Número cíclico - Cyclic number

Este artigo é sobre números em que as permutações de seus dígitos (em alguma base) geram números relacionados. Para o conceito teórico dos números, consulte número cíclico (teoria dos grupos) .

Um número cíclico é um inteiro no qual as permutações cíclicas dos dígitos são múltiplos inteiros sucessivos do número. O mais conhecido é o número de seis dígitos 142857 , cujos primeiros seis múltiplos inteiros são

142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142

Detalhes

Para se qualificar como um número cíclico, é necessário que os múltiplos consecutivos sejam permutações cíclicas. Assim, o número 076923 não seria considerado um número cíclico, porque embora todas as permutações cíclicas sejam múltiplas, elas não são múltiplos inteiros consecutivos:

076923 × 1 = 076923
076923 × 3 = 230769
076923 × 4 = 307692
076923 × 9 = 692307
076923 × 10 = 769230
076923 × 12 = 923076

Os seguintes casos triviais são normalmente excluídos:

  1. dígitos únicos, por exemplo: 5
  2. dígitos repetidos, por exemplo: 555
  3. números cíclicos repetidos, por exemplo: 142857142857

Se zeros à esquerda não forem permitidos em numerais, 142857 é o único número cíclico em decimal , devido à estrutura necessária fornecida na próxima seção. Permitindo zeros à esquerda, a sequência de números cíclicos começa:

(10 6 - 1) / 7 = 142857 (6 dígitos)
(10 16 - 1) / 17 = 0588235294117647 (16 dígitos)
(10 18 de - 1) / 19 = 052631578947368421 (18 dígitos)
(10 22 - 1) / 23 = 0434782608695652173913 (22 dígitos)
(10 28 de - 1) / 29 = 0344827586206896551724137931 (28 dígitos)
(10 46 - 1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 dígitos)
(10 58 - 1) / 59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 dígitos)
(10 60 - 1) / 61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 dígitos)
(10 96 - 1) / 97 = 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 (96 dígitos)

Relação com decimais repetidos

Os números cíclicos estão relacionados às representações digitais recorrentes de frações unitárias . Um número cíclico de comprimento L é a representação digital de

1 / ( L + 1).

Por outro lado, se o período digital de 1 / p (onde p é primo ) é

p - 1,

então os dígitos representam um número cíclico.

Por exemplo:

1/7 = 0,142857 142857 ...

Múltiplos dessas frações exibem permutação cíclica:

1/7 = 0,142857 142857 ...
2/7 = 0,28514 285714 ...
3/7 = 0,428571 428571 ...
4/7 = 0,571428 571428 ...
5/7 = 0,714285 714285 ...
6/7 = 0,857142 857142 ...

Forma de números cíclicos

A partir da relação com as frações unitárias, pode-se demonstrar que os números cíclicos são da forma do quociente de Fermat.

onde b é a base numérica (10 para decimal ) e p é um primo que não divide b . (Primos p que fornecem números cíclicos na base b são chamados primos reptendos completos ou primos longos na base b ).

Por exemplo, o caso b = 10, p = 7 dá o número cíclico 142857, e o caso b = 12, p = 5 dá o número cíclico 2497.

Nem todos os valores de p produzirão um número cíclico usando esta fórmula; por exemplo, o caso b = 10, p = 13 dá 076923076923, e o caso b = 12, p = 19 dá 076B45076B45076B45. Esses casos de falha sempre conterão uma repetição de dígitos (possivelmente vários).

Os primeiros valores de p para os quais esta fórmula produz números cíclicos em decimais ( b = 10) são (sequência A001913 no OEIS )

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ...

Para b = 12 ( duodecimal ), esses p s são (sequência A019340 no OEIS )

5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, ...

Para b = 2 ( binário ), esses p s são (sequência A001122 no OEIS )

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ...

Para b = 3 ( ternário ), esses p s são (sequência A019334 no OEIS )

2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, ...

Não existem tais p s no sistema hexadecimal .

