Séries convergentes - Convergent series

Em matemática , uma série é a soma dos termos de uma sequência infinita de números. Mais precisamente, uma sequência infinita define uma série $S$ que é denotada ${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots)}$

{\ displaystyle S = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k}.}

O $n$ th soma parcial $S n$ é a soma dos primeiros $n$ termos da sequência de; isso é,

{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}.}

Uma série é convergente (ou converge ) se a seqüência de suas somas parciais tende a um limite ; isso significa que, ao somar um após o outro na ordem dada pelos índices , obtém-se somas parciais que se tornam cada vez mais próximas de um determinado número. Mais precisamente, uma série converge, se existe um número tal que para cada número positivo arbitrariamente pequeno , há um inteiro (suficientemente grande) tal que para todos , ${\ displaystyle (S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, \ dots)}$ ${\ displaystyle a_ {k}}$ ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle n \ geq N}$

{\ displaystyle \ left | S_ {n} - \ ell \ right | <\ varepsilon.}

Se a série for convergente, o número (necessariamente único) é chamado de soma das séries . ${\ displaystyle \ ell}$

A mesma notação

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k}}

é usado para a série e, se for convergente, para sua soma. Essa convenção é semelhante à que é usada para adição: $a + b$ denota a operação de adição de $a$ e $b$ , bem como o resultado dessa adição , que é chamada de soma de $a$ e $b$ .

Qualquer série que não seja convergente é dita divergente ou divergente.

Exemplos de séries convergentes e divergentes

Os recíprocos dos inteiros positivos produzem uma série divergente ( série harmônica ):
${\ displaystyle {1 \ over 1} + {1 \ over 2} + {1 \ over 3} + {1 \ over 4} + {1 \ over 5} + {1 \ over 6} + \ cdots \ rightarrow \ infty.}$
Alternar os sinais dos recíprocos de inteiros positivos produz uma série convergente ( série harmônica alternada ):
${\ displaystyle {1 \ over 1} - {1 \ over 2} + {1 \ over 3} - {1 \ over 4} + {1 \ over 5} - \ cdots = \ ln (2)}$
Os recíprocos dos números primos produzem uma série divergente (então o conjunto de primos é " grande "; veja a divergência da soma dos recíprocos dos primos ):
${\ displaystyle {1 \ over 2} + {1 \ over 3} + {1 \ over 5} + {1 \ over 7} + {1 \ over 11} + {1 \ over 13} + \ cdots \ rightarrow \ infty.}$
Os recíprocos dos números triangulares produzem uma série convergente:
${\ displaystyle {1 \ over 1} + {1 \ over 3} + {1 \ over 6} + {1 \ over 10} + {1 \ over 15} + {1 \ over 21} + \ cdots = 2. }$
Os recíprocos dos fatoriais produzem uma série convergente (ver e ):
${\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {24}} + {\ frac {1} {120}} + \ cdots = e.}$
Os recíprocos dos números quadrados produzem uma série convergente (o problema de Basel ):
${\ displaystyle {1 \ over 1} + {1 \ over 4} + {1 \ over 9} + {1 \ over 16} + {1 \ over 25} + {1 \ over 36} + \ cdots = {\ pi ^ {2} \ over 6}.}$
Os recíprocos de potências de 2 produzem uma série convergente (então o conjunto de potências de 2 é " pequeno "):
${\ displaystyle {1 \ over 1} + {1 \ over 2} + {1 \ over 4} + {1 \ over 8} + {1 \ over 16} + {1 \ over 32} + \ cdots = 2. }$
Os recíprocos de potências de qualquer n> 1 produzem uma série convergente:
${\ displaystyle {1 \ over 1} + {1 \ over n} + {1 \ over n ^ {2}} + {1 \ over n ^ {3}} + {1 \ over n ^ {4}} + {1 \ over n ^ {5}} + \ cdots = {n \ over n-1}.}$
Alternar os sinais de recíprocos de potências de 2 também produz uma série convergente:
${\ displaystyle {1 \ over 1} - {1 \ over 2} + {1 \ over 4} - {1 \ over 8} + {1 \ over 16} - {1 \ over 32} + \ cdots = {2 \ over 3}.}$
Alternar os sinais de recíprocos de potências de qualquer n> 1 produz uma série convergente:
${\ displaystyle {1 \ over 1} - {1 \ over n} + {1 \ over n ^ {2}} - {1 \ over n ^ {3}} + {1 \ over n ^ {4}} - {1 \ over n ^ {5}} + \ cdots = {n \ over n + 1}.}$
Os recíprocos dos números de Fibonacci produzem uma série convergente (ver ψ ):
${\ displaystyle {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {8}} + \ cdots = \ psi.}$

Testes de convergência

Existem vários métodos para determinar se uma série converge ou diverge .

