Arc (geometria projetiva) - Arc (projective geometry)

A 4-arco (pontos vermelhos) no plano projectiva de ordem 2 (plano Fano).

Um ( simples ) arco em finito geometria projectiva é um conjunto de pontos que satisfaz, de uma forma intuitiva, uma característica de curvas figuras em geometrias contínuas . Genericamente falando, eles são conjuntos de pontos que estão longe de "linha-like" em um avião ou longe de "avião-like" em um espaço tridimensional. Neste cenário finito é típico para incluir o número de pontos no conjunto no nome, assim que estes arcos simples são chamados k - arcos . Uma generalização importante do k conceito -arc, também referido como arcos na literatura, são os ( k, d ) -arcs.

k -arcs num plano projectiva

Num finito plano projectiva π (não necessariamente Desarguesian ) um conjunto A de k ( k ≥ 3) pontos tais que não há três pontos de A são colineares (numa linha) é chamado um k - arco . Se o plano π tem ordem q então k ≤ q + 2 , no entanto, o valor máximo de k só pode ser alcançada se q é mesmo. Num plano de ordem q , uma ( q + 1) -arc é chamado de uma oval e, se q é ainda, um ( q + 2) -arc é chamado um hyperoval .

Cada cónica no PG plano projectiva Desarguesian (2, q ), isto é, o conjunto de zeros de uma equação quadrática homogénea irredutível, é uma forma oval. Um resultado célebre de Beniamino Segre afirma que, quando q é estranho, cada ( q + 1) -arc em PG (2, q ) é uma cônica ( teorema de Segre ). Este é um dos resultados pioneiros em geometria finita .

Se q é mesmo e um é um ( q + 1) -arc em π , então ele pode ser demonstrado por meio de argumentos combinatórios que deve existir um ponto único na π (chamado o núcleo de A ) de tal modo que a união de um e esta ponto é um ( q + 2) -arc. Assim, cada oval pode ser estendido de forma única a um hyperoval num plano projectiva finito do mesmo fim.

A k -arc que não pode ser estendido para um arco maior é chamado de arco completo . Nos aviões projectiva Desarguesian, PG (2, q ), não q -arc está completa, de modo que eles podem todos ser estendido para ovais.

k -arcs num espaço projectiva

No finito projectiva espaço PG ( n , q ) com N ≥ 3 , um conjunto A de k ≥ n + 1 pontos tais que não há n + 1 pontos estão situados em um comum hiperplana é chamado um (espacial) k - arco . Esta definição generaliza a definição de um k -arc num plano (onde n = 2 ).

( K , d ) -arcs num plano projectiva

A ( k , d ) - de arco ( k , d > 1 ) em um finito plano projectiva π (não necessariamente Desarguesian ) é um conjunto, um de k pontos de π de tal modo que cada linha intercepta Um em no máximo d pontos, e há é, pelo menos, uma linha que faz intersectar Um em d pontos. A ( k , 2 ) -arc é um k -arc e pode ser referido simplesmente como um arco , se o tamanho não é uma preocupação.

O número de pontos de k de uma ( k , d ) -arc Um num plano projectiva de ordem q é, no máximo, qd + d - q . Quando a igualdade ocorre, uma chama A um arco máxima .

Hyperovals são arcos máximos. arcos completos não precisa ser arcos máximos.

Veja também

Notas

Referências

  • Dembowski, Peter (1968), geometrias finitos , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Banda 44, Berlim, Nova York: Springer-Verlag , ISBN  3-540-61786-8 , MR  0233275
  • Hirschfeld, JWP (1979), projetivas Geometrias mais Finite Campos , New York: Oxford University Press, ISBN  0-19-853526-0

links externos