Critério de consistência - Consistency criterion

Um sistema de votação é consistente se, sempre que o eleitorado é dividido (arbitrariamente) em várias partes e as eleições nessas partes obtêm o mesmo resultado, então uma eleição de todo o eleitorado também obtém esse resultado. Smith chama essa propriedade de separabilidade e Woodall a chama de convexidade .

Foi provado que um sistema de votação classificado é "consistente se e somente se for uma função de pontuação", ou seja, um sistema de votação posicional . A contagem de Borda é um exemplo disso.

A falha do critério de consistência pode ser vista como um exemplo do paradoxo de Simpson .

Conforme mostrado abaixo em Kemeny-Young , a aprovação ou reprovação no critério de consistência pode depender de se a eleição seleciona um único vencedor ou uma classificação completa dos candidatos (às vezes referida como consistência de classificação); na verdade, os exemplos específicos abaixo dependem de encontrar inconsistência de vencedor único escolhendo duas classificações diferentes com o mesmo vencedor geral, o que significa que eles não se aplicam à consistência de classificação.

Exemplos

Copeland

Este exemplo mostra que o método de Copeland viola o critério de consistência. Suponha cinco candidatos A, B, C, D e E com 27 eleitores com as seguintes preferências:

Preferências	Eleitores
A> D> B> E> C	3
A> D> E> C> B	2
B> A> C> D> E	3
C> D> B> E> A	3
E> C> B> A> D	3
A> D> C> E> B	3
A> D> E> B> C	1
B> D> C> E> A	3
C> A> B> D> E	3
E> B> C> A> D	3

Agora, o conjunto de todos os eleitores está dividido em dois grupos na linha em negrito. Os eleitores na linha são o primeiro grupo de eleitores; os outros são o segundo grupo de eleitores.

Primeiro grupo de eleitores

A seguir, o vencedor de Copeland para o primeiro grupo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> D> B> E> C	3
A> D> E> C> B	2
B> A> C> D> E	3
C> D> B> E> A	3
E> C> B> A> D	3

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Preferências de pares
		X
		UMA	B	C	D	E
Y	UMA		[X] 9 [Y] 5	[X] 6 [Y] 8	[X] 3 [Y] 11	[X] 6 [Y] 8
	B	[X] 5 [Y] 9		[X] 8 [Y] 6	[X] 8 [Y] 6	[X] 5 [Y] 9
	C	[X] 8 [Y] 6	[X] 6 [Y] 8		[X] 5 [Y] 9	[X] 8 [Y] 6
	D	[X] 11 [Y] 3	[X] 6 [Y] 8	[X] 9 [Y] 5		[X] 3 [Y] 11
	E	[X] 8 [Y] 6	[X] 9 [Y] 5	[X] 6 [Y] 8	[X] 11 [Y] 3
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		3-0-1	2-0-2	2-0-2	2-0-2	1-0-3

[X] indica os eleitores que preferiram o candidato listado na legenda da coluna ao candidato listado na legenda da linha
[Y] indica os eleitores que preferiram o candidato listado na legenda da linha ao candidato listado na legenda da coluna

Resultado : Com os votos do primeiro grupo de eleitores, A pode derrotar três dos quatro oponentes, enquanto nenhum outro candidato vence contra mais de dois oponentes. Assim, A é eleito vencedor de Copeland pelo primeiro grupo de eleitores.

Segundo grupo de eleitores

Agora, o vencedor de Copeland para o segundo grupo de eleitores está determinado.