O padrão conhecido para essa sequência vem da teoria algébrica dos números , especificamente, essa sequência é o conjunto de primos p tais que b é uma raiz primitiva módulo p . Uma conjectura de Emil Artin é que esta sequência contém 37.395 ..% dos primos (para b em OEIS :  A085397 ).

Construção de números cíclicos

Os números cíclicos podem ser construídos pelo seguinte procedimento :

Seja b a base numérica (10 para decimal).
Seja p um primo que não divide b .
Seja t = 0.
Seja r = 1.
Seja n = 0.
loop:

Seja t = t + 1
Seja x = r · b
Seja d = int ( x / p )
Seja r = x mod p
Seja n = n · b + d
Se r ≠ 1, então repita o loop.

se t = p - 1, então n é um número cíclico.

Este procedimento funciona calculando os dígitos de 1 / p na base b , por divisão longa . r é o resto em cada etapa e d é o dígito produzido.

O passo

n = n · b + d

serve simplesmente para coletar os dígitos. Para computadores que não são capazes de expressar números inteiros muito grandes, os dígitos podem ser produzidos ou coletados de outra maneira.

Se t exceder eds / 2, o número deve ser cíclico, sem a necessidade de calcular os dígitos restantes.

Propriedades dos números cíclicos

  • Quando multiplicado por seu primo gerador, o resultado é uma sequência de b - 1 dígitos, onde b é a base (por exemplo, 9 em decimal). Por exemplo, em decimal, 142857 × 7 = 999999.
  • Quando dividido em grupos de dois, três, quatro, etc ... dígitos, e os grupos são somados, o resultado é uma sequência de 9s. Por exemplo, 14 + 28 + 57 = 99, 142 + 857 = 999, 1428 + 5714+ 2857 = 9999, etc. ... Este é um caso especial do Teorema de Midy .
  • Todos os números cíclicos são divisíveis por b - 1, onde b é a base (por exemplo, 9 em decimal) e a soma do resto é um múltiplo do divisor. (Isso segue do ponto anterior.)

Outras bases numéricas

Usando a técnica acima, os números cíclicos podem ser encontrados em outras bases numéricas. (Nem todos eles seguem a segunda regra (todos os múltiplos sucessivos sendo permutações cíclicas) listada na seção Casos Especiais acima) Em cada um desses casos, os dígitos ao longo da metade do período somam a base menos um. Assim, para o binário, a soma dos bits na metade do período é 1; para ternário, é 2 e assim por diante.

Em binário , a sequência de números cíclicos começa: (sequência A001122 no OEIS )

11 (3) → 01
101 (5) → 0011
1011 (11) → 0001011101
1101 (13) → 000100111011
10011 (19) → 000011010111100101
11101 (29) → 0000100011010011110111001011
100101 (37) → 00000110101011100101111100101010001101
110101 (53) → 00000100101101001111001001101101111101101001011000011011001001

Em ternário : (sequência A019334 no OEIS )

2 (2) → 1
12 (5) → 0121
21 (7) → 010212
122 (17) → 0011202122110201
201 (19) → 001102100221120122


No quaternário :

(Nenhum)

Em quinário : (sequência A019335 no OEIS )

2 (2) → 2
3 (3) → 13
12 (7) → 032412
32 (17) → 0121340243231042
43 (23) → 0102041332143424031123
122 (37) → 003142122040113342441302322404331102
133 (43) → 002423141223434043111442021303221010401333

No senário : (sequência A167794 no OEIS )

15 (11) → 0313452421
21 (13) → 024340531215
25 (17) → 0204122453514331
105 (41) → 0051335412440330234455042201431152253211
135 (59) → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541
141 (61) → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335
211 (79) → 002422325434441304033512354102140052450553133230121114251522043201453415503105

Na base 7: (sequência A019337 no OEIS )

2 (2) → 3
5 (5) → 1254
14 (11) → 0431162355
16 (13) → 035245631421
23 (17) → 0261143464055232
32 (23) → 0206251134364604155323
56 (41) → 0112363262135202250565543034045314644161

