Conjunto de Borel - Borel set

Em matemática , um conjunto de Borel é qualquer conjunto num espaço topológica que pode ser formado a partir de conjuntos abertos (ou, de modo equivalente, a partir de conjuntos fechados ) através das operações de contabilidade união , contáveis intersecção , e complemento relativa . Conjuntos de Borel são nomeados após Émile Borel .

Para um espaço topológico X , a coleção de todos os conjuntos de Borel em X forma uma σ-álgebra , conhecida como álgebra de Borel ou σ-álgebra de Borel . A álgebra de Borel em X é a menor σ-álgebra contendo todos os conjuntos abertos (ou, equivalentemente, todos os conjuntos fechados).

Os conjuntos de Borel são importantes na teoria da medida , uma vez que qualquer medida definida nos conjuntos abertos de um espaço, ou nos conjuntos fechados de um espaço, também deve ser definida em todos os conjuntos de Borel daquele espaço. Qualquer medida definida nos conjuntos de Borel é chamada de medida de Borel . Conjuntos de Borel e a hierarquia de Borel associada também desempenham um papel fundamental na teoria descritiva de conjuntos .

Em alguns contextos, os conjuntos de Borel são definidos para serem gerados pelos conjuntos compactos do espaço topológico, ao invés dos conjuntos abertos. As duas definições são equivalentes para muitos espaços bem comportados , incluindo todos os espaços σ-compactos de Hausdorff , mas podem ser diferentes em espaços mais patológicos .

Gerando a álgebra de Borel

No caso de X ser um espaço métrico , a álgebra de Borel no primeiro sentido pode ser descrita generativamente como segue.

Para uma coleção T de subconjuntos de X (isto é, para qualquer subconjunto do conjunto de potência P ( X ) de X ), deixe

• ${\ displaystyle T _ {\ sigma}}$ser todas as uniões contáveis ​​de elementos de T
• ${\ displaystyle T _ {\ delta}}$ser todas as interseções contáveis ​​de elementos de T
• ${\ displaystyle T _ {\ delta \ sigma} = (T _ {\ delta}) _ {\ sigma}.}$

Agora defina por indução transfinita uma sequência G ^m , onde m é um número ordinal , da seguinte maneira:

• Para o caso de base da definição, vamos ser a coleção de subconjuntos abertos de X .${\ displaystyle G ^ {0}}$
• Se i não é um limite ordinal , então i tem um ordinal imediatamente anterior i - 1. Seja
  $${\ displaystyle G ^ {i} = [G ^ {i-1}] _ {\ delta \ sigma}.}$$

  
• Se i for um limite ordinal, defina
  $${\ displaystyle G ^ {i} = \ bigcup _ {j <i} G ^ {j}.}$$

  

A alegação é que a álgebra de Borel é G ^{ω ₁} , onde ω ₁ é o primeiro número ordinal incontável . Ou seja, a álgebra de Borel pode ser gerada a partir da classe de conjuntos abertos iterando a operação

$${\ displaystyle G \ mapsto G _ {\ delta \ sigma}.}$$

Para provar essa afirmação, observe que qualquer conjunto aberto em um espaço métrico é a união de uma sequência crescente de conjuntos fechados. Em particular, a complementação de conjuntos mapeia G ^m em si mesmo para qualquer limite ordinal m ; além disso, se m é um ordinal de limite incontável, G ^m é fechado em uniões contáveis.

Note-se que para cada conjunto de Borel B , há alguns contáveis ordinal α _B de tal modo que B pode ser obtido por iteração a operação sobre α _B . No entanto, como B varia em todos os conjuntos de Borel, α _B irá variar em todos os ordinais contáveis ​​e, portanto, o primeiro ordinal no qual todos os conjuntos de Borel são obtidos é ω ₁ , o primeiro ordinal incontável.

Exemplo

Um exemplo importante, especialmente na teoria da probabilidade , é a álgebra de Borel no conjunto de números reais . É a álgebra na qual a medida Borel é definida. Dada uma variável aleatória real definida em um espaço de probabilidade , sua distribuição de probabilidade é, por definição, também uma medida na álgebra de Borel.

A álgebra de Borel em reais é a menor σ-álgebra em R que contém todos os intervalos .

Na construção por indução transfinita, pode-se mostrar que, em cada etapa, o número de conjuntos é, no máximo, a cardinalidade do contínuo . Então, o número total de conjuntos de Borel é menor ou igual a

$${\ displaystyle \ aleph _ {1} \ cdot 2 ^ {\ aleph _ {0}} \, = 2 ^ {\ aleph _ {0}}.}$$

Na verdade, a cardinalidade da coleção de conjuntos de Borel é igual à do contínuo (compare com o número de conjuntos mensuráveis de Lebesgue que existem, que é estritamente maior e igual a ). ${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ aleph _ {0}}}}$

Espaços de Borel padrão e teoremas de Kuratowski

Seja X um espaço topológico. O espaço Borel associado a X é o par ( X , B ), onde B é o σ-álgebra de conjuntos de Borel X .