Preferências	Eleitores
A> D> C> E> B	3
A> D> E> B> C	1
B> D> C> E> A	3
C> A> B> D> E	3
E> B> C> A> D	3

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares
		X
		UMA	B	C	D	E
Y	UMA		[X] 6 [Y] 7	[X] 9 [Y] 4	[X] 3 [Y] 10	[X] 6 [Y] 7
	B	[X] 7 [Y] 6		[X] 6 [Y] 7	[X] 4 [Y] 9	[X] 7 [Y] 6
	C	[X] 4 [Y] 9	[X] 7 [Y] 6		[X] 7 [Y] 6	[X] 4 [Y] 9
	D	[X] 10 [Y] 3	[X] 9 [Y] 4	[X] 6 [Y] 7		[X] 3 [Y] 10
	E	[X] 7 [Y] 6	[X] 6 [Y] 7	[X] 9 [Y] 4	[X] 10 [Y] 3
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		3-0-1	2-0-2	2-0-2	2-0-2	1-0-3

Resultado : levando em consideração apenas os votos do segundo grupo, novamente, A pode derrotar três dos quatro oponentes, enquanto nenhum outro candidato vence contra mais de dois oponentes. Assim, A é eleito vencedor de Copeland pelo segundo grupo de eleitores.

Todos os eleitores

Finalmente, o vencedor Copeland do conjunto completo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> D> B> E> C	3
A> D> C> E> B	3
A> D> E> B> C	1
A> D> E> C> B	2
B> A> C> D> E	3
B> D> C> E> A	3
C> A> B> D> E	3
C> D> B> E> A	3
E> B> C> A> D	3
E> C> B> A> D	3

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares
		X
		UMA	B	C	D	E
Y	UMA		[X] 15 [Y] 12	[X] 15 [Y] 12	[X] 6 [Y] 21	[X] 12 [Y] 15
	B	[X] 12 [Y] 15		[X] 14 [Y] 13	[X] 12 [Y] 15	[X] 12 [Y] 15
	C	[X] 12 [Y] 15	[X] 13 [Y] 14		[X] 12 [Y] 15	[X] 12 [Y] 15
	D	[X] 21 [Y] 6	[X] 15 [Y] 12	[X] 15 [Y] 12		[X] 6 [Y] 21
	E	[X] 15 [Y] 12	[X] 15 [Y] 12	[X] 15 [Y] 12	[X] 21 [Y] 6
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		2-0-2	3-0-1	4-0-0	1-0-3	0-0-4

Resultado : C é o vencedor de Condorcet, portanto Copeland escolhe C como vencedor.

Conclusão

A é o vencedor de Copeland no primeiro grupo de eleitores e também no segundo grupo de eleitores. No entanto, os dois grupos combinados elegem C como o vencedor de Copeland. Assim, Copeland falha no critério de consistência.

Votação instantânea

Este exemplo mostra que a votação Instant-runoff viola o critério de consistência. Suponha que três candidatos A, B e C e 23 eleitores com as seguintes preferências:

Preferências	Eleitores
A> B> C	4
B> A> C	2
C> B> A	4
A> B> C	4
B> A> C	6
C> A> B	3

Agora, o conjunto de todos os eleitores está dividido em dois grupos na linha em negrito. Os eleitores na linha são o primeiro grupo de eleitores; os outros são o segundo grupo de eleitores.

Primeiro grupo de eleitores

A seguir, é determinado o vencedor do segundo turno para o primeiro grupo de eleitores.

Preferências	Eleitores
A> B> C	4
B> A> C	2
C> B> A	4

B tem apenas 2 votos e é eliminado primeiro. Seus votos são transferidos para A. Agora, A tem 6 votos e vence C com 4 votos.

Candidato	Votos em volta
Candidato	1ª	2ª
UMA	4	6
B	2
C	4	4

Resultado : A vence C, após B ter sido eliminado.

Segundo grupo de eleitores

Agora, o vencedor do segundo turno para o segundo grupo de eleitores está determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C	4
B> A> C	6
C> A> B	3

C tem o menor número de votos, uma contagem de 3, e é eliminado. A se beneficia disso, reunindo todos os votos de C. Agora, com 7 votos, A vence B com 6 votos.

Candidato	Votos em volta
Candidato	1ª	2ª
UMA	4	7
B	6	6
C	3

Resultado : A vence B, depois que C foi eliminado.

