Com destino a Cramér – Rao - Cramér–Rao bound

Em teoria e estatística de estimativa , o limite de Cramér-Rao ( CRB ) expressa um limite inferior na variância dos estimadores imparciais de um parâmetro determinístico (fixo, embora desconhecido), afirmando que a variância de qualquer estimador é pelo menos tão alta quanto inverso da informação de Fisher . O resultado foi nomeado em homenagem a Harald Cramér e CR Rao , mas também foi derivado de forma independente por Maurice Fréchet , Georges Darmois , bem como Alexander Aitken e Harold Silverstone .

Um estimador imparcial que atinge esse limite inferior é considerado (totalmente) eficiente . Tal solução atinge o menor erro quadrático médio possível entre todos os métodos não enviesados ​​e, portanto, é o estimador imparcial da variância mínima (MVU). No entanto, em alguns casos, não existe nenhuma técnica imparcial que alcance o limite. Isso pode ocorrer se, para qualquer estimador imparcial, houver outro com uma variância estritamente menor, ou se houver um estimador MVU, mas sua variância for estritamente maior do que o inverso da informação de Fisher.

O limite de Cramér-Rao também pode ser usado para limitar a variância de estimadores enviesados de um determinado enviesamento. Em alguns casos, uma abordagem tendenciosa pode resultar em uma variância e um erro quadrático médio que estão abaixo do limite inferior imparcial de Cramér-Rao; veja o viés do estimador .

Demonstração

O limite de Cramér-Rao é declarado nesta seção para vários casos crescentemente gerais, começando com o caso em que o parâmetro é um escalar e seu estimador é imparcial . Todas as versões do limite requerem certas condições de regularidade, que valem para a maioria das distribuições bem comportadas. Essas condições são listadas posteriormente nesta seção .

Caso escalar imparcial

Suponha que seja um parâmetro determinístico desconhecido que deve ser estimado a partir de observações independentes (medições) de , cada um a partir de uma distribuição de acordo com alguma função de densidade de probabilidade . A variância de qualquer estimador imparcial de é então limitada pelo recíproco das informações de Fisher : ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f (x; \ theta)}$${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle I (\ theta)}$

${\ displaystyle \ operatorname {var} ({\ hat {\ theta}}) \ geq {\ frac {1} {I (\ theta)}}}$

onde a informação de Fisher é definida por ${\ displaystyle I (\ theta)}$

${\ displaystyle I (\ theta) = n \ operatorname {E} _ {\ theta} \ left [\ left ({\ frac {\ partial \ ell (X; \ theta)} {\ partial \ theta}} \ right ) ^ {2} \ right]}$

e é o logaritmo natural da função de verossimilhança para uma única amostra e denota o valor esperado em relação à densidade de . Se for duas vezes diferenciável e certas condições de regularidade forem mantidas, as informações de Fisher também podem ser definidas da seguinte forma: ${\ displaystyle \ ell (x; \ theta) = \ log (f (x; \ theta))}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {\ theta}}$${\ displaystyle f (x; \ theta)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ ell (x; \ theta)}$

${\ displaystyle I (\ theta) = - n \ operatorname {E} _ {\ theta} \ left [{\ frac {\ parcial ^ {2} \ ell (X; \ theta)} {\ parcial \ theta ^ { 2}}} \ right]}$

A eficiência de um estimador imparcial mede o quão perto a variância desse estimador chega desse limite inferior; a eficiência do estimador é definida como ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$

${\ displaystyle e ({\ hat {\ theta}}) = {\ frac {I (\ theta) ^ {- 1}} {\ operatorname {var} ({\ hat {\ theta}})}}}$

ou a variância mínima possível para um estimador imparcial dividido por sua variância real. O limite inferior de Cramér-Rao, portanto, dá

${\ displaystyle e ({\ hat {\ theta}}) \ leq 1}$.

