Desigualdade Brascamp-Lieb - Brascamp–Lieb inequality

Em matemática , a desigualdade Brascamp-Lieb é uma de duas desigualdades. O primeiro é um resultado da geometria referente às funções integráveis no espaço euclidiano n - dimensional . Ele generaliza a desigualdade de Loomis-Whitney e a desigualdade de Hölder . O segundo é um resultado da teoria da probabilidade, que fornece uma desigualdade de concentração para distribuições de probabilidade log-côncava. Ambos foram nomeados em homenagem a Herm Jan Brascamp e Elliott H. Lieb . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

A desigualdade geométrica

Fixe os números naturais m e n . Para 1 ≤  i  ≤  m , seja n _i  ∈  N e seja c _i  > 0 para que

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} n_ {i} = n.}$

Escolha funções integráveis ​​não negativas

${\ displaystyle f_ {i} \ in L ^ {1} \ left (\ mathbb {R} ^ {n_ {i}}; [0, + \ infty] \ right)}$

e mapas lineares sobrejetivos

${\ displaystyle B_ {i}: \ mathbb {R} ^ {n} \ para \ mathbb {R} ^ {n_ {i}}.}$

Então, a seguinte desigualdade se mantém:

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} \ left (B_ {i} x \ right) ^ {c_ {i} } \, \ mathrm {d} x \ leq D ^ {- 1/2} \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n_ {i}} } f_ {i} (y) \, \ mathrm {d} y \ right) ^ {c_ {i}},}$

onde D é dado por

${\ displaystyle D = \ inf \ left \ {\ left. {\ frac {\ det \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} B_ {i} ^ {*} A_ {i } B_ {i} \ right)} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ det A_ {i}) ^ {c_ {i}}}} \ right | A_ {i} {\ text { é um positivo-definido}} n_ {i} \ vezes n_ {i} {\ text {matriz}} \ right \}.}$

Outra maneira de afirmar isso é que a constante D é o que se obteria restringindo a atenção ao caso em que cada uma é uma função gaussiana centrada, a saber . ${\ displaystyle f_ {i}}$${\ displaystyle f_ {i} (y) = \ exp \ {- (y, \, A_ {i} \, y) \}}$

Relações com outras desigualdades

A desigualdade geométrica de Brascamp-Lieb

A desigualdade geométrica Brascamp-Lieb é um caso especial do acima, e foi usada por Keith Ball , em 1989, para fornecer limites superiores para volumes de seções centrais de cubos.

Para i  = 1, ..., m , seja c _i  > 0 e seja u _i  ∈  S ^{n −1} um vetor unitário; suponha que c _i e u _eu satisfaçam

${\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} (x \ cdot u_ {i}) u_ {i}}$

para todo x em R ⁿ . Seja f _i  ∈  L ¹ ( R ; [0, + ∞]) para cada i  = 1, ..., m . Então

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (x \ cdot u_ {i}) ^ {c_ {i}} \ , \ mathrm {d} x \ leq \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} f_ {i} (y) \, \ mathrm {d} y \ direita) ^ {c_ {i}}.}$

A desigualdade geométrica de Brascamp-Lieb segue da desigualdade de Brascamp-Lieb conforme declarado acima, tomando n _i  = 1 e B _i ( x ) =  x  ·  u _i . Então, para z _i  ∈  R ,

${\ displaystyle B_ {i} ^ {*} (z_ {i}) = z_ {i} u_ {i}.}$

Segue-se que D  = 1 neste caso.

Desigualdade de Hölder

Como outro caso especial, tome n i  =  n , B i  = id, o mapa de identidade em , substituindo f i por f${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$1 / c i
i, e seja c i  = 1 /  p i para 1 ≤  i  ≤  m . Então

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ frac {1} {p_ {i}}} = 1}$

e a concavidade logarítmica do determinante de uma matriz definida positiva implica que D  = 1. Isso produz a desigualdade de Hölder em : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (x) \, \ mathrm {d} x \ leq \ prod _ { i = 1} ^ {m} \ | f_ {i} \ | _ {p_ {i}}.}$

A desigualdade de concentração

Considere uma função de densidade de probabilidade . Esta função de densidade de probabilidade é considerada uma medida log-côncava se a função for convexa. Essas funções de densidade de probabilidade têm caudas que decaem exponencialmente rápido, de modo que a maior parte da massa de probabilidade reside em uma pequena região em torno do modo de . A desigualdade Brascamp-Lieb fornece outra caracterização da compactação de por delimitação da média de qualquer estatística . ${\ displaystyle p (x) = \ exp (- \ phi (x))}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle \ phi (x)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle S (x)}$

Formalmente, seja qualquer função derivável. A desigualdade Brascamp-Lieb diz: ${\ displaystyle S (x)}$

${\ displaystyle \ operatorname {var} _ {p} (S (x)) \ leq E_ {p} (\ nabla ^ {T} S (x) [H \ phi (x)] ^ {- 1} \ nabla S (x))}$

onde H é o Hessian e é o símbolo de Nabla . ${\ displaystyle \ nabla}$

Relação com outras desigualdades

A desigualdade Brascamp-Lieb é uma extensão da desigualdade de Poincaré que diz respeito apenas às distribuições de probabilidade gaussiana.

A desigualdade Brascamp-Lieb também está relacionada ao limite de Cramér-Rao . Enquanto Brascamp – Lieb é um limite superior, o limite de Cramér – Rao limita a variação de . As expressões são quase idênticas: ${\ displaystyle \ operatorname {var} _ {p} (S (x))}$

${\ displaystyle \ operatorname {var} _ {p} (S (x)) \ geq E_ {p} (\ nabla ^ {T} S (x)) [E_ {p} (H \ phi (x))] ^ {- 1} E_ {p} (\ nabla S (x)) \!}$.

Referências

• Gardner, Richard J. (2002). "A desigualdade de Brunn-Minkowski" (PDF) . Boletim da American Mathematical Society . Nova série. 39 (3): 355–405. doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 .