Todos os eleitores

Finalmente, o vencedor do segundo turno do conjunto completo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C	8
B> A> C	8
C> A> B	3
C> B> A	4

C tem o menor número de preferências iniciais e, portanto, é eliminado primeiro, seus votos são divididos: 4 são transferidos para B e 3 para A. Assim, B vence com 12 votos contra 11 votos de A.

Candidato	Votos em volta
Candidato	1ª	2ª
UMA	8	11
B	8	12
C	7

Resultado : B vence A, após C ser eliminado.

Conclusão

A é o vencedor do segundo turno dentro do primeiro grupo de eleitores e também dentro do segundo grupo de eleitores. No entanto, os dois grupos combinados elegem B como o vencedor do segundo turno. Assim, a votação de segundo turno falha no critério de consistência.

Método Kemeny-Young

Este exemplo mostra que o método Kemeny-Young viola o critério de consistência. Suponha que três candidatos A, B e C e 38 eleitores com as seguintes preferências:

Grupo	Preferências	Eleitores
1ª	A> B> C	7
	B> C> A	6
	C> A> B	3
2ª	A> C> B	8
	B> A> C	7
	C> B> A	7

Agora, o conjunto de todos os eleitores está dividido em dois grupos na linha em negrito. Os eleitores na linha são o primeiro grupo de eleitores; os outros são o segundo grupo de eleitores.

Primeiro grupo de eleitores

A seguir, o vencedor Kemeny-Young para o primeiro grupo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C	7
B> C> A	6
C> A> B	3

O método Kemeny-Young organiza as contagens de comparação de pares na seguinte tabela de contagem:

Pares de escolhas		Eleitores que preferem
X	Y	X sobre Y	Nenhum	Y sobre X
UMA	B	10	0	6
UMA	C	7	0	9
B	C	13	0	3

As pontuações de todas as classificações possíveis são:

Preferências	1 vs 2	1 vs 3	2 vs 3	Total
A> B> C	10	7	13	30
A> C> B	7	10	3	20
B> A> C	6	13	7	26
B> C> A	13	6	9	28
C> A> B	9	3	10	22
C> B> A	3	9	6	18

Resultado : a classificação A> B> C tem a pontuação de classificação mais alta. Assim, A vence à frente de B e C.

Segundo grupo de eleitores

Agora, o vencedor Kemeny-Young para o segundo grupo de eleitores está determinado.

Preferências	Eleitores
A> C> B	8
B> A> C	7
C> B> A	7

O método Kemeny-Young organiza as contagens de comparação de pares na seguinte tabela de contagem:

Pares de escolhas		Eleitores que preferem
X	Y	X sobre Y	Nenhum	Y sobre X
UMA	B	8	0	14
UMA	C	15	0	7
B	C	7	0	15

As pontuações de todas as classificações possíveis são:

Preferências	1 vs 2	1 vs 3	2 vs 3	Total
A> B> C	8	15	7	30
A> C> B	15	8	15	38
B> A> C	14	7	15	36
B> C> A	7	14	7	28
C> A> B	7	15	8	30
C> B> A	15	7	14	36

Resultado : a classificação A> C> B tem a pontuação de classificação mais alta. Portanto, A vence à frente de C e B.

Todos os eleitores

Finalmente, o vencedor Kemeny-Young do conjunto completo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C	7
A> C> B	8
B> A> C	7
B> C> A	6
C> A> B	3
C> B> A	7

O método Kemeny-Young organiza as contagens de comparação de pares na seguinte tabela de contagem:

Pares de escolhas		Eleitores que preferem
X	Y	X sobre Y	Nenhum	Y sobre X
UMA	B	18	0	20
UMA	C	22	0	16
B	C	20	0	18

As pontuações de todas as classificações possíveis são:

Preferências	1 vs 2	1 vs 3	2 vs 3	Total
A> B> C	18	22	20	60
A> C> B	22	18	18	58
B> A> C	20	20	22	62
B> C> A	20	20	16	56
C> A> B	16	18	18	52
C> B> A	18	16	20	54

Resultado : a classificação B> A> C tem a pontuação de classificação mais alta. Então, B vence à frente de A e C.