Caso escalar geral

Uma forma mais geral do limite pode ser obtida considerando um estimador enviesado , cuja expectativa não é senão uma função desse parâmetro, digamos ,. Portanto, geralmente não é igual a 0. Nesse caso, o limite é dado por ${\ displaystyle T (X)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ psi (\ theta)}$${\ displaystyle E \ {T (X) \} - \ theta = \ psi (\ theta) - \ theta}$

${\ displaystyle \ operatorname {var} (T) \ geq {\ frac {[\ psi '(\ theta)] ^ {2}} {I (\ theta)}}}$

onde é a derivada de (por ) e é a informação de Fisher definida acima. ${\ displaystyle \ psi '(\ theta)}$${\ displaystyle \ psi (\ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle I (\ theta)}$

Limite na variância dos estimadores enviesados

Além de ser um limite para estimadores de funções do parâmetro, essa abordagem pode ser usada para derivar um limite para a variância de estimadores enviesados ​​com um determinado enviesamento, como segue. Considere um estimador com viés e deixe . Pelo resultado acima, qualquer estimador não enviesado cuja expectativa é tem variância maior ou igual a . Assim, qualquer estimador cujo viés é dado por uma função satisfaz ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$${\ displaystyle b (\ theta) = E \ {{\ hat {\ theta}} \} - \ theta}$${\ displaystyle \ psi (\ theta) = b (\ theta) + \ theta}$${\ displaystyle \ psi (\ theta)}$${\ displaystyle (\ psi '(\ theta)) ^ {2} / I (\ theta)}$${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$${\ displaystyle b (\ theta)}$

${\ displaystyle \ operatorname {var} \ left ({\ hat {\ theta}} \ right) \ geq {\ frac {[1 + b '(\ theta)] ^ {2}} {I (\ theta)} }.}$

A versão imparcial do limite é um caso especial desse resultado, com . ${\ displaystyle b (\ theta) = 0}$

É trivial ter uma pequena variância - um "estimador" que é constante tem uma variância igual a zero. Mas a partir da equação acima, descobrimos que o erro quadrático médio de um estimador enviesado é limitado por

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left (({\ hat {\ theta}} - \ theta) ^ {2} \ right) \ geq {\ frac {[1 + b '(\ theta)] ^ {2 }} {I (\ theta)}} + b (\ theta) ^ {2},}$

usando a decomposição padrão do MSE. Observe, no entanto, que se esse limite for menor do que o limite imparcial de Cramér-Rao . Por exemplo, no exemplo da estimativa de variância abaixo , . ${\ displaystyle 1 + b '(\ theta) <1}$${\ displaystyle 1 / I (\ theta)}$${\ displaystyle 1 + b '(\ theta) = {\ frac {n} {n + 2}} <1}$

Caso multivariado

Estendendo o limite de Cramér – Rao para vários parâmetros, defina um vetor de coluna de parâmetro

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} = \ left [\ theta _ {1}, \ theta _ {2}, \ dots, \ theta _ {d} \ right] ^ {T} \ in \ mathbb { R} ^ {d}}$

com função de densidade de probabilidade que satisfaça as duas condições de regularidade abaixo. ${\ displaystyle f (x; {\ boldsymbol {\ theta}})}$

A matriz de informação de Fisher é uma matriz com elemento definido como ${\ displaystyle d \ times d}$${\ displaystyle I_ {m, k}}$

${\ displaystyle I_ {m, k} = \ operatorname {E} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial \ theta _ {m}}} \ log f \ left (x; {\ boldsymbol {\ theta }} \ right) {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta _ {k}}} \ log f \ left (x; {\ boldsymbol {\ theta}} \ right) \ right] = - \ operatorname { E} \ left [{\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ theta _ {m} \, \ partial \ theta _ {k}}} \ log f \ left (x; {\ boldsymbol {\ theta}} \ right) \ right].}$

Seja um estimador de qualquer função vetorial de parâmetros ,, e denote seu vetor de expectativa por . O limite de Cramér-Rao então afirma que a matriz de covariância de satisfaz ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}} (X)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}} (X) = (T_ {1} (X), \ ldots, T_ {d} (X)) ^ {T}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} [{\ boldsymbol {T}} (X)]}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} ({\ boldsymbol {\ theta}})}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}} (X)}$

${\ displaystyle \ operatorname {cov} _ {\ boldsymbol {\ theta}} \ left ({\ boldsymbol {T}} (X) \ right) \ geq {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}} \ esquerda ({\ boldsymbol {\ theta}} \ right)} {\ partial {\ boldsymbol {\ theta}}}} [I \ left ({\ boldsymbol {\ theta}} \ right)] ^ {- 1} \ esquerda ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ psi}} \ left ({\ boldsymbol {\ theta}} \ right)} {\ partial {\ boldsymbol {\ theta}}}} \ right) ^ {T }}$

