Chandrasekhar potencial energético tensor - Chandrasekhar potential energy tensor

Em astrofísica , Chandrasekhar potencial tensor de energia fornece o potencial gravitacional de um corpo, devido à sua própria gravidade criado pela distribuição da matéria em todo o corpo, em homenagem ao American Indian astrofísico Subrahmanyan Chandrasekhar . O tensor Chandrasekhar é uma generalização de energia potencial em outras palavras, o traço do tensor Chandrasekhar fornece a energia potencial do corpo.

Definição

O tensor energia potencial Chandrasekhar é definido como

${\ Displaystyle W_ {ij} = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho \ phi _ {ij} d \ mathbf {x} = \ int _ {V} \ rho x_ { i} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ x_ parcial {j}}} d \ mathbf {x}}$

Onde

${\ Displaystyle \ phi _ {ij} (\ mathbf {x}) = G \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {x '}) {\ frac {(x_ {i} -x_ {i}') (x_ {j} -x_ {j} ')} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} | ^ {3}}} d \ mathbf {x '}, \ quad \ Rightarrow \ quad \ phi _ {ii} = \ phi = G \ int _ {V} {\ frac {\ rho (\ mathbf {x '})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} |}} d \ mathbf {x '}}$

Onde

• ${\ Displaystyle G}$é a constante gravitacional
• ${\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {x})}$é o potencial de auto-gravitando da lei da gravidade de Newton
• ${\ Displaystyle \ Phi _ {ij}}$ é a versão generalizada de ${\ Displaystyle \ Phi}$
• ${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {x})}$é o assunto da densidade de distribuição
• ${\ V} displaystyle$ é o volume do corpo

É evidente que é um tensor simétrico de sua definição. O traço do tensor Chandrasekhar nada mais é que a energia potencial . ${\ Displaystyle W_ {ij}}$${\ Displaystyle W_ {ij}}$${\ W} displaystyle$

${\ Displaystyle W = W_ {ii} = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho \ phi d \ mathbf {x} = \ int _ {V} \ rho x_ {i} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ x_ parcial {i}}} d \ mathbf {x}}$

Daí Chandrasekhar tensor pode ser visto como a generalização de energia potencial.

A prova de Chandrasekhar

Considere uma questão de volume de com a densidade . portanto ${\ V} displaystyle$${\ Displaystyle \ rho (\ mathbf {x})}$

${\ Displaystyle {\ {começar alinhados} W_ {ij} & = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho \ phi _ {ij} d \ mathbf {x} \\ & = - {\ frac {1} {2}} G \ int _ {V} \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {x}) \ rho (\ mathbf {x '}) {\ frac {(x_ { i} -x_ {i} ') (x_ {j} -x_ {j}')} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} | ^ {3}}} d \ mathbf {x'} d \ mathbf {x} \\ & = - L \ int _ {V} \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {x}) \ rho (\ mathbf {x '}) {\ x_ frac {{i } (x_ {j} -x_ {j} ')} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} | ^ {3}}} d \ mathbf {x} d \ mathbf {x '} \\ & = G \ int _ {V} d \ mathbf {x} \ rho (\ mathbf {x}) x_ {i} {\ frac {\ parcial} {\ x_ parcial {j}}} \ int _ {V} d \ mathbf {x '} {\ frac {\ rho (\ mathbf {x'})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x '} |}} \\ & = \ int _ {V} \ rho x_ {i} {\ frac {\ parcial \ phi} {\ x_ parcial {j}}} d \ mathbf {x} \ final {alinhados}}}$

Chandrasekhar tensor em termos de potencial escalar

O potencial escalar é definido como

${\ Displaystyle \ chi (\ mathbf {x}) = - L \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {x '}) | \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} | d \ mathbf {x '}}$

em seguida, Chandrasekhar prova que

${\ W_ displaystyle {ij} = \ _ delta {ij} W + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ qui} {\ x_ parcial {i} \ x_ parcial {j}}}}$

Definir chegarmos , tendo Laplacian novamente, obtemos . ${\ Displaystyle i = j}$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ qui = -2W}$${\ Displaystyle \ nabla ^ {4} \ qui = 8 \ pi L \ rho}$

Veja também

• teorema do virial
• equações viriais Chandrasekhar

Referências