Conclusão

A é o vencedor Kemeny-Young no primeiro grupo de eleitores e também no segundo grupo de eleitores. No entanto, ambos os grupos combinados elegem B como o vencedor Kemeny-Young. Assim, o método Kemeny-Young falha no critério de consistência.

Consistência de classificação

O método Kemeny-Young satisfaz a consistência de classificação; ou seja, se o eleitorado é dividido arbitrariamente em duas partes e eleições separadas em cada parte resultam na mesma classificação sendo selecionada, uma eleição de todo o eleitorado também seleciona essa classificação.

Prova informal

A pontuação Kemeny-Young de uma classificação é calculada somando o número de comparações entre pares em cada cédula que corresponde à classificação . Assim, a pontuação Kemeny-Young para um eleitorado pode ser calculada separando o eleitorado em subconjuntos disjuntos (com ), computando as pontuações Kemeny-Young para esses subconjuntos e somando-os: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle s_ {V} ({\ mathcal {R}})}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V = V_ {1} \ xícara V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ cap V_ {2} = \ emptyset}$

{\ displaystyle {\ text {(I)}} \ quad s_ {V} ({\ mathcal {R}}) = s_ {V_ {1}} ({\ mathcal {R}}) + s_ {V_ {2 }} ({\ mathcal {R}})}

.

Agora, considere uma eleição com o eleitorado . A premissa do critério de consistência é dividir o eleitorado arbitrariamente em duas partes , sendo que em cada uma se seleciona a mesma classificação . Isso significa que a pontuação de Kemeny-Young para a classificação em cada eleitorado é maior do que para todas as outras classificações : ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V = V_ {1} \ xícara V_ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ text {(II)}} \ quad \ forall {\ mathcal {R}} ': {} & s_ {V_ {1}} ({\ mathcal {R}})> s_ {V_ {1}} ({\ mathcal {R}} ') \\ {\ text {(III)}} \ quad \ forall {\ mathcal {R}}': {} & s_ {V_ {2}} ({\ mathcal {R}})> s_ {V_ {2}} ({\ mathcal {R}} ') \ end {alinhado}}}

Agora, tem que ser mostrado, que a pontuação Kemeny-Young do ranking em todo o eleitorado é maior do que a pontuação Kemeny-Young de todas as outras classificações : ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}$

{\ displaystyle s_ {V} ({\ mathcal {R}}) \ {\ stackrel {(I)} {=}} \ s_ {V_ {1}} ({\ mathcal {R}}) + s_ {V_ {2}} ({\ mathcal {R}}) \ {\ stackrel {(II)} {>}} \ s_ {V_ {1}} ({\ mathcal {R}} ') + s_ {V_ {2 }} ({\ mathcal {R}}) \ {\ stackrel {(III)} {>}} \ s_ {V_ {1}} ({\ mathcal {R}} ') + s_ {V_ {2}} ({\ mathcal {R}} ') \ {\ stackrel {(I)} {=}} \ s_ {V} ({\ mathcal {R}}') \ quad qed}

Assim, o método Kemeny-Young é consistente no que diz respeito a classificações completas.

Julgamento da maioria

Este exemplo mostra que o julgamento da maioria viola o critério de consistência. Considere dois candidatos A e B e 10 eleitores com as seguintes classificações:

Candidato		Eleitores
UMA	B	Eleitores
Excelente	Feira	3
Pobre	Feira	2
Feira	Pobre	3
Pobre	Feira	2

Agora, o conjunto de todos os eleitores está dividido em dois grupos na linha em negrito. Os eleitores na linha são o primeiro grupo de eleitores; os outros são o segundo grupo de eleitores.

Primeiro grupo de eleitores

A seguir, o vencedor do julgamento da maioria para o primeiro grupo de eleitores é determinado.

