Função absolutamente integrável - Absolutely integrable function

Em matemática , uma função absolutamente integrável é uma função cujo valor absoluto é integrável , o que significa que a integral do valor absoluto sobre todo o domínio é finita.

Para uma função real- valorizada, uma vez que

Onde

ambos e devem ser finitos. Na integração de Lebesgue , este é exatamente o requisito para qualquer função mensurável f ser considerada integrável, com a integral então igualando , de modo que de fato "absolutamente integrável" significa a mesma coisa que "integrável de Lebesgue" para funções mensuráveis. ${\ textstyle \ int f ^ {+} (x) \, dx}$${\ textstyle \ int f ^ {-} (x) \, dx}$ ${\ textstyle \ int f ^ {+} (x) \, dx- \ int f ^ {-} (x) \, dx}$

A mesma coisa vale para uma função avaliada complexa . Vamos definir

onde e estão as partes reais e imaginárias de . Então ${\ displaystyle \ Re f (x)}$${\ displaystyle \ Im f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

$${\ displaystyle | f (x) | \ leq f ^ {+} (x) + f ^ {-} (x) + f ^ {+ i} (x) + f ^ {- i} (x) \ leq {\ sqrt {2}} \, | f (x) |}$$

tão

$${\ displaystyle \ int | f (x) | \, dx \ leq \ int f ^ {+} (x) \, dx + \ int f ^ {-} (x) \, dx + \ int f ^ {+ i} (x) \, dx + \ int f ^ {- i} (x) \, dx \ leq {\ sqrt {2}} \ int | f (x) | \, dx}$$

Isso mostra que a soma das quatro integrais (no meio) é finita se e somente se a integral do valor absoluto for finita, e a função é Lebesgue integrável apenas se todas as quatro integrais forem finitas. Portanto, ter uma integral finita do valor absoluto é equivalente às condições para que a função seja "integrável de Lebesgue".

links externos

• "Função absolutamente integrável - Enciclopédia da Matemática" . Retirado em 9 de outubro de 2015 .