ono, H., 2003, "Substructural logics and residuated lattices - an Introduction". Em FV Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20 : 177-212.
^ http://journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf citando JM Font, AJ Rodriguez, A. Torrens, Wajsberg Algebras, Stochastica, VIII, 1, 5-31, 1984
^ Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas de múltiplos valores não comutativas . Springer. pp. vii – viii. ISBN 978-3-319-01589-7.citando Grigolia, RS: "Análise algébrica dos sistemas lógicos com valor n de Lukasiewicz-Tarski". Em: Wójcicki, R., Malinkowski, G. (eds.) Selected Papers on Lukasiewicz Sentential Calculi, pp. 81-92. Academia Polonesa de Ciências, Wroclav (1977)
^ Iorgulescu, A .: Conexões entre MV_n -álgebrase n- avaliadas Łukasiewicz – Moisil álgebras — I. Matemática discreta. 181, 155-177 (1998) doi : 10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6
^ R. Cignoli, Proper n-Valued Łukasiewicz Algebras as S-Algebras of Łukasiewicz n-Valued Propositional Calculi, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi : 10.1007 / BF00373490

Leitura adicional

Rose, A .: 1956, Formalization du Calcul Propositionnel Implicatif ℵ ₀ Valeurs de Łukasiewicz, CR Acad. Sci. Paris 243, 1183–1185.
Rose, A .: 1978, Formalisations of Further ℵ ₀ -Valued Łukasiewicz Propositional Calculi, Journal of Symbolic Logic 43 (2), 207-210. doi : 10.2307 / 2272818
Cignoli, R., "The algebras of Lukasiewicz many-valorized logic - A historical overview," in S. Aguzzoli et al. (Eds.), Algebraic and Proof-teórico Aspects of Non-Classic Logics, LNAI 4460, Springer, 2007 , 69-83. doi : 10.1007 / 978-3-540-75939-3_5

[Luk1920-1] Łukasiewicz J., 1920, O logice trójwartościowej (em polonês). Ruch filozoficzny 5 : 170–171. Tradução para o inglês: On three-value logic, in L. Borkowski (ed.), Selected works by Jan Łukasiewicz , North-Holland, Amsterdam, 1970, pp. 87-88. ISBN 0-7204-2252-3

[Hay1963-2] Hay, LS, 1963, Axiomatization of the infinite-valued predicate calculus . Journal of Symbolic Logic 28 : 77–86.

[Ciungu2013-3] Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas de múltiplos valores não comutativas . Springer. p. vii. ISBN 978-3-319-01589-7.citando Łukasiewicz, J., Tarski, A .: Untersuchungen über den Aussagenkalkül . Comp. Rend. Soc. Sci. et Lettres Varsovie Cl. III 23, 30–50 (1930).

[Hájek1998-4] Hájek P. , 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic . Dordrecht: Kluwer.

[Ono2003-5] Ono, H., 2003, "Substructural logics and residuated lattices - an Introduction". Em FV Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20 : 177-212.

[6] ttp://journal.univagora.ro/download/pdf/28.pdf citando JM Font, AJ Rodriguez, A. Torrens, Wajsberg Algebras, Stochastica, VIII, 1, 5-31, 1984

[Ciungu2013bis-7] Lavinia Corina Ciungu (2013). Álgebras lógicas de múltiplos valores não comutativas . Springer. pp. vii – viii. ISBN 978-3-319-01589-7.citando Grigolia, RS: "Análise algébrica dos sistemas lógicos com valor n de Lukasiewicz-Tarski". Em: Wójcicki, R., Malinkowski, G. (eds.) Selected Papers on Lukasiewicz Sentential Calculi, pp. 81-92. Academia Polonesa de Ciências, Wroclav (1977)

[8] Iorgulescu, A .: Conexões entre MV_n -álgebrase n- avaliadas Łukasiewicz – Moisil álgebras — I. Matemática discreta. 181, 155-177 (1998) doi : 10.1016 / S0012-365X (97) 00052-6

[9] R. Cignoli, Proper n-Valued Łukasiewicz Algebras as S-Algebras of Łukasiewicz n-Valued Propositional Calculi, Studia Logica, 41, 1982, 3-16, doi : 10.1007 / BF00373490

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