Candidatos		Eleitores
UMA	B	Eleitores
Excelente	Feira	3
Pobre	Feira	2

As classificações classificadas seriam as seguintes:

Candidato

↓

Ponto mediano

UMA

B

Excelente Boa Feira Pobre

Resultado : Com os votos do primeiro grupo de eleitores, A possui a avaliação mediana de “Excelente” e B possui a avaliação da mediana de “Regular”. Assim, A é eleito vencedor do julgamento por maioria pelo primeiro grupo de eleitores.

Segundo grupo de eleitores

Agora, o vencedor do julgamento da maioria para o segundo grupo de eleitores está determinado.

Candidatos		Eleitores
UMA	B	Eleitores
Feira	Pobre	3
Pobre	Feira	2

As classificações classificadas seriam as seguintes:

Candidato

↓

Ponto mediano

UMA

B

Excelente Boa Feira Pobre

Resultado : considerando apenas os votos do segundo grupo em consideração, A tem a classificação mediana de "Regular" e B a classificação mediana de "Insuficiente". Assim, A é eleito vencedor do julgamento por maioria pelo segundo grupo de eleitores.

Todos os eleitores

Finalmente, o vencedor do julgamento da maioria do conjunto completo de eleitores é determinado.

Candidatos		Eleitores
UMA	B	Eleitores
Excelente	Feira	3
Feira	Pobre	3
Pobre	Feira	4

As classificações classificadas seriam as seguintes:

Candidato

↓

Ponto mediano

UMA

B

Excelente Boa Feira Pobre

As classificações medianas de A e B são ambas "Razoáveis". Como há um empate, as avaliações "Razoáveis" são removidas de ambas, até que suas medianas se tornem diferentes. Depois de remover 20% das avaliações "Razoáveis" dos votos de cada um, as avaliações classificadas agora são:

Candidato

↓

Ponto mediano

UMA

B

Resultado : agora, a classificação mediana de A é "Insuficiente" e a classificação mediana de B é "Regular". Assim, B é eleito vencedor do julgamento por maioria.

Conclusão

A é o vencedor do julgamento da maioria no primeiro grupo de eleitores e também no segundo grupo de eleitores. No entanto, os dois grupos combinados elegem B como o vencedor do Julgamento da maioria. Assim, o julgamento da maioria falha no critério de consistência.

Minimax

Este exemplo mostra que o método minimax viola o critério de consistência. Suponha quatro candidatos A, B, C e D com 43 eleitores com as seguintes preferências:

Preferências	Eleitores
A> B> C> D	1
A> D> B> C	6
B> C> D> A	5
C> D> B> A	6
A> B> D> C	8
A> D> C> B	2
C> B> D> A	9
D> C> B> A	6

Uma vez que todas as preferências são classificações estritas (sem igual), todos os três métodos minimax (ganhar votos, margens e pares opostos) elegem os mesmos vencedores.

Agora, o conjunto de todos os eleitores está dividido em dois grupos na linha em negrito. Os eleitores na linha são o primeiro grupo de eleitores; os outros são o segundo grupo de eleitores.

Primeiro grupo de eleitores

A seguir, o vencedor do minimax para o primeiro grupo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C> D	1
A> D> B> C	6
B> C> D> A	5
C> D> B> A	6

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares
		X
		UMA	B	C	D
Y	UMA		[X] 11 [Y] 7	[X] 11 [Y] 7	[X] 11 [Y] 7
	B	[X] 7 [Y] 11		[X] 6 [Y] 12	[X] 12 [Y] 6
	C	[X] 7 [Y] 11	[X] 12 [Y] 6		[X] 6 [Y] 12
	D	[X] 7 [Y] 11	[X] 6 [Y] 12	[X] 12 [Y] 6
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota)		0-0-3	2-0-1	2-0-1	2-0-1
Pior par a par	Derrota (votos vencedores)	11	12	12	12
	Derrota (margens)	4	6	6	6
	Oposição	11	12	12	12

[X] indica os eleitores que preferiram o candidato listado na legenda da coluna ao candidato listado na legenda da linha
[Y] indica os eleitores que preferiram o candidato listado na legenda da linha ao candidato listado na legenda da coluna

Resultado : os candidatos B, C e D formam um ciclo com derrotas claras. A se beneficia disso, pois perde relativamente próximo aos três e, portanto, a maior derrota de A é a mais próxima de todos os candidatos. Assim, A é eleito vencedor do minimax pelo primeiro grupo de eleitores.