Se for comprovado que a série azul ,, converge, então as séries menores devem convergir. Por contraposição, se a série vermelha diverge, então também deve divergir.

{\ displaystyle \ Sigma b_ {n}}

{\ displaystyle \ Sigma a_ {n}}

{\ displaystyle \ Sigma a_ {n}}

{\ displaystyle \ Sigma b_ {n}}

Teste de comparação . Os termos da sequênciasão comparados aos de outra sequência. Se, ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {b_ {n} \ right \}}$

para todo n , e converge, então o mesmo acontece ${\ displaystyle 0 \ leq \ a_ {n} \ leq \ b_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

No entanto, se,

para todo n , , e diverge, em seguida, o mesmo acontece ${\ displaystyle 0 \ leq \ b_ {n} \ leq \ a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$

Teste de relação . Suponha que para todo n ,não é zero. Suponha que existatal ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = r.}

Se r <1, a série é absolutamente convergente. Se r > 1, a série diverge. Se r = 1, o teste de razão é inconclusivo e as séries podem convergir ou divergir.

Teste de raiz ou n- ésimo teste de raiz . Suponha que os termos da sequência em questão não sejam negativos . Defina r da seguinte forma:

{\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ rightarrow \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}

onde "sup sup" denota o limite superior (possivelmente ∞; se o limite existe é o mesmo valor).

Se r <1, então a série converge. Se r > 1, a série diverge. Se r = 1, o teste de raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.

O teste de razão e o teste de raiz baseiam-se na comparação com uma série geométrica e, como tal, funcionam em situações semelhantes. Na verdade, se o teste de razão funcionar (o que significa que o limite existe e não é igual a 1), o teste de raiz também funciona; o inverso, entretanto, não é verdade. O teste de raiz é, portanto, mais geralmente aplicável, mas como uma questão prática, o limite costuma ser difícil de calcular para tipos de série comumente vistos.

Teste integral . A série pode ser comparada a uma integral para estabelecer convergência ou divergência. LetSer uma função positiva e monotonicamente decrescente . Se ${\ displaystyle f (n) = a_ {n}}$

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ lim _ {t \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {t} f (x) \, dx < \ infty,}

então a série converge. Mas se a integral diverge, a série também diverge.

Teste de comparação de limite . Se, e o limiteexiste e não é zero, entãoconverge se e somente se converge. ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}, \ left \ {b_ {n} \ right \}> 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n}}$

Teste de série alternada . Também conhecido como critério de Leibniz , o teste de séries alternadas afirma que, para uma série alternada da forma, sefor monotonicamente decrescente e tiver um limite de 0 no infinito, a série converge. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} (- 1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}}$

Teste de condensação de Cauchy . Sefor uma seqüência decrescente monótona positiva, então converge se e somente seconvergir. ${\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}}}$

Teste de dirichlet

Teste de abel

Convergência condicional e absoluta

Para qualquer sequência , para todos os n . Portanto, ${\ displaystyle \ left \ {a_ {1}, \ a_ {2}, \ a_ {3}, \ dots \ right \}}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ leq \ left | a_ {n} \ right |}$

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ leq \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right |.}

Isso significa que se converge, então também converge (mas não vice-versa). ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right |}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$

Se a série converge, então a série é absolutamente convergente . A série Maclaurin da função exponencial é absolutamente convergente para cada valor complexo da variável. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right |}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$

Se a série converge, mas a série diverge, então a série é condicionalmente convergente . A série Maclaurin da função logaritmo é condicionalmente convergente para $x$ $= 1$ . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right |}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ ln (1 + x)}$

O teorema da série de Riemann afirma que se uma série converge condicionalmente, é possível reorganizar os termos da série de tal forma que a série converge para qualquer valor, ou mesmo diverge.

Convergência uniforme

Let Ser uma seqüência de funções. Diz-se que a série converge uniformemente para f se a sequência de somas parciais definidas por ${\ displaystyle \ left \ {f_ {1}, \ f_ {2}, \ f_ {3}, \ dots \ right \}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f_ {n}}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$

{\ displaystyle s_ {n} (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (x)}

converge uniformemente para f .

Existe um análogo do teste de comparação para uma série infinita de funções, chamado de teste M de Weierstrass .

Critério de convergência de Cauchy

O critério de convergência de Cauchy afirma que uma série

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}

converge se e somente se a seqüência de somas parciais for uma seqüência de Cauchy . Isso significa que para cada há um número inteiro positivo, de modo que para todos nós temos ${\ displaystyle \ varepsilon> 0,}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle n \ geq m \ geq N}$