Continuidade absoluta - Absolute continuity

No cálculo , a continuidade absoluta é uma propriedade de suavidade de funções que é mais forte do que a continuidade e a continuidade uniforme . A noção de continuidade absoluta permite obter generalizações da relação entre as duas operações centrais do cálculo - diferenciação e integração . Esta relação é comumente caracterizada (pelo teorema fundamental do cálculo ) no quadro da integração de Riemann , mas com continuidade absoluta pode ser formulada em termos da integração de Lebesgue . Para funções com valor real na linha real , duas noções inter-relacionadas aparecem: continuidade absoluta das funções e continuidade absoluta das medidas. Essas duas noções são generalizadas em direções diferentes. A derivada usual de uma função está relacionada à derivada Radon-Nikodym , ou densidade , de uma medida.

Temos as seguintes cadeias de inclusões para funções em um subconjunto compacto da linha real:

absolutamente contínuo ⊆ uniformemente contínuo ⊆ contínuo

e, por um intervalo compacto,

continuamente diferenciável ⊆ Lipschitz contínua ⊆ absolutamente contínua ⊆ variação limitada ⊆ diferenciável em quase todos os lugares

Continuidade absoluta de funções

Uma função contínua deixa de ser absolutamente contínua se não consegue ser uniformemente contínua , o que pode acontecer se o domínio da função não for compacto - os exemplos são tan ( x ) sobre [0, π / 2) , x ² sobre todo o real linha e sin (1 / x ) sobre (0, 1]. Mas uma função contínua f pode deixar de ser absolutamente contínua mesmo em um intervalo compacto. Ela pode não ser "diferenciável em quase todos os lugares" (como a função de Weierstrass , que é não diferenciável em qualquer lugar). Ou pode ser diferenciável em quase todos os lugares e seu derivado f  ′ pode ser integrável de Lebesgue , mas a integral de f  ′ difere do incremento de f (quanto f muda em um intervalo). Isso acontece, por exemplo, com o Função Cantor .

Definição

Let Ser um intervalo na linha real . Uma função é absolutamente contínua em se para cada número positivo , há um número positivo tal que sempre que uma sequência finita de subintervalos disjuntos par a par de com satisfaça ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f \ dois pontos I \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x_ {k} <y_ {k} \ in I}$

${\ displaystyle \ sum _ {k} (y_ {k} -x_ {k}) <\ delta}$

então

${\ displaystyle \ sum _ {k} | f (y_ {k}) - f (x_ {k}) | <\ varepsilon.}$

A coleção de todas as funções absolutamente contínuas em é denotada . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ operatorname {AC} (I)}$

Definições equivalentes

As seguintes condições em uma função de valor real f em um intervalo compacto [ a , b ] são equivalentes:

1. f é absolutamente contínuo;
2. f tem uma derivada f  ′ quase em todos os lugares , a derivada é Lebesgue integrável, e
   $${\ displaystyle f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} f '(t) \, dt}$$

   
   para todo x em [ a , b ];
3. existe uma função integrável de Lebesgue g em [ a , b ] tal que
   $${\ displaystyle f (x) = f (a) + \ int _ {a} ^ {x} g (t) \, dt}$$

   
   para todo x em [ a , b ].

Se essas condições equivalentes forem satisfeitas, necessariamente g = f  ′ em quase todos os lugares.

A equivalência entre (1) e (3) é conhecida como o teorema fundamental do cálculo integral de Lebesgue , devido a Lebesgue .

Para uma definição equivalente em termos de medidas, veja a seção Relação entre as duas noções de continuidade absoluta .

Propriedades

• A soma e a diferença de duas funções absolutamente contínuas também são absolutamente contínuas. Se as duas funções são definidas em um intervalo fechado limitado, então seu produto também é absolutamente contínuo.
• Se uma função absolutamente contínua é definida em um intervalo fechado limitado e não é zero, então sua recíproca é absolutamente contínua.
• Toda função absolutamente contínua é uniformemente contínua e, portanto, contínua . Cada função contínua de Lipschitz é absolutamente contínua.
• Se f : [ a , b ] → R é absolutamente contínuo, então é de variação limitada em [ a , b ].
• Se f : [ a , b ] → R é absolutamente contínuo, então ele pode ser escrito como a diferença de duas funções absolutamente contínuas não decrescentes monotônicas em [ a , b ].
• Se f : [ a , b ] → R é absolutamente contínuo, então ele tem a propriedade Luzin N (isto é, para qualquer tal que , ele mantém isso , onde representa a medida de Lebesgue em R ).${\ displaystyle N \ subseteq [a, b]}$${\ displaystyle \ lambda (N) = 0}$${\ displaystyle \ lambda (f (N)) = 0}$${\ displaystyle \ lambda}$
• f : I → R é absolutamente contínuo se e somente se é contínuo, é de variação limitada e possui a propriedade de Luzin N.