Segundo grupo de eleitores

Agora, o vencedor do minimax para o segundo grupo de eleitores está determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> D> C	8
A> D> C> B	2
C> B> D> A	9
D> C> B> A	6

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares
		X
		UMA	B	C	D
Y	UMA		[X] 15 [Y] 10	[X] 15 [Y] 10	[X] 15 [Y] 10
	B	[X] 10 [Y] 15		[X] 17 [Y] 8	[X] 8 [Y] 17
	C	[X] 10 [Y] 15	[X] 8 [Y] 17		[X] 16 [Y] 9
	D	[X] 10 [Y] 15	[X] 17 [Y] 8	[X] 9 [Y] 16
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota)		0-0-3	2-0-1	2-0-1	2-0-1
Pior par a par	Derrota (votos vencedores)	15	17	16	17
	Derrota (margens)	5	9	7	9
	Oposição	15	17	16	17

Resultado : considerando apenas os votos do segundo grupo, novamente, B, C e D formam um ciclo com derrotas claras e A se beneficia disso por causa de suas perdas relativamente próximas contra todos os três e, portanto, a maior derrota de A é a mais próxima de todas candidatos. Assim, A é eleito vencedor do minimax pelo segundo grupo de eleitores.

Todos os eleitores

Finalmente, o vencedor do minimax do conjunto completo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C> D	1
A> B> D> C	8
A> D> B> C	6
A> D> C> B	2
B> C> D> A	5
C> B> D> A	9
C> D> B> A	6
D> C> B> A	6

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares
		X
		UMA	B	C	D
Y	UMA		[X] 26 [Y] 17	[X] 26 [Y] 17	[X] 26 [Y] 17
	B	[X] 17 [Y] 26		[X] 23 [Y] 20	[X] 20 [Y] 23
	C	[X] 17 [Y] 26	[X] 20 [Y] 23		[X] 22 [Y] 21
	D	[X] 17 [Y] 26	[X] 23 [Y] 20	[X] 21 [Y] 22
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota)		0-0-3	2-0-1	2-0-1	2-0-1
Pior par a par	Derrota (votos vencedores)	26	23	22	23
	Derrota (margens)	9	3	1	3
	Oposição	26	23	22	23

Resultado : novamente, B, C e D formam um ciclo. Mas agora, suas derrotas mútuas estão muito próximas. Portanto, as derrotas que A sofre em todos os três são relativamente claras. Com uma pequena vantagem sobre B e D, C é eleito vencedor do minimax.

Conclusão

A é o vencedor do minimax no primeiro grupo de eleitores e também no segundo grupo de eleitores. No entanto, ambos os grupos combinados elegem C como o vencedor do Minimax. Portanto, o Minimax falha no critério de consistência.

Pares classificados

Este exemplo mostra que o método de pares classificados viola o critério de consistência. Suponha três candidatos A, B e C com 39 eleitores com as seguintes preferências:

Preferências	Eleitores
A> B> C	7
B> C> A	6
C> A> B	3
A> C> B	9
B> A> C	8
C> B> A	6

Agora, o conjunto de todos os eleitores está dividido em dois grupos na linha em negrito. Os eleitores na linha são o primeiro grupo de eleitores; os outros são o segundo grupo de eleitores.

