Diagrama de bifurcação - Bifurcation diagram

Em matemática , particularmente em sistemas dinâmicos , um diagrama de bifurcação mostra os valores visitados ou aproximados assintoticamente (pontos fixos, órbitas periódicas ou atratores caóticos ) de um sistema em função de um parâmetro de bifurcação no sistema. É comum representar valores estáveis com uma linha sólida e valores instáveis com uma linha pontilhada, embora frequentemente os pontos instáveis sejam omitidos. Os diagramas de bifurcação permitem a visualização da teoria da bifurcação .

Animação mostrando a formação do diagrama de bifurcação

Diagrama de bifurcação do mapa circular . As regiões pretas correspondem às línguas de Arnold .

Mapa logístico

Diagrama de bifurcação do mapa logístico . O atrator para qualquer valor do parâmetro r é mostrado na linha vertical naquele r .

Um exemplo é o diagrama de bifurcação do mapa logístico :

{\ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} (1-x_ {n}). \,}

O parâmetro de bifurcação r é mostrado no eixo horizontal do gráfico e o eixo vertical mostra o conjunto de valores da função logística visitados assintoticamente em quase todas as condições iniciais.

O diagrama de bifurcação mostra a bifurcação dos períodos de órbitas estáveis de 1 a 2 a 4 a 8, etc. Cada um desses pontos de bifurcação é uma bifurcação de duplicação do período . A razão dos comprimentos dos intervalos sucessivos entre os valores de r para os quais ocorre a bifurcação converge para a primeira constante de Feigenbaum .

O diagrama também mostra duplicações de período de 3 a 6 a 12, etc., de 5 a 10 a 20, etc., e assim por diante.

Quebra de simetria em conjuntos de bifurcação

Quebra de simetria na bifurcação do forcado quando o parâmetro ε é variado. ε = 0 é o caso da bifurcação simétrica do forcado.

Em um sistema dinâmico como

{\ displaystyle {\ ddot {x}} + f (x; \ mu) + \ varepsilon g (x) = 0,}

que é estruturalmente estável quando , se um diagrama de bifurcação é traçado, tratando como o parâmetro de bifurcação, mas para valores diferentes de , o caso é a bifurcação simétrica do forcado. Quando , dizemos que temos um forcado com simetria quebrada. Isso é ilustrado na animação à direita. ${\ displaystyle \ mu \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ neq 0}$