Princípio de D'Alembert - D'Alembert's principle

Traité de dynamique de Jean Le Rond d'Alembert , 1743. Nele, o estudioso francês enunciava o princípio da quantidade de movimento, também conhecido como "princípio de D'Alembert".

Jean d'Alembert (1717–1783)

O princípio de D'Alembert , também conhecido como princípio de Lagrange-d'Alembert , é uma declaração das leis clássicas fundamentais do movimento. Recebeu o nome de seu descobridor, o físico e matemático francês Jean le Rond d'Alembert . É uma extensão do princípio do trabalho virtual de sistemas estáticos para sistemas dinâmicos . d'Alembert separa as forças totais que atuam sobre um sistema em forças de inércia (devido ao movimento de um referencial não inercial , agora conhecido como forças fictícias ) e impressas (todas as outras forças). Embora o princípio de d'Alembert seja formulado de muitas maneiras diferentes, em essência ele significa que qualquer sistema de forças está em equilíbrio se forças impressas forem adicionadas às forças inerciais. O princípio não se aplica a deslocamentos irreversíveis, como fricção deslizante , e é necessária uma especificação mais geral da irreversibilidade. O princípio de D'Alembert é mais geral do que o princípio de Hamilton, pois não se restringe a restrições holonômicas que dependem apenas de coordenadas e tempo, mas não de velocidades.

Declaração do princípio

O princípio afirma que a soma das diferenças entre as forças que atuam sobre um sistema de partículas massivas e as derivadas de tempo dos momentos do próprio sistema projetadas sobre qualquer deslocamento virtual consistente com as restrições do sistema é zero. Assim, em notação matemática, o princípio de d'Alembert é escrito da seguinte forma,

{\ displaystyle \ sum _ {i} (\ mathbf {F} _ {i} -m_ {i} {\ dot {\ mathbf {v}}} _ {i} - {\ dot {m}} _ {i } \ mathbf {v} _ {i}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = 0,}

Onde :

${\ displaystyle i}$	é um número inteiro usado para indicar (via subscrito) uma variável correspondente a uma partícula particular no sistema,
${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i}}$	é a força total aplicada (excluindo as forças de restrição) na -ésima partícula, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle m_ {i} \ scriptstyle}$	é a massa da -ésima partícula, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$	é a velocidade da -ésima partícula, ${\ displaystyle i}$
${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i}}$	é o deslocamento virtual da -ésima partícula, consistente com as restrições. ${\ displaystyle i}$

A notação de ponto de Newton é usada para representar a derivada em relação ao tempo. Esta equação acima é freqüentemente chamada de princípio de d'Alembert, mas foi escrita pela primeira vez nesta forma variacional por Joseph Louis Lagrange . A contribuição de D'Alembert foi demonstrar que, na totalidade de um sistema dinâmico, as forças de restrição desaparecem. Isso quer dizer que as forças generalizadas não precisam incluir forças de restrição. É equivalente ao princípio da menor restrição de Gauss, um pouco mais complicado . ${\ displaystyle {\ mathbf {Q}} _ {j}}$

Derivações

Caso geral com massa variável

A declaração geral do princípio de D'Alembert menciona "as derivadas de tempo dos momentos do sistema." Pela segunda lei de Newton, a primeira derivada do momento é a força. O momento da -ésima massa é o produto de sua massa e velocidade: ${\ displaystyle i}$

{\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i} = m_ {i} \ mathbf {v} _ {i}}

e sua derivada de tempo é

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} = {\ dot {m}} _ {i} \ mathbf {v} _ {i} + m_ {i} {\ dot {\ mathbf {v}}} _ {i}}

.

Em muitas aplicações, as massas são constantes e esta equação se reduz a

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} = m_ {i} {\ dot {\ mathbf {v}}} _ {i} = m_ {i} \ mathbf {a} _ { eu}}

.

No entanto, algumas aplicações envolvem a mudança de massas (por exemplo, correntes sendo enroladas ou desenroladas) e, nesses casos, ambos os termos e devem permanecer presentes, dando ${\ displaystyle {\ dot {m}} _ {i} \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ displaystyle m_ {i} {\ dot {\ mathbf {v}}} _ {i}}$

{\ displaystyle \ sum _ {i} (\ mathbf {F} _ {i} -m_ {i} \ mathbf {a} _ {i} - {\ dot {m}} _ {i} \ mathbf {v} _ {i}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = 0.}

Caso especial com massa constante

Considere a lei de Newton para um sistema de partículas de massa constante ,. A força total em cada partícula é ${\ displaystyle i}$

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} = m_ {i} \ mathbf {a} _ {i},}

Onde

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(T)}}$	são as forças totais agindo sobre as partículas do sistema,
${\ displaystyle m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}}$	são as forças inerciais que resultam das forças totais.