Exemplos

As seguintes funções são uniformemente contínuas, mas não absolutamente contínuas:

• a função Cantor em [0, 1] (é de variação limitada, mas não absolutamente contínua);
• a função
  $${\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 0, & {\ text {if}} x = 0 \\ x \ sin (1 / x), & {\ text {if}} x \ neq 0 \ end {casos}}}$$

  
  em um intervalo finito contendo a origem.

As seguintes funções são absolutamente contínuas, mas não α-Hölder contínuas:

• a função f ( x ) =  x ^β em [0,  c ], para qualquer 0 < β < α <1

As seguintes funções são absolutamente contínuas e α-Hölder contínuas, mas não contínuas de Lipschitz :

• a função f ( x ) =  √ x em [0,  c ], para α  ≤ 1/2.

Generalizações

Seja ( X , d ) um espaço métrico e seja I um intervalo na reta R real . Uma função f : I → X é absolutamente contínua em I se para cada número positivo , há um número positivo tal que sempre que uma sequência finita de subintervalos disjuntos par a par [ x _k , y _k ] de I satisfaça ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle \ sum _ {k} \ left | y_ {k} -x_ {k} \ right | <\ delta}$

então

${\ displaystyle \ sum _ {k} d \ left (f (y_ {k}), f (x_ {k}) \ right) <\ epsilon.}$

A coleção de todas as funções absolutamente contínuas de I em X é denotada AC ( I ; X ).

Uma outra generalização é o espaço AC ^p ( I ; X ) das curvas f : I → X tal que

${\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {para todos}} [ s, t] \ subseteq I}$

para alguns m na G ^p espaço G ^p (I).

Propriedades dessas generalizações

• Toda função absolutamente contínua é uniformemente contínua e, portanto, contínua . Cada função contínua de Lipschitz é absolutamente contínua.
• Se f : [ a , b ] → X é absolutamente contínuo, então é de variação limitada em [ a , b ].
• Para f ∈ AC ^p ( I ; X ), a derivada métrica de f existe para λ - quase todas as vezes em I , e a derivada métrica é o menor m ∈ L ^p ( I ; R ) tal que
  $${\ displaystyle d \ left (f (s), f (t) \ right) \ leq \ int _ {s} ^ {t} m (\ tau) \, d \ tau {\ text {para todos}} [ s, t] \ subseteq I.}$$

  

Continuidade absoluta de medidas

Definição

A medida em subconjuntos de Borel da linha real é absolutamente contínua com respeito à medida de Lebesgue se para todo conjunto mensurável implica Esta é escrito como Dizemos é dominado por${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle \ lambda (A) = 0}$${\ displaystyle \ mu (A) = 0.}$${\ displaystyle \ mu \ ll \ lambda.}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ lambda.}$

Na maioria das aplicações, se uma medida na linha real é simplesmente dita como absolutamente contínua - sem especificar com relação a qual outra medida ela é absolutamente contínua - então significa continuidade absoluta com respeito à medida de Lebesgue.

O mesmo princípio é válido para medidas em subconjuntos do Borel de ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}, n \ geq 2.}$

Definições equivalentes

As seguintes condições em uma medida finita em subconjuntos Borel da linha real são equivalentes: ${\ displaystyle \ mu}$

1. ${\ displaystyle \ mu}$ é absolutamente contínuo;
2. para cada número positivo existe um número positivo tal que para todos os conjuntos Borel de Lebesgue medem menos que${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle \ mu (A) <\ varepsilon}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ delta;}$
3. existe uma função integrável Lebesgue na linha real de modo que${\ displaystyle g}$
   $${\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} g \, d \ lambda}$$

   
   para todos os subconjuntos do Borel da linha real.${\ displaystyle A}$

Para uma definição equivalente em termos de funções, consulte a seção Relação entre as duas noções de continuidade absoluta .