Em octal : (sequência A019338 no OEIS )

3 (3) → 25
5 (5) → 1463
13 (11) → 0564272135
35 (29) → 0215173454106475626043236713
65 (53) → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743
73 (59) → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415
123 (83) → 0061262710366576352321570224030531344173277165150674112014254562075537472464336045

Em nonário :

2 (2) → 4
(Nenhum outro)

Na base 11: (sequência A019339 no OEIS )

2 (2) → 5
3 (3) → 37
12 (13) → 093425A17685
16 (17) → 07132651A3978459
21 (23) → 05296243390A581486771A
27 (29) → 04199534608387A69115764A2723
29 (31) → 039A32146818574A71078964292536

Em duodecimal : (sequência A019340 no OEIS )

5 (5) → 2497
7 (7) → 186A35
15 (17) → 08579214B36429A7
27 (31) → 0478AA093598166B74311B28623A55
35 (41) → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207
37 (43) → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765
45 (53) → 02872B3A23205525A784640AA4B9349081989B6696143757B117

Na base 13: (sequência A019341 no OEIS )

2 (2) → 6
5 (5) → 27A5
B (11) → 12495BA837
16 (19) → 08B82976AC414A3562
25 (31) → 055B42692C21347C7718A63A0AB985
2B (37) → 0474BC3B3215368A25C85810919AB79642A7
32 (41) → 04177C08322B13645926C8B550C49AA1B96873A6

Na base 14: (sequência A019342 no OEIS )

3 (3) → 49
13 (17) → 0B75A9C4D2683419
15 (19) → 0A45C7522D398168BB
19 (23) → 0874391B7CAD569A4C2613
21 (29) → 06A89925B163C0D73544B82C7A1D
3B (53) → 039AB8A075793610B146C21828DA43253D6864A7CD2C971BC5B5
43 (59) → 03471937B8ACB5659A2BC15D09D74DA96C4A62531287843B21C80D4069

Na base 15: (sequência A019343 no OEIS )

2 (2) → 7
D (13) → 124936DCA5B8
14 (19) → 0BC9718A3E3257D64B
18 (23) → 09BB1487291E533DA67C5D
1E (29) → 07B5A528BD6ACDE73949C6318421
27 (37) → 061339AE2C87A8194CE8DBB540C26746D5A2
2B (41) → 0574B51C68BA922DD80AE97A39D286345CC116E4

Em hexadecimal :

(Nenhum)

Na base 17: (sequência A019344 no OEIS )

2 (2) → 8
3 (3) → 5B
5 (5) → 36DA
7 (7) → 274E9C
B (11) → 194ADF7C63
16 (23) → 0C9A5F8ED52G476B1823BE
1E (31) → 09583E469EDC11AG7B8D2CA7234FF6

Na base 18: (sequência A019345 no OEIS )

5 (5) → 3AE7
B (11) → 1B834H69ED
1B (29) → 0B31F95A9GDAE4H6EG28C781463D
21 (37) → 08DB37565F184FA3G0H946EACBC2G9D27E1H
27 (43) → 079B57H2GD721C293DEBCHA86CA0F14AFG5F8E4365
2H (53) → 0620C41682CG57EAFB3D4788EGHBFH5DGB9F51CA3726E4DA9931
35 (59) → 058F4A6CEBAC3BG30G89DD227GE0AHC92D7B53675E61EH19844FFA13H7

Na base 19: (sequência A019346 no OEIS )

2 (2) → 9
7 (7) → 2DAG58
B (11) → 1DFA6H538C
D (13) → 18EBD2HA475G
14 (23) → 0FD4291C784I35EG9H6BAE
1A (29) → 0C89FDE7G73HD1I6A9354B2BF15H
1I (37) → 09E73B5C631A52AEGHI94BF7D6CFH8DG8421

Na base 20 : (sequência A019347 no OEIS )