Onde

• A desigualdade da matriz é entendida como significando que a matriz é semidefinida positiva , e${\ displaystyle A \ geq B}$${\ displaystyle AB}$
• ${\ displaystyle \ partial {\ boldsymbol {\ psi}} ({\ boldsymbol {\ theta}}) / \ parcial {\ boldsymbol {\ theta}}}$é a matriz Jacobiana cujo elemento é dado por .${\ displaystyle ij}$${\ displaystyle \ partial \ psi _ {i} ({\ boldsymbol {\ theta}}) / \ parcial \ theta _ {j}}$

Se for um estimador imparcial de (ou seja, ), então o limite de Cramér-Rao se reduz a ${\ displaystyle {\ boldsymbol {T}} (X)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ psi}} \ left ({\ boldsymbol {\ theta}} \ right) = {\ boldsymbol {\ theta}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {cov} _ {\ boldsymbol {\ theta}} \ left ({\ boldsymbol {T}} (X) \ right) \ geq I \ left ({\ boldsymbol {\ theta}} \ right) ^ {- 1}.}$

Se for inconveniente calcular o inverso da matriz de informação de Fisher , então pode-se simplesmente tomar o recíproco do elemento diagonal correspondente para encontrar um limite inferior (possivelmente frouxo).

${\ displaystyle \ operatorname {var} _ {\ boldsymbol {\ theta}} (T_ {m} (X)) = \ left [\ operatorname {cov} _ {\ boldsymbol {\ theta}} \ left ({\ boldsymbol {T}} (X) \ right) \ right] _ {mm} \ geq \ left [I \ left ({\ boldsymbol {\ theta}} \ right) ^ {- 1} \ right] _ {mm} \ geq \ left (\ left [I \ left ({\ boldsymbol {\ theta}} \ right) \ right] _ {mm} \ right) ^ {- 1}.}$

Condições de regularidade

O limite depende de duas condições fracas regularidade sobre a função densidade de probabilidade , e o estimador : ${\ displaystyle f (x; \ theta)}$${\ displaystyle T (X)}$

• As informações de Fisher são sempre definidas; equivalentemente, para todos aqueles que ,${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x; \ theta)> 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ log f (x; \ theta)}$

existe e é finito.

• As operações de integração com respeito a e diferenciação com respeito a podem ser intercambiadas na expectativa de ; isso é,${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left [\ int T (x) f (x; \ theta) \, dx \ right] = \ int T (x) \ left [{ \ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} f (x; \ theta) \ right] \, dx}$

sempre que o lado direito for finito.

Essa condição pode muitas vezes ser confirmada usando o fato de que integração e diferenciação podem ser trocadas quando um dos seguintes casos for válido:

1. A função tem suporte limitado em e os limites não dependem de ;${\ displaystyle f (x; \ theta)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta}$
2. A função tem suporte infinito, é continuamente diferenciável e a integral converge uniformemente para todos .${\ displaystyle f (x; \ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$

Prova de parâmetro único

O que se segue é uma prova do caso escalar geral do limite de Cramér-Rao descrito acima . Suponha que seja um estimador com expectativa (com base nas observações ), ou seja, isso . O objetivo é provar que, para todos , ${\ displaystyle T = t (X)}$${\ displaystyle \ psi (\ theta)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (T) = \ psi (\ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ operatorname {var} (t (X)) \ geq {\ frac {[\ psi ^ {\ prime} (\ theta)] ^ {2}} {I (\ theta)}}.}$

Let Ser uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade . Aqui está uma estatística , que é usada como um estimador para . Defina como a pontuação : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (x; \ theta)}$${\ displaystyle T = t (X)}$${\ displaystyle \ psi (\ theta)}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle V = {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ ln f (X; \ theta) = {\ frac {1} {f (X; \ theta)}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} f (X; \ theta)}$

onde a regra da cadeia é usada na igualdade final acima. Então, a expectativa de , escrita , é zero. Isto é porque: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (V)}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (V) = \ int f (x; \ theta) \ left [{\ frac {1} {f (x; \ theta)}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} f (x; \ theta) \ right] \, dx = {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ int f (x; \ theta) \, dx = 0}$

onde a derivada integral e parcial foram trocadas (justificado pela segunda condição de regularidade).