Qualquer outra função que satisfaça (3) é igual a quase todos os lugares. Essa função é chamada de derivada Radon-Nikodym , ou densidade, da medida absolutamente contínua${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mu.}$

A equivalência entre (1), (2) e (3) vale também para todos${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n = 1,2,3, \ ldots.}$

Assim, as medidas absolutamente contínuas ligadas são justamente aquelas que possuem densidades; como um caso especial, as medidas de probabilidade absolutamente contínuas são precisamente aquelas que têm funções de densidade de probabilidade . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Generalizações

Se e são duas medidas no mesmo espaço mensurável é dito ser${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}),}$ ${\ displaystyle \ mu}$ absolutamente contínuo com respeito a${\ displaystyle \ nu}$ifpara cada conjuntopara o qualIsto é escrito como "". Isso é: ${\ displaystyle \ mu (A) = 0}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ nu (A) = 0.}$${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu}$

Quando então é dito ser${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu,}$${\ displaystyle \ nu}$dominando ${\ displaystyle \ mu.}$

A continuidade absoluta das medidas é reflexiva e transitiva , mas não é anti-simétrica , portanto, é uma pré - ordem, e não uma ordem parcial . Em vez disso, se e as medidas e são considerados equivalentes . Assim, a continuidade absoluta induz uma ordenação parcial de tais classes de equivalência . ${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu}$${\ displaystyle \ nu \ ll \ mu,}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$

Se for uma medida sinalizada ou complexa , diz-se que é absolutamente contínua no que diz respeito a se sua variação satisfaz equivalentemente, se todo conjunto para o qual for - nulo . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle | \ mu |}$${\ displaystyle | \ mu | \ ll \ nu;}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ nu (A) = 0}$${\ displaystyle \ mu}$

O teorema de Radon-Nikodym afirma que se é absolutamente contínuo em relação a e ambas as medidas são σ-finitas , então tem uma densidade, ou "derivada de Radon-Nikodym", com relação a qual significa que existe uma função mensurável tomando valores em denotado por tal que, para qualquer conjunto mensurável , temos ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu,}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu,}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0, + \ infty),}$${\ displaystyle f = d \ mu / d \ nu,}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle A}$

Medidas singulares

Por meio do teorema de decomposição de Lebesgue , cada medida σ-finita pode ser decomposta na soma de uma medida absolutamente contínua e uma medida singular em relação a outra medida σ-finita. Veja medida singular para exemplos de medidas que não são absolutamente contínuas.

Relação entre as duas noções de continuidade absoluta

Uma medida finita μ em subconjuntos de Borel da linha real é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue se e somente se a função de ponto

${\ displaystyle F (x) = \ mu ((- \ infty, x])}$

é uma função real absolutamente contínua. Mais geralmente, uma função é localmente (ou seja, em cada intervalo limitado) absolutamente contínua se e somente se sua derivada distributiva é uma medida que é absolutamente contínua em relação à medida de Lebesgue.

Se a continuidade absoluta detém então a derivada de Radon-Nikodym de μ é igual em quase toda parte ao derivado de F .

Mais geralmente, a medida μ é assumida como localmente finita (em vez de finita) e F ( x ) é definida como μ ((0, x ]) para x > 0 , 0 para x = 0 , e - μ (( x , 0]) para x <0 . Nesse caso, μ é a medida de Lebesgue-Stieltjes gerada por F. A relação entre as duas noções de continuidade absoluta ainda se mantém.

Notas

Referências

• Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures , ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-2428-7
• Athreya, Krishna B .; Lahiri, Soumendra N. (2006), Teoria da medida e teoria da probabilidade , Springer, ISBN 0-387-32903-X
• Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces , Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. Xvi + 607 ISBN  978-0-8218-4768-8 , MR 2527916 , Zbl  1180.46001 , MAA
• Nielsen, Ole A. (1997), Uma introdução à integração e teoria da medida , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
• Royden, HL (1988), Real Analysis (terceira edição), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

links externos

• Continuidade absoluta na Enciclopédia de Matemática
• Tópicos em análise real e funcional por Gerald Teschl