Equações viriais de Chandrasekhar - Chandrasekhar virial equations

Na astrofísica , as equações viriais de Chandrasekhar são uma hierarquia de equações de momento das equações de Euler , desenvolvidas pelo astrofísico indiano americano Subrahmanyan Chandrasekhar e pelos físicos Enrico Fermi e Norman R. Lebovitz.

Descrição matemática

Considere uma massa de fluido de volume com densidade e uma pressão isotrópica com pressão de fuga nas superfícies limitantes. Aqui, refere-se a um quadro de referência anexado ao centro de massa. Antes de descrever as equações viriais, vamos definir alguns momentos . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}, t)}$${\ displaystyle p (\ mathbf {x}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

Os momentos de densidade são definidos como

${\ displaystyle M = \ int _ {V} \ rho \, d \ mathbf {x}, \ quad I_ {i} = \ int _ {V} \ rho x_ {i} \, d \ mathbf {x}, \ quad I_ {ij} = \ int _ {V} \ rho x_ {i} x_ {j} \, d \ mathbf {x}, \ quad I_ {ijk} = \ int _ {V} \ rho x_ {i } x_ {j} x_ {k} \, d \ mathbf {x}, \ quad I_ {ijk \ ell} = \ int _ {V} \ rho x_ {i} x_ {j} x_ {k} x _ {\ ell} \, d \ mathbf {x}, \ quad {\ text {etc.}}}$

os momentos de pressão são

${\ displaystyle \ Pi = \ int _ {V} p \, d \ mathbf {x}, \ quad \ Pi _ {i} = \ int _ {V} px_ {i} \, d \ mathbf {x}, \ quad \ Pi _ {ij} = \ int _ {V} px_ {i} x_ {j} \, d \ mathbf {x}, \ quad \ Pi _ {ijk} = \ int _ {V} px_ {i } x_ {j} x_ {k} d \ mathbf {x} \ quad {\ text {etc.}}}$

os momentos de energia cinética são

${\ displaystyle T_ {ij} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho u_ {i} u_ {j} \, d \ mathbf {x}, \ quad T_ {ij; k } = {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho u_ {i} u_ {j} x_ {k} \, d \ mathbf {x}, \ quad T_ {ij; k \ ell } = {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho u_ {i} u_ {j} x_ {k} x _ {\ ell} \, d \ mathbf {x}, \ quad \ mathrm {etc.}}$

e os momentos de tensor de energia potencial Chandrasekhar são

${\ displaystyle W_ {ij} = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho \ Phi _ {ij} \, d \ mathbf {x}, \ quad W_ {ij; k} = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho \ Phi _ {ij} x_ {k} \, d \ mathbf {x}, \ quad W_ {ij; k \ ell} = - {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho \ Phi _ {ij} x_ {k} x _ {\ ell} d \ mathbf {x}, \ quad \ mathrm {etc.} \ quad {\ text {onde}} \ quad \ Phi _ {ij} = G \ int _ {V} \ rho (\ mathbf {x '}) {\ frac {(x_ {i} -x_ {i}') (x_ {j} -x_ {j} ')} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} | ^ {3}}} \, d \ mathbf {x '}}$

onde está a constante gravitacional . ${\ displaystyle G}$

Todos os tensores são simétricos por definição. O momento de inércia , a energia cinética e a energia potencial são apenas vestígios dos seguintes tensores ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle I = I_ {ii} = \ int _ {V} \ rho | \ mathbf {x} | ^ {2} \, d \ mathbf {x}, \ quad T = T_ {ii} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {V} \ rho | \ mathbf {u} | ^ {2} \, d \ mathbf {x}, \ quad W = W_ {ii} = - {\ frac {1 } {2}} \ int _ {V} \ rho \ Phi \, d \ mathbf {x} \ quad {\ text {onde}} \ quad \ Phi = \ Phi _ {ii} = \ int _ {V} {\ frac {\ rho (\ mathbf {x '})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x'} |}} \, d \ mathbf {x '}}$

Chandrasekhar assumiu que a massa fluida está sujeita à força de pressão e sua própria força gravitacional, então as equações de Euler são

${\ displaystyle \ rho {\ frac {du_ {i}} {dt}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x_ {i}}} + \ rho {\ frac {\ partial \ Phi} { \ parcial x_ {i}}}, \ quad {\ text {onde}} \ quad {\ frac {d} {dt}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} + u_ {j} { \ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}}}$

Equação virial de primeira ordem

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} I_ {i}} {dt ^ {2}}} = 0}$

Equação virial de segunda ordem

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} I_ {ij}} {dt ^ {2}}} = 2T_ {ij} + W_ {ij} + \ delta _ { ij} \ Pi}$

Em estado estacionário, a equação torna-se

${\ displaystyle 2T_ {ij} + W_ {ij} = - \ delta _ {ij} \ Pi}$

Equação virial de terceira ordem

${\ displaystyle {\ frac {1} {6}} {\ frac {d ^ {2} I_ {ijk}} {dt ^ {2}}} = 2 (T_ {ij; k} + T_ {jk; i } + T_ {ki; j}) + W_ {ij; k} + W_ {jk; i} + W_ {ki; j} + \ delta _ {ij} \ Pi _ {k} + \ delta _ {jk} \ Pi _ {i} + \ delta _ {ki} \ Pi _ {j}}$

Em estado estacionário, a equação torna-se

${\ displaystyle 2 (T_ {ij; k} + T_ {ik; j}) + W_ {ij; k} + W_ {ik; j} = - \ delta _ {ij} \ Pi _ {K} - \ delta _ {ik} \ Pi _ {j}}$

