Critério de Andronov-Pontryagin - Andronov–Pontryagin criterion

O critério de Andronov-Pontryagin é uma condição necessária e suficiente para a estabilidade dos sistemas dinâmicos no plano. Foi derivado de Aleksandr Andronov e Lev Pontryagin em 1937.

Demonstração

Um sistema dinâmico

onde é um - campo vetorial no avião , é orbital topologicamente estável se e somente se as duas seguintes condições segure:

  1. Todos os pontos de equilíbrio e órbitas periódicas são hiperbólicas .
  2. Não há conexões de sela .

A mesma afirmação é válida se o campo vetorial for definido no disco da unidade e for transversal ao limite.

Esclarecimentos

A estabilidade topológica orbital de um sistema dinâmico significa que para qualquer perturbação suficientemente pequena (na C 1 -métrica), existe um homeomorfismo próximo ao mapa de identidade que transforma as órbitas do sistema dinâmico original nas órbitas do sistema perturbado (cf estabilidade estrutural ).

A primeira condição do teorema é conhecida como hiperbolicidade global . Um zero de um campo vetorial v , isto é, um ponto x 0 onde v ( x 0 ) = 0, é considerado hiperbólico se nenhum dos autovalores da linearização de v em x 0 for puramente imaginário. Uma órbita periódica de um fluxo é considerada hiperbólica se nenhum dos autovalores do mapa de retorno de Poincaré em um ponto da órbita tiver valor absoluto um.

Finalmente, conexão de sela refere-se a uma situação onde uma órbita de um ponto de sela entra no mesmo ou em outro ponto de sela, ou seja, as separatrizes instáveis ​​e estáveis são conectadas (cf órbita homoclínica e órbita heteroclínica ).

Referências

  • Andronov, Aleksandr A .; Lev S. Pontryagin (1937). "Грубые системы" [Sistemas grosseiros]. Doklady Akademii Nauk SSSR . 14 (5): 247–250. Citado em Kuznetsov (2004) .
  • Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elementos da Teoria da Bifurcação Aplicada . Springer. ISBN   978-0-387-21906-6 . . Veja o Teorema 2.5.