George Mackey definiu um espaço de Borel de maneira um pouco diferente, escrevendo que é "um conjunto junto com um distinto campo σ de subconjuntos chamados seus conjuntos de Borel." No entanto, o uso moderno é chamar a subalgebra distinta de conjuntos mensuráveis e esses espaços de espaços mensuráveis . A razão para esta distinção é que os conjuntos de Borel são a σ-álgebra gerada por conjuntos abertos (de um espaço topológico), enquanto a definição de Mackey se refere a um conjunto equipado com uma σ-álgebra arbitrária . Existem espaços mensuráveis ​​que não são espaços de Borel, para qualquer escolha de topologia no espaço subjacente.

Espaços mensuráveis ​​formam uma categoria em que os morfismos são funções mensuráveis ​​entre espaços mensuráveis. Uma função é mensurável se puxa de volta conjuntos mensuráveis, ou seja, para todos os conjuntos mensuráveis B em Y , o conjunto é mensurável em X . ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (B)}$

Teorema . Seja X um espaço polonês , ou seja, um espaço topológico tal que haja uma métrica d em X que define a topologia de X e que faz de X um espaço métrico separável completo . Então X como um espaço de Borel é isomórfico a um de

1. R ,
2. Z ,
3. um espaço finito.

(Este resultado é uma reminiscência do teorema de Maharam .)

Considerados como espaços de Borel, a linha real R , a união de R com um conjunto contável e R ⁿ são isomórficos.

Um espaço Borel padrão é o espaço Borel associado a um espaço polonês . Um espaço padrão do Borel é caracterizado até o isomorfismo por sua cardinalidade, e qualquer espaço padrão incontável do Borel tem a cardinalidade do continuum.

Para subconjuntos de espaços poloneses, os conjuntos de Borel podem ser caracterizados como aqueles conjuntos que são os intervalos de mapas injetivos contínuos definidos em espaços poloneses. Observe, entretanto, que o alcance de um mapa não-injetivo contínuo pode não ser Borel. Veja conjunto analítico .

Cada medida de probabilidade em um espaço de Borel padrão o transforma em um espaço de probabilidade padrão .

Conjuntos não Borel

Um exemplo de subconjunto de reais não Borel, devido a Lusin , é descrito a seguir. Em contraste, um exemplo de um conjunto não mensurável não pode ser exibido, embora sua existência possa ser provada.

Cada número irracional tem uma representação única por uma fração contínua infinita

${\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + {\ cfrac { 1} {\ ddots \,}}}}}}}}}$

onde é algum inteiro e todos os outros números são inteiros positivos . Let Ser o conjunto de todos os números irracionais que correspondem a sequências com a seguinte propriedade: existe uma subsequência infinita tal que cada elemento é um divisor do próximo elemento. Este conjunto não é Borel. Na verdade, é analítico e completo na classe dos conjuntos analíticos. Para obter mais detalhes, consulte a teoria descritiva dos conjuntos e o livro de Kechris , especialmente o Exercício (27.2) na página 209, Definição (22.9) na página 169 e Exercício (3.4) (ii) na página 14. ${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle a_ {k}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, \ dots)}$ ${\ displaystyle (a_ {k_ {0}}, a_ {k_ {1}}, \ dots)}$${\ displaystyle A}$

É importante notar que, embora possa ser construído em ZF, não pode ser provado que não seja Borel apenas em ZF. Na verdade, é consistente com ZF que é uma união contável de conjuntos contáveis, de modo que qualquer subconjunto de é um conjunto de Borel. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Outro conjunto não Borel é uma imagem inversa de uma função de paridade infinita . No entanto, esta é uma prova de existência (por meio do axioma da escolha), não um exemplo explícito. ${\ displaystyle f ^ {- 1} [0]}$ ${\ displaystyle f \ colon \ {0,1 \} ^ {\ omega} \ to \ {0,1 \}}$

Definições alternativas não equivalentes

De acordo com Paul Halmos , um subconjunto de um espaço topológico localmente compacto de Hausdorff é chamado de conjunto de Borel se pertencer ao menor anel σ contendo todos os conjuntos compactos.

Norberg e Vervaat redefinem a álgebra de Borel de um espaço topológico como a –álgebra gerada por seus subconjuntos abertos e seus subconjuntos compactos saturados . Esta definição é adequada para aplicações no caso em que não é Hausdorff. Ele coincide com a definição usual se for segundo contável ou se todo subconjunto compacto saturado for fechado (que é o caso em particular se for Hausdorff). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Veja também

• Conjunto Baire
• Σ-álgebra cilíndrica
• Espaço polonês
• Teoria dos conjuntos descritivos
• Hierarquia do Borel

Notas

Referências

• William Arveson , An Invitation to C * -algebras , Springer-Verlag, 1981. (Veja o Capítulo 3 para uma excelente exposição da topologia polonesa )
• Richard Dudley , Real Analysis and Probability . Wadsworth, Brooks e Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Teoria da medida . D. van Nostrand Co. Veja especialmente a Sect. 51 "Conjuntos de Borel e Conjuntos de Baire".
• Halsey Royden , Real Analysis , Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris , Teoria de Conjuntos Descritiva Clássica , Springer-Verlag, 1995 (textos de graduação em Matemática., Vol. 156)

links externos

• "Borel set" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Definição formal de conjuntos de Borel no sistema Mizar , e a lista de teoremas arquivados em 2020-06-01 na Wayback Machine que foram formalmente provados sobre isso.
• Weisstein, Eric W. "Borel Set" . MathWorld .