Mover as forças inerciais para a esquerda fornece uma expressão que pode ser considerada como representando o equilíbrio quase estático, mas que é na verdade apenas uma pequena manipulação algébrica da lei de Newton:

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} - m_ {i} \ mathbf {a} _ {i} = \ mathbf {0}.}

Considerando o trabalho virtual , , feito pelas forças totais e de inércia em conjunto por meio de um deslocamento virtual arbitrária, , dos cabos do sistema para uma identidade de zero, uma vez que a soma das forças envolvidas para zero para cada partícula. ${\ displaystyle \ delta W}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} _ {i}}$

{\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} - \ sum _ {i} m_ { i} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = 0}

A equação vetorial original poderia ser recuperada reconhecendo que a expressão work deve ser válida para deslocamentos arbitrários. Separar as forças totais em forças aplicadas , e forças de restrição,, resulta ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {i}}$

{\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} + \ sum _ {i} \ mathbf {C} _ {i } \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} - \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {a} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = 0. }

Se deslocamentos virtuais arbitrários são assumidos em direções ortogonais às forças de restrição (o que geralmente não é o caso, então esta derivação funciona apenas para casos especiais), as forças de restrição não funcionam ,. Esses deslocamentos são considerados consistentes com as restrições. Isso leva à formulação do princípio de d'Alembert , que afirma que a diferença entre as forças aplicadas e as forças inerciais para um sistema dinâmico não funciona virtual :. ${\ displaystyle \ sum _ {i} \ mathbf {C} _ {i} \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i} = 0}$

{\ displaystyle \ delta W = \ sum _ {i} (\ mathbf {F} _ {i} -m_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) \ cdot \ delta \ mathbf {r} _ {i } = 0.}

Também existe um princípio correspondente para sistemas estáticos, denominado princípio do trabalho virtual para forças aplicadas .

Princípio das forças inerciais de D'Alembert

D'Alembert mostrou que é possível transformar um corpo rígido em aceleração em um sistema estático equivalente ao adicionar a chamada " força inercial " e o " torque inercial " ou momento. A força inercial deve atuar através do centro de massa e o torque inercial pode atuar em qualquer lugar. O sistema pode então ser analisado exatamente como um sistema estático sujeito a essa "força e momento inercial" e às forças externas. A vantagem é que, no sistema estático equivalente, pode-se levar momentos em torno de qualquer ponto (não apenas do centro de massa). Isso geralmente leva a cálculos mais simples porque qualquer força (por sua vez) pode ser eliminada das equações de momento escolhendo o ponto apropriado sobre o qual aplicar a equação de momento (soma dos momentos = zero). Ainda no curso de Fundamentos de Dinâmica e Cinemática de máquinas, esse princípio auxilia na análise das forças que atuam sobre um elo de um mecanismo quando este está em movimento. Em livros didáticos de dinâmica de engenharia, isso às vezes é chamado de princípio de d'Alembert .

Equilíbrio dinâmico

A forma de D'Alembert do princípio do trabalho virtual afirma que um sistema de corpos rígidos está em equilíbrio dinâmico quando o trabalho virtual da soma das forças aplicadas e das forças inerciais é zero para qualquer deslocamento virtual do sistema. Assim, o equilíbrio dinâmico de um sistema de n corpos rígidos com m coordenadas generalizadas requer que seja

{\ displaystyle \ delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) \ delta q_ {1} + \ ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) \ delta q_ {m} = 0,}

para qualquer conjunto de deslocamentos virtuais com sendo uma força aplicada generalizada e sendo uma força de inércia generalizada. Esta condição produz m equações, ${\ displaystyle \ delta q_ {j}}$ ${\ displaystyle Q_ {j}}$ ${\ displaystyle Q_ {j} ^ {*}}$

{\ displaystyle Q_ {j} + Q_ {j} ^ {*} = 0, \ quad j = 1, \ ldots, m,}

que também pode ser escrito como

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j}}} = Q_ {j}, \ quad j = 1, \ ldots, m.}

O resultado é um conjunto de m equações de movimento que definem a dinâmica do sistema de corpo rígido.

Referências

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^ Lanczos, Cornelius (1970). The Variational Principles of Mechanics (4ª ed.). Nova York: Dover Publications Inc. p. 92. ISBN 978-0-486-65067-8.
^ Arnold Sommerfeld (1956), Mecânica: Lectures on Theoretical Physics , Vol 1, p. 53
^ ^a ^b ^c ^d ^e Torby, Bruce (1984). "Métodos de energia". Dinâmica avançada para engenheiros . Série HRW em Engenharia Mecânica. Estados Unidos da América: CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.
^ Jong, Ing-Chang (2005). "Melhorando a Mecânica dos Materiais". Ensino do Trabalho e Método Virtual de Trabalho dos Alunos em Estática: Uma Estratégia Orientadora com Exemplos Ilustrativos . 2005 Conferência e Exposição Anual da American Society for Engineering Education . Recuperado em 24 de junho de 2014 .

[Lanczos2-1] Cornelius Lanczos (1970). p. 90 . ISBN 978-0-486-65067-8.

[2] Udwadia, FE; Kalaba, RE (2002). "Sobre os fundamentos da dinâmica analítica" (PDF) . Intl. Journ. Mecânica não linear . 37 (6): 1079–1090. Bibcode : 2002IJNLM..37.1079U . CiteSeerX 10.1.1.174.5726 . doi : 10.1016 / S0020-7462 (01) 00033-6 . Arquivado do original (PDF) em 13/06/2010.

[Lanczos-3] Lanczos, Cornelius (1970). The Variational Principles of Mechanics (4ª ed.). Nova York: Dover Publications Inc. p. 92. ISBN 978-0-486-65067-8.

[4] Arnold Sommerfeld (1956), Mecânica: Lectures on Theoretical Physics , Vol 1, p. 53

[Torby1984-5] Torby, Bruce (1984). "Métodos de energia". Dinâmica avançada para engenheiros . Série HRW em Engenharia Mecânica. Estados Unidos da América: CBS College Publishing. ISBN 978-0-03-063366-9.

[6] Jong, Ing-Chang (2005). "Melhorando a Mecânica dos Materiais". Ensino do Trabalho e Método Virtual de Trabalho dos Alunos em Estática: Uma Estratégia Orientadora com Exemplos Ilustrativos . 2005 Conferência e Exposição Anual da American Society for Engineering Education . Recuperado em 24 de junho de 2014 .

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