Se considerarmos a covariância de e , temos , porque . Expandindo essa expressão, temos ${\ displaystyle \ operatorname {cov} (V, T)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ operatorname {cov} (V, T) = \ operatorname {E} (VT)}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (V) = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {cov} (V, T) & = \ operatorname {E} \ left (T \ cdot \ left [{\ frac {1} {f (X; \ theta)} } {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} f (X; \ theta) \ right] \ right) \\ [6pt] & = \ int t (x) \ left [{\ frac {1} {f (x; \ theta)}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} f (x; \ theta) \ right] f (x; \ theta) \, dx \\ [6pt] & = {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left [\ int t (x) f (x; \ theta) \, dx \ right] = {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta }} E (T) = \ psi ^ {\ prime} (\ theta) \ end {alinhado}}}$

novamente porque as operações de integração e diferenciação comutam (segunda condição).

A desigualdade de Cauchy-Schwarz mostra que

${\ displaystyle {\ sqrt {\ operatorname {var} (T) \ operatorname {var} (V)}} \ geq \ left | \ operatorname {cov} (V, T) \ right | = \ left | \ psi ^ {\ prime} (\ theta) \ right |}$

Portanto

${\ displaystyle \ operatorname {var} (T) \ geq {\ frac {[\ psi ^ {\ prime} (\ theta)] ^ {2}} {\ operatorname {var} (V)}} = {\ frac {[\ psi ^ {\ prime} (\ theta)] ^ {2}} {I (\ theta)}}}$

o que prova a proposição.

Exemplos

Distribuição normal multivariada

Para o caso de uma distribuição normal d- variável

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} \ sim N_ {d} \ left ({\ boldsymbol {\ mu}} ({\ boldsymbol {\ theta}}), {\ boldsymbol {C}} ({\ boldsymbol { \ theta}}) \ right)}$

a matriz de informações de Fisher tem elementos

${\ displaystyle I_ {m, k} = {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ mu}} ^ {T}} {\ partial \ theta _ {m}}} {\ boldsymbol {C}} ^ {- 1} {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ mu}}} {\ partial \ theta _ {k}}} + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr} \ left ({\ boldsymbol {C}} ^ {- 1} {\ frac {\ partial {\ boldsymbol {C}}} {\ partial \ theta _ {m}}} {\ boldsymbol {C}} ^ {- 1} {\ frac { \ partial {\ boldsymbol {C}}} {\ partial \ theta _ {k}}} \ right)}$

onde "tr" é o traço .

Por exemplo, deixe ser uma amostra de observações independentes com média desconhecida e variância conhecida . ${\ displaystyle w [n]}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle w [n] \ sim \ mathbb {N} _ {N} \ left (\ theta {\ boldsymbol {1}}, \ sigma ^ {2} {\ boldsymbol {I}} \ right).}$

Então, a informação de Fisher é um escalar dado por

${\ displaystyle I (\ theta) = \ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ mu}} (\ theta)} {\ partial \ theta}} \ right) ^ {T} {\ boldsymbol {C }} ^ {- 1} \ left ({\ frac {\ partial {\ boldsymbol {\ mu}} (\ theta)} {\ partial \ theta}} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ { N} {\ frac {1} {\ sigma ^ {2}}} = {\ frac {N} {\ sigma ^ {2}}},}$

e assim o limite Cramér-Rao é

${\ displaystyle \ operatorname {var} \ left ({\ hat {\ theta}} \ right) \ geq {\ frac {\ sigma ^ {2}} {N}}.}$

Variância normal com média conhecida

Suponha que X seja uma variável aleatória normalmente distribuída com média conhecida e variância desconhecida . Considere a seguinte estatística: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - \ mu) ^ {2}} {n}}.}$

Então T é imparcial para , as . Qual é a variância de T ? ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle E (T) = \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {var} (T) = \ operatorname {var} \ left ({\ frac {(X- \ mu) ^ {2}} {n}} \ right) = {\ frac {\ operatorname { var} (X- \ mu) ^ {2}} {n ^ {2}}} = {\ frac {1} {n ^ {2}}} \ left [\ operatorname {E} \ left \ {(X - \ mu) ^ {4} \ right \} - \ left (\ operatorname {E} \ {(X- \ mu) ^ {2} \} \ right) ^ {2} \ right]}$

(a segunda igualdade decorre diretamente da definição de variância). O primeiro termo é o quarto momento sobre a média e tem valor ; o segundo é o quadrado da variação, ou . Assim ${\ displaystyle 3 (\ sigma ^ {2}) ^ {2}}$${\ displaystyle (\ sigma ^ {2}) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ operatorname {var} (T) = {\ frac {2 (\ sigma ^ {2}) ^ {2}} {n}}.}$