Primeiro grupo de eleitores

A seguir, o vencedor dos pares classificados para o primeiro grupo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C	7
B> C> A	6
C> A> B	3

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares
		X
		UMA	B	C
Y	UMA		[X] 6 [Y] 10	[X] 9 [Y] 7
	B	[X] 10 [Y] 6		[X] 3 [Y] 13
	C	[X] 7 [Y] 9	[X] 13 [Y] 3
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		1-0-1	1-0-1	1-0-1

[X] indica os eleitores que preferiram o candidato listado na legenda da coluna ao candidato listado na legenda da linha
[Y] indica os eleitores que preferiram o candidato listado na legenda da linha ao candidato listado na legenda da coluna

A lista classificada de vitórias seria:

Par	Vencedora
B (13) vs C (3)	B 13
A (10) vs B (6)	A 10
A (7) vs C (9)	C 9

Resultado : B> C e A> B são travados primeiro (e C> A não pode ser travado depois disso), então a classificação completa é A> B> C. Assim, A é eleito vencedor de pares classificados pelo primeiro grupo de eleitores.

Segundo grupo de eleitores

Agora, o vencedor dos pares classificados para o segundo grupo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> C> B	9
B> A> C	8
C> B> A	6

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares
		X
		UMA	B	C
Y	UMA		[X] 14 [Y] 9	[X] 6 [Y] 17
	B	[X] 9 [Y] 14		[X] 15 [Y] 8
	C	[X] 17 [Y] 6	[X] 8 [Y] 15
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		1-0-1	1-0-1	1-0-1

A lista classificada de vitórias seria:

Par	Vencedora
A (17) vs C (6)	A 17
B (8) vs C (15)	C 15
A (9) vs B (14)	B 14

Resultado : tomando apenas os votos do segundo grupo na conta, A> C e C> B são travados primeiro (e B> A não pode ser travado depois disso), então a classificação completa é A> C> B. Assim, A é eleito vencedor de pares classificados pelo segundo grupo de eleitores.

Todos os eleitores

Finalmente, o vencedor dos pares classificados do conjunto completo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C	7
A> C> B	9
B> A> C	8
B> C> A	6
C> A> B	3
C> B> A	6

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares
		X
		UMA	B	C
Y	UMA		[X] 20 [Y] 19	[X] 15 [Y] 24
	B	[X] 19 [Y] 20		[X] 18 [Y] 21
	C	[X] 24 [Y] 15	[X] 21 [Y] 18
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		1-0-1	2-0-0	0-0-2

A lista classificada de vitórias seria:

Par	Vencedora
A (25) vs C (15)	A 24
B (21) vs C (18)	B 21
A (19) vs B (20)	B 20

Resultado : agora, todos os três pares (A> C, B> C e B> A) podem ser travados sem um ciclo. A classificação completa é B> A> C. Assim, os pares Ranqueados escolhem B como vencedor, que é o vencedor do Condorcet, devido à falta de um ciclo.

Conclusão

A é o vencedor dos pares classificados no primeiro grupo de eleitores e também no segundo grupo de eleitores. No entanto, ambos os grupos combinados elegem B como o vencedor dos pares classificados. Assim, o método de pares classificados falha no critério de consistência.

Método Schulze

Este exemplo mostra que o método Schulze viola o critério de consistência. Novamente, suponha três candidatos A, B e C com 39 eleitores com as seguintes preferências:

Preferências	Eleitores
A> B> C	7
B> C> A	6
C> A> B	3
A> C> B	9
B> A> C	8
C> B> A	6

Agora, o conjunto de todos os eleitores está dividido em dois grupos na linha em negrito. Os eleitores na linha são o primeiro grupo de eleitores; os outros são o segundo grupo de eleitores.

Primeiro grupo de eleitores

A seguir, o vencedor Schulze para o primeiro grupo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C	7
B> C> A	6
C> A> B	3

As preferências dos pares seriam tabuladas da seguinte forma:

Matriz de preferências de pares
d [X, Y]		Y
d [X, Y]		UMA	B	C
X	UMA		10	7
	B	6		13
	C	9	3

Agora, os caminhos mais fortes devem ser identificados, por exemplo, o caminho A> B> C é mais forte do que o caminho direto A> C (que é anulado, pois é uma perda para A).