3 (3) → 6D
D (13) → 1AF7DGI94C63
H (17) → 13ABF5HCIG984E27
13 (23) → 0H7GA8DI546J2C39B61EFD
1H (37) → 0AG469EBHGF2E11C8CJ93FDA58234H5II7B7
23 (43) → 0960IC1H43E878GEHD9F6JADJ17I2FG5BCB3526A4D
27 (47) → 08A4522B15ACF67D3GBI5J2JB9FEHH8IE974DC6G381E0H

Na base 21: (sequência A019348 no OEIS )

2 (2) → A
J (19) → 1248HE7F9JIGC36D5B
12 (23) → 0J3DECG92FAK1H7684BI5A
18 (29) → 0F475198EA2IH7K5GDFJBC6AI23D
1A (31) → 0E4FC4179A382EIK6G58GJDBAHCI62
2B (53) → 086F9AEDI4FHH927J8F13K47B1KCE5BA672G533BID1C5JH0GD9J
38 (71) → 06493BB50C8I721A13HFE42K27EA785J4F7KEGBH99FK8C2DIJAJH356GI0ID6ADCF1G5D

Na base 22: (sequência A019349 no OEIS )

5 (5) → 48HD
H (17) → 16A7GI2CKFBE53J9
J (19) → 13A95H826KIBCG4DJF
19 (31) → 0FDAE45EJJ3C194L68B7HG722I9KCH
1F (37) → 0D1H57G143CAFA2872L8K4GE5KHI9B6BJDEJ
1J (41) → 0BHFC7B5JIH3GDKK8CJ6LA469EAG234I5811D92F
23 (47) → 0A6C3G897L18JEB5361J44ELBF9I5DCE0KD27AGIFK2HH7

Na base 23: (sequência A019350 no OEIS )

2 (2) → B
3 (3) → 7F
5 (5) → 4DI9
H (17) → 182G59AILEK6HDC4
21 (47) → 0B5K1AHE496JD4KCGEFF3L0MBH2LC58IDG39I2A6877J1M
2D (59) → 08M51CJK65AC1LJ27I79846E9H3BFME0HLA32GHCAL13KF4FDEIG8D5JB7
3K (89) → 05LG6ADG0BK9CL4910HJ2J8I21CF5FHD4327B8C3864EMH16GC96MB2DA1IDLM53K3E4KLA7H759IJKFBEAJEGI8

Na base 24: (sequência A019351 no OEIS )

7 (7) → 3A6KDH
B (11) → 248HALJF6D
D (13) → 1L795CM3GEIB
H (17) → 19L45FCGME2JI8B7
17 (31) → 0IDMAK327HJ8C96N5A1D3KLG64FBEH
1D (37) → 0FDEM1735K2E6BG54CN8A91MGKI3L9HC7IJB
1H (41) → 0E14284G98IHDB2M5KBGN9MJLFJ7EF56ACL1I3C7

Na base 25:

2 (2) → C
(Nenhum outro)

Em ternário ( b = 3), o caso p = 2 resulta em 1 como um número cíclico. Embora os dígitos únicos possam ser considerados casos triviais, pode ser útil para a completude da teoria considerá-los apenas quando são gerados dessa maneira.

Pode ser mostrado que nenhum número cíclico (exceto dígitos simples triviais, ou seja, p = 2) existe em qualquer base numérica que seja um quadrado perfeito , ou seja, base 4, 9, 16, 25, etc.

Veja também

Referências

Leitura adicional

  • Gardner, Martin. Circo matemático: Mais quebra-cabeças, jogos, paradoxos e outros entretenimentos matemáticos da Scientific American. Nova York: The Mathematical Association of America, 1979. pp. 111-122.
  • Kalman, Dan; 'Fractions with Cycling Digit Patterns' The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (março, 1996), pp. 109-115.
  • Leslie, John. "A Filosofia da Aritmética: Exibindo uma Visão Progressiva da Teoria e Prática de ...." , Longman, Hurst, Rees, Orme e Brown, 1820, ISBN   1-4020-1546-1
  • Wells, David; " The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers " , Penguin Press. ISBN   0-14-008029-5

links externos