Agora, quais são as informações de Fisher na amostra? Lembre-se de que a pontuação é definida como ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle V = {\ frac {\ partial} {\ partial \ sigma ^ {2}}} \ log L (\ sigma ^ {2}, X)}$

onde está a função de verossimilhança . Portanto, neste caso, ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle L = \ log \ left [{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}} e ^ {- (X- \ mu) ^ {2} / {2 \ sigma ^ {2}}} \ right] = - \ log ({\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}) - {\ frac {(X- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}$

${\ displaystyle V = {\ frac {\ partial} {\ partial \ sigma ^ {2}}} \ log L (\ sigma ^ {2}, X) = {\ frac {\ partial} {\ partial \ sigma ^ {2}}} \ left [- \ log ({\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}}) - {\ frac {(X- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ { 2}}} \ right] = - {\ frac {1} {2 \ sigma ^ {2}}} + {\ frac {(X- \ mu) ^ {2}} {2 (\ sigma ^ {2} ) ^ {2}}}}$

onde a segunda igualdade é do cálculo elementar. Assim, a informação em uma única observação é apenas menos a expectativa da derivada de , ou ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle I = - \ operatorname {E} \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial \ sigma ^ {2}}} \ right) = - \ operatorname {E} \ left (- {\ frac {(X- \ mu) ^ {2}} {(\ sigma ^ {2}) ^ {3}}} + {\ frac {1} {2 (\ sigma ^ {2}) ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {(\ sigma ^ {2}) ^ {3}}} - {\ frac {1} {2 (\ sigma ^ {2}) ^ {2 }}} = {\ frac {1} {2 (\ sigma ^ {2}) ^ {2}}}.}$

Assim, as informações em uma amostra de observações independentes são apenas vezes isso, ou${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ frac {n} {2 (\ sigma ^ {2}) ^ {2}}}.}$

O limite Cramer-Rao afirma que

${\ displaystyle \ operatorname {var} (T) \ geq {\ frac {1} {I}}.}$

Nesse caso, a desigualdade é saturada (a igualdade é alcançada), mostrando que o estimador é eficiente .

No entanto, podemos obter um erro quadrático médio mais baixo usando um estimador enviesado. O estimador

${\ displaystyle T = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - \ mu) ^ {2}} {n + 2}}.}$

obviamente tem uma variação menor, que é na verdade

${\ displaystyle \ operatorname {var} (T) = {\ frac {2n (\ sigma ^ {2}) ^ {2}} {(n + 2) ^ {2}}}.}$

Seu viés é

${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {n} {n + 2}} \ right) \ sigma ^ {2} = {\ frac {2 \ sigma ^ {2}} {n + 2}}}$

então seu erro quadrático médio é

${\ displaystyle \ operatorname {MSE} (T) = \ left ({\ frac {2n} {(n + 2) ^ {2}}} + {\ frac {4} {(n + 2) ^ {2} }} \ right) (\ sigma ^ {2}) ^ {2} = {\ frac {2 (\ sigma ^ {2}) ^ {2}} {n + 2}}}$

que é claramente menor do que o limite de Cramér – Rao encontrado acima.

Quando a média não é conhecida, a estimativa do erro quadrático médio mínimo da variância de uma amostra da distribuição gaussiana é obtida dividindo por , em vez de ou . ${\ displaystyle n + 1}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle n + 2}$

Veja também

• Chapman-Robbins vinculado
• Desigualdade de Kullback
• Desigualdade Brascamp-Lieb

Referências e notas

Leitura adicional

• Amemiya, Takeshi (1985). Econometria avançada . Cambridge: Harvard University Press. pp.  14 -17. ISBN 0-674-00560-0.
• Bos, Adriaan van den (2007). Estimativa de parâmetros para cientistas e engenheiros . Hoboken: John Wiley & Sons. pp. 45–98. ISBN 0-470-14781-4.
• Kay, Steven M. (1993). Fundamentals of Statistical Signal Processing, Volume I: Estimation Theory . Prentice Hall. ISBN 0-13-345711-7.. Capítulo 3.
• Shao, junho (1998). Estatística Matemática . Nova York: Springer. ISBN 0-387-98674-X.. Seção 3.1.3.

links externos

• FandPLimitTool um software baseado em GUI para calcular as informações de Fisher e Cramer-Rao Lower Bound com aplicação em microscopia de molécula única.