Forma cúbica - Cubic form

Em matemática , uma forma cúbica é um polinômio homogêneo de grau 3 e uma hipersuperfície cúbica é o conjunto zero de uma forma cúbica. No caso de uma forma cúbica em três variáveis, o conjunto zero é uma curva plana cúbica .

Em ( Delone & Faddeev 1964 ), Boris Delone e Dmitry Faddeev mostraram que formas cúbicas binárias com coeficientes inteiros podem ser usadas para parametrizar ordens em campos cúbicos . Seu trabalho foi generalizado em ( Gan, Gross & Savin 2002 , §4) para incluir todos os anéis cúbicos (um anel cúbico é um anel que é isomórfico a Z ³ como um módulo Z ), dando uma bijeção que preserva discriminante entre as órbitas de a GL (2, Z ) - ação no espaço de formas cúbicas binárias integrais e anéis cúbicos até o isomorfismo .

A classificação das formas cúbicas reais está ligada à classificação dos pontos umbilicais das superfícies. As classes de equivalência de tais cúbicas formam um espaço projetivo real tridimensional e o subconjunto de formas parabólicas define uma superfície - o toro umbilical . ${\ displaystyle ax ^ {3} + 3bx ^ {2} y + 3cxy ^ {2} + dy ^ {3}}$

Exemplos

Delone, Boris ; Faddeev, Dmitriĭ (1964) [1940, traduzido do russo por Emma Lehmer e Sue Ann Walker], A teoria das irracionalidades do terceiro grau , Translations of Mathematical Monographs, 10 , American Mathematical Society, MR 0160744
Gan, Wee-Teck; Gross, Benedict ; Savin, Gordan (2002), "Fourier coefficients of modular forms on G ₂ ", Duke Mathematical Journal , 115 (1): 105-169, CiteSeerX 10.1.1.207.3266 , doi : 10.1215 / S0012-7094-02-11514- 2 , MR 1932327
Iskovskikh, VA; Popov, VL (2001) [1994], "Cubic form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Iskovskikh, VA; Popov, VL (2001) [1994], "Cubic hypersurface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Manin, Yuri Ivanovich (1986) [1972], Cubic forms , North-Holland Mathematical Library, 4 (2ª ed.), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6 , MR 0833513

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