Pontos fortes dos caminhos mais fortes
d [X, Y]		Y
d [X, Y]		UMA	B	C
X	UMA		10	10
	B	9		13
	C	9	9

Resultado : A> B, A> C e B> C prevalecem, então a classificação completa é A> B> C. Assim, A é eleito vencedor Schulze pelo primeiro grupo de eleitores.

Segundo grupo de eleitores

Agora, o vencedor Schulze para o segundo grupo de eleitores está determinado.

Preferências	Eleitores
A> C> B	9
B> A> C	8
C> B> A	6

As preferências dos pares seriam tabuladas da seguinte forma:

Matriz de preferências de pares
d [X, Y]		Y
d [X, Y]		UMA	B	C
X	UMA		9	17
	B	14		8
	C	6	15

Agora, os caminhos mais fortes devem ser identificados, por exemplo, o caminho A> C> B é mais forte do que o caminho direto A> B.

Pontos fortes dos caminhos mais fortes
d [X, Y]		Y
d [X, Y]		UMA	B	C
X	UMA		15	17
	B	14		14
	C	14	15

Resultado : A> B, A> C e C> B prevalecem, então a classificação completa é A> C> B. Assim, A é eleito vencedor Schulze pelo segundo grupo de eleitores.

Todos os eleitores

Finalmente, o vencedor Schulze do conjunto completo de eleitores é determinado.

Preferências	Eleitores
A> B> C	7
A> C> B	9
B> A> C	8
B> C> A	6
C> A> B	3
C> B> A	6

As preferências dos pares seriam tabuladas da seguinte forma:

Matriz de preferências de pares
d [X, Y]		Y
d [X, Y]		UMA	B	C
X	UMA		19	24
	B	20		21
	C	15	18

Agora, os caminhos mais fortes precisam ser identificados:

Pontos fortes dos caminhos mais fortes
d [X, Y]		Y
d [X, Y]		UMA	B	C
X	UMA		0	24
	B	20		21
	C	0	0

Resultado : A> C, B> A e B> C prevalecem, então a classificação completa é B> A> C. Assim, Schulze escolhe B como vencedor. Na verdade, B também é o vencedor do Condorcet.

Conclusão

A é o vencedor de Schulze no primeiro grupo de eleitores e também no segundo grupo de eleitores. No entanto, ambos os grupos combinados elegem B como o vencedor Schulze. Assim, o método Schulze falha no critério de consistência.

Votação STAR

Referências

^ John H Smith, "Agregação de preferências com eleitorado variável",Econometrica, Vol. 41 (1973), pp. 1027–1041.
^ DR Woodall, "Propriedades das regras de eleição preferencial",questões de votação, edição 3 (dezembro de 1994), pp. 8-15.
^ HP Young, "Social Choice Scoring Functions",SIAM Journal on Applied MathematicsVol. 28, No. 4 (1975), pp. 824–838.

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Critério de consistência - Consistency criterion

Exemplos

Copeland

Primeiro grupo de eleitores

Segundo grupo de eleitores

Todos os eleitores

Conclusão

Votação instantânea

Primeiro grupo de eleitores

Segundo grupo de eleitores

Todos os eleitores

Conclusão

Método Kemeny-Young

Primeiro grupo de eleitores

Segundo grupo de eleitores

Todos os eleitores

Conclusão

Consistência de classificação

Prova informal

Julgamento da maioria

Primeiro grupo de eleitores

Segundo grupo de eleitores

Todos os eleitores

Conclusão

Minimax

Primeiro grupo de eleitores

Segundo grupo de eleitores

Todos os eleitores

Conclusão

Pares classificados

Primeiro grupo de eleitores

Segundo grupo de eleitores

Todos os eleitores

Conclusão

Método Schulze

Primeiro grupo de eleitores

Segundo grupo de eleitores

Todos os eleitores

Conclusão

Votação STAR

Referências