Equações viriais em sistema de referência rotativo

As equações de Euler em um referencial giratório, girando com velocidade angular é dado por ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega}}$

${\ displaystyle \ rho {\ frac {du_ {i}} {dt}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x_ {i}}} + \ rho {\ frac {\ partial \ Phi} { \ parcial x_ {i}}} + {\ frac {1} {2}} \ rho {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {i}}} | \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x } | ^ {2} +2 \ rho \ varepsilon _ {i \ ell m} u _ {\ ell} \ Omega _ {m}}$

onde está o símbolo Levi-Civita , é a aceleração centrífuga e é a aceleração de Coriolis . ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i \ ell m}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} | \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {x} | ^ {2}}$${\ displaystyle 2 \ mathbf {u} \ times \ mathbf {\ Omega}}$

Equação virial de segunda ordem de estado estacionário

Em estado estacionário, a equação virial de segunda ordem torna-se

${\ displaystyle 2T_ {ij} + W_ {ij} + \ Omega ^ {2} I_ {ij} - \ Omega _ {i} \ Omega _ {k} I_ {kj} +2 \ epsilon _ {i \ ell m } \ Omega _ {m} \ int _ {V} \ rho u _ {\ ell} x_ {j} \, d \ mathbf {x} = - \ delta _ {ij} \ Pi}$

Se o eixo de rotação for escolhido na direção, a equação torna-se ${\ displaystyle x_ {3}}$

${\ displaystyle W_ {ij} + \ Omega ^ {2} (I_ {ij} - \ delta _ {i3} I_ {3j}) = - \ delta _ {ij} \ Pi}$

e Chandrasekhar mostra que, neste caso, os tensores podem assumir apenas a seguinte forma

${\ displaystyle W_ {ij} = {\ begin {pmatrix} W_ {11} & W_ {12} & 0 \\ W_ {21} & W_ {22} & 0 \\ 0 & 0 & W_ {33} \ end {pmatrix}}, \ quad I_ {ij} = {\ begin {pmatrix} I_ {11} & I_ {12} & 0 \\ I_ {21} & I_ {22} & 0 \\ 0 & 0 & I_ {33} \ end {pmatrix}}}$

Equação virial de terceira ordem de estado estacionário

No estado estacionário, a equação virial de terceira ordem torna-se

${\ displaystyle 2 (T_ {ij; k} + T_ {ik; j}) + W_ {ij; k} + W_ {ik; j} + \ Omega ^ {2} I_ {ijk} - \ Omega _ {i } \ Omega _ {\ ell} I _ {\ ell jk} +2 \ varepsilon _ {i \ ell m} \ Omega _ {m} \ int _ {V} \ rho u _ {\ ell} x_ {j} x_ { k} \, d \ mathbf {x} = - \ delta _ {ij} \ Pi _ {k} - \ delta _ {ik} \ Pi _ {j}}$

Se o eixo de rotação for escolhido na direção, a equação torna-se ${\ displaystyle x_ {3}}$

${\ displaystyle W_ {ij; k} + W_ {ik; j} + \ Omega ^ {2} (I_ {ijk} - \ delta _ {i3} I_ {3jk}) = - (\ delta _ {ij} \ Pi _ {k} + \ delta _ {ik} \ Pi _ {j})}$

Equação virial de quarta ordem de estado estacionário

Com sendo o eixo de rotação, a quarta ordem equação virial estado estável também é derivado por Chandrasekhar em 1968. A equação teor ${\ displaystyle x_ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} (2W_ {ij; kl} + 2W_ {ik; lj} + 2W_ {il; jk} + W_ {ij; k; l} + W_ {ik; l; j} + W_ {il; j; k}) + \ Omega ^ {2} (I_ {ijkl} - \ delta _ {i3} I_ {3jkl}) = - (\ delta _ {ij} \ Pi _ {kl } + \ delta _ {ik} \ Pi _ {lj} + \ delta _ {il} \ Pi _ {jk})}$

Equações viriais com tensões viscosas

Considere as equações de Navier-Stokes em vez das equações de Euler ,

${\ displaystyle \ rho {\ frac {du_ {i}} {dt}} = - {\ frac {\ partial p} {\ partial x_ {i}}} + \ rho {\ frac {\ partial \ Phi} { \ parcial x_ {i}}} + {\ frac {\ parcial \ tau _ {ik}} {\ parcial x_ {k}}}, \ quad {\ text {onde}} \ quad \ tau _ {ik} = \ rho \ nu \ left ({\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {k}}} + {\ frac {\ parcial u_ {k}} {\ parcial x_ {i}}} - { \ frac {2} {3}} {\ frac {\ partial u_ {l}} {\ partial x_ {l}}} \ delta _ {ik} \ right)}$

e definimos o tensor de energia de cisalhamento como

${\ displaystyle S_ {ij} = \ int _ {V} \ tau _ {ij} d \ mathbf {x}.}$

Com a condição de que o componente normal da tensão total na superfície livre deve desaparecer, ou seja , onde a unidade externa é normal, a equação virial de segunda ordem será ${\ displaystyle (-p \ delta _ {ik} + \ tau _ {ik}) n_ {k} = 0}$${\ displaystyle \ mathbf {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} I_ {ij}} {dt ^ {2}}} = 2T_ {ij} + W_ {ij} + \ delta _ { ij} \ Pi -S_ {ij}.}$

Isso pode ser facilmente estendido para quadros de referência rotativos.

Veja também

• Teorema Virial
• Problema elipsoidal de Dirichlet
• Tensor Chandrasekhar

Referências