Função mensurável - Measurable function

Em matemática e, em particular, a teoria da medida , uma função mensurável é uma função entre os conjuntos subjacentes de dois espaços mensuráveis que preserva a estrutura dos espaços: o preimage de qualquer mensurável conjunto é mensurável. Isso está em analogia direta com a definição de que uma função contínua entre espaços topológicos preserva a estrutura topológica: a pré-imagem de qualquer conjunto aberto é aberta. Na análise real , funções mensuráveis ​​são usadas na definição da integral de Lebesgue . Na teoria da probabilidade , uma função mensurável em um espaço de probabilidade é conhecida como variável aleatória .

Definição formal

Sejam e sejam espaços mensuráveis, significando que e são conjuntos equipados com as respectivas -álgebras e função A é dito mensurável se para cada a pré-imagem de sob está em ; isto é, para todos${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle (Y, \ mathrm {T})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathrm {T}.}$${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle E \ in \ mathrm {T}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle E \ in \ mathrm {T}}$

Ou seja, onde está a σ-álgebra gerada por f . Se for uma função mensurável, vamos escrever ${\ displaystyle \ sigma (f) \ subseteq \ Sigma,}$${\ displaystyle \ sigma (f)}$${\ displaystyle f: X \ a Y}$

para enfatizar a dependência das -álgebras e${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ mathrm {T}.}$

Variações de uso do termo

A escolha de -álgebras na definição acima é às vezes implícita e deixada para o contexto. Por exemplo, para ou outros espaços topológicos, a álgebra de Borel (contendo todos os conjuntos abertos) é uma escolha comum. Alguns autores definem funções mensuráveis como exclusivamente de valor real em relação à álgebra de Borel. ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C},}$

Se os valores da função estiverem em um espaço vetorial de dimensão infinita , existem outras definições não equivalentes de mensurabilidade, como mensurabilidade fraca e mensurabilidade Bochner .

Classes notáveis ​​de funções mensuráveis

• Variáveis ​​aleatórias são, por definição, funções mensuráveis ​​definidas em espaços de probabilidade.
• Se e são espaços de Borel , uma função mensurável também é chamada de função de Borel . As funções contínuas são funções do Borel, mas nem todas as funções do Borel são contínuas. No entanto, uma função mensurável é quase uma função contínua; veja o teorema de Luzin . Se uma função do Borel for uma seção de um mapa, ela é chamada de seção do Borel .${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$${\ displaystyle (Y, T)}$${\ displaystyle f: (X, \ Sigma) \ to (Y, T)}$${\ displaystyle Y \ xrightarrow {~ \ pi ~} X,}$
• Uma função mensurável de Lebesgue é uma função mensurável onde é a -álgebra dos conjuntos mensuráveis ​​de Lebesgue, e é a álgebra de Borel nos números complexos As funções mensuráveis ​​de Lebesgue são de interesse na análise matemática porque podem ser integradas. No caso de Lebesgue mensurável iff é mensurável para todos Isso também é equivalente a qualquer de ser mensurável para todos ou a pré-imagem de qualquer conjunto aberto sendo mensurável. Funções contínuas, funções monótonas, funções escalonadas, funções semicontínuas, funções integráveis ​​de Riemann e funções de variação limitada são todas mensuráveis ​​de Lebesgue. Uma função é mensurável se as partes reais e imaginárias são mensuráveis.${\ displaystyle f: (\ mathbb {R}, {\ mathcal {L}}) \ to (\ mathbb {C}, {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {C}}),}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {C}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ {f> \ alpha \} = \ {x \ in X: f (x)> \ alpha \}}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle \ {f \ geq \ alpha \}, \ {f <\ alpha \}, \ {f \ leq \ alpha \}}$${\ displaystyle \ alpha,}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {C}}$

Propriedades das funções mensuráveis

• A soma e o produto de duas funções mensuráveis ​​de valor complexo são mensuráveis. O mesmo ocorre com o quociente, desde que não haja divisão por zero.
• Se e são funções mensuráveis, então sua composição também é${\ displaystyle f: (X, \ Sigma _ {1}) \ to (Y, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle g: (Y, \ Sigma _ {2}) \ to (Z, \ Sigma _ {3})}$${\ displaystyle g \ circ f: (X, \ Sigma _ {1}) \ to (Z, \ Sigma _ {3}).}$
• Se e são funções mensuráveis, sua composição não precisa ser mensurável a menos que Na verdade, duas funções mensuráveis ​​de Lebesgue possam ser construídas de tal forma que torne sua composição não mensurável de Lebesgue.${\ displaystyle f: (X, \ Sigma _ {1}) \ to (Y, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle g: (Y, \ Sigma _ {3}) \ to (Z, \ Sigma _ {4})}$${\ displaystyle g \ circ f: X \ a Z}$${\ displaystyle (\ Sigma _ {1}, \ Sigma _ {4})}$${\ displaystyle \ Sigma _ {3} \ subseteq \ Sigma _ {2}.}$
• O supremo (pontual) , o ínfimo , o limite superior e o limite inferior de uma sequência (viz., Contáveis) de funções mensuráveis ​​de valor real são todos mensuráveis ​​também.
• O limite pontual de uma sequência de funções mensuráveis é mensurável, onde é um espaço métrico (dotado da álgebra de Borel). Isso não é verdade em geral se não for metrizável. Observe que a instrução correspondente para funções contínuas requer condições mais fortes do que a convergência pontual, como a convergência uniforme.${\ displaystyle f_ {n}: X \ a Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$

Funções não mensuráveis

Funções de valor real encontradas em aplicativos tendem a ser mensuráveis; entretanto, não é difícil provar a existência de funções não mensuráveis. Tais provas contam com o axioma da escolha de uma maneira essencial, no sentido de que a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha não prova a existência de tais funções.

Em qualquer espaço de medida com um conjunto não mensurável, pode-se construir uma função de indicador não mensurável : ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle A \ subset X,}$ ${\ displaystyle A \ notin \ Sigma,}$

onde está equipado com a álgebra Borel usual . Esta é uma função não mensurável, uma vez que a pré-imagem do conjunto mensurável é o não mensurável${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ {1 \}}$${\ displaystyle A.}$  

Como outro exemplo, qualquer função não constante é não mensurável em relação à -álgebra trivial, uma vez que a pré-imagem de qualquer ponto no intervalo é algum subconjunto adequado e não vazio do qual não é um elemento do trivial${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Sigma = \ {\ varnothing, X \},}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ Sigma.}$

Veja também

• Função mensurável de Bochner
• Espaço Bochner
• Espaço Lp  - Espaços de função generalizando espaços de norma p de dimensão finita - Espaços vetoriais de funções mensuráveis: os

espaços${\ displaystyle L ^ {p}}$

Sistema dinâmico de preservação de medida  - Objeto de estudo em teoria ergódica

Medida vetorial

Função fracamente mensurável

Notas

links externos

• Função mensurável na Enciclopédia de Matemática
• Função do Borel na Enciclopédia de Matemática