Discretização das equações de Navier-Stokes - Discretization of Navier–Stokes equations

A discretização das equações de Navier-Stokes é uma reformulação das equações de forma que possam ser aplicadas à dinâmica de fluidos computacional . Vários métodos de discretização podem ser aplicados:

• Método de volume finito
• Método dos elementos finitos
• Método de diferença finita

Método de volume finito

Fluxo incompressível

Começamos com a forma incompressível da equação do momento. A equação foi dividida pela densidade ( P = p / ρ ) e a densidade foi absorvida pelo termo de força corporal.

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial u_ {i} u_ {j}} {\ parcial x_ {j}}} = - {\ frac {\ parcial P} {\ parcial x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ parcial ^ {2} u_ {i}} {\ parcial x_ {j} \ parcial x_ {j}}} + f_ { eu}}$

A equação é integrada ao volume de controle de uma célula computacional.

${\ displaystyle \ iiint _ {V} \ left [{\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial u_ {i} u_ {j}} {\ parcial x_ { j}}} \ right] dV = \ iiint _ {V} \ left [- {\ frac {\ partial P} {\ partial x_ {i}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} u_ {i}} {\ parcial x_ {j} \ parcial x_ {j}}} + f_ {i} \ direita] dV}$

O termo dependente do tempo e o termo de força corporal são considerados constantes ao longo do volume da célula. O teorema da divergência é aplicado aos termos de advecção, gradiente de pressão e difusão.

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial t}} V + \ iint _ {A} u_ {i} u_ {j} n_ {j} dA = - \ iint _ {A} Pn_ { i} dA + \ iint _ {A} \ nu {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} n_ {j} dA + f_ {i} V}$

onde n é a normal da superfície do volume de controle e V é o volume. Se o volume de controle for um poliedro e os valores forem considerados constantes em cada face, as integrais de área podem ser escritas como somas em cada face.

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial t}} V + \ sum _ {nbr} \ left (u_ {i} u_ {j} n_ {j} A \ right) _ {nbr} = - \ sum _ {nbr} \ left (Pn_ {i} A \ right) _ {nbr} + \ sum _ {nbr} \ left (\ nu {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} n_ {j} A \ direita) _ {nbr} + f_ {i} V}$

onde o subscrito nbr denota o valor em qualquer face dada.

Grade cartesiana bidimensional uniformemente espaçada

Para uma grade cartesiana bidimensional, a equação pode ser expandida para

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ partial t}} \ Delta x \ Delta y- \ left (u_ {i} u \ Delta y \ right) _ { w} + \ left (u_ {i} u \ Delta y \ right) _ {e} - \ left (u_ {i} v \ Delta x \ right) _ {s} + \ left (u_ {i} v \ Delta x \ right) _ {n} = \\ & - \ left (Pn_ {i} \ Delta y \ right) _ {w} - \ left (Pn_ {i} \ Delta y \ right) _ {e} - \ left (Pn_ {i} \ Delta x \ right) _ {s} - \ left (Pn_ {i} \ Delta x \ right) _ {n} \\ & - \ left (\ nu {\ frac {\ partial u_ {i}} {\ parcial x}} \ Delta y \ direita) _ {w} + \ esquerda (\ nu {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial x}} \ Delta y \ direita) _ {e} - \ esquerda (\ nu {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial y}} \ Delta x \ direita) _ {s} + \ esquerda (\ nu {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial y}} \ Delta x \ direita) _ {n} + f_ {i} \ end {alinhado}}}$

Em uma grade escalonada , a equação x-momentum é

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} \ Delta x \ Delta y- \ left (uu \ Delta y \ right) _ {w} + \ left (uu \ Delta y \ right) _ {e} - \ left (uv \ Delta x \ right) _ {s} + \ left (uv \ Delta x \ right) _ {n} = \\ & + \ left (P \ Delta y \ right) _ {w} - \ left (P \ Delta y \ right) _ {e} - \ left (\ nu {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ Delta y \ right) _ {w} + \ left (\ nu {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ Delta y \ right) _ {e} - \ left (\ nu {\ frac {\ partial u} {\ parcial y}} \ Delta x \ direita) _ {s} + \ esquerda (\ nu {\ frac {\ parcial u} {\ parcial y}} \ Delta x \ direita) _ {n} + f_ {x} \ fim {alinhado}}}$

e a equação y-momentum é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} \ Delta x \ Delta y- \ left (vu \ Delta y \ right) _ {w} + \ left (vu \ Delta y \ right) _ {e} - \ left (vv \ Delta x \ right) _ {s} + \ left (vv \ Delta x \ right) _ {n} = \\ & + \ left (P \ Delta x \ direita) _ {s} - \ esquerda (P \ Delta x \ direita) _ {n} - \ esquerda (\ nu {\ frac {\ parcial v} {\ parcial x}} \ Delta y \ direita) _ {w} + \ left (\ nu {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \ Delta y \ right) _ {e} - \ left (\ nu {\ frac {\ partial v} {\ parcial y}} \ Delta x \ direita) _ {s} + \ esquerda (\ nu {\ frac {\ parcial v} {\ parcial y}} \ Delta x \ direita) _ {n} + f_ {y} \ fim {alinhado}}}$

O objetivo neste ponto é determinar expressões para os valores de face para u , v e P e aproximar as derivadas usando aproximações de diferenças finitas . Para este exemplo, usaremos a diferença retroativa para a derivada de tempo e a diferença central para as derivadas espaciais. Para ambas as equações de momento, a derivada do tempo torna-se

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial u_ {i}} {\ parcial t}} = {\ frac {u_ {i} ^ {n} -u_ {i} ^ {n-1}} {\ Delta t} }}$

onde n é o índice de tempo atual e Δt é o intervalo de tempo. Como um exemplo para as derivadas espaciais, a derivada no termo de difusão da face oeste na equação do momento x torna-se

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ right) _ {w} = {\ frac {u_ {I, J} -u_ {I-1, J}} {\ Delta x}}}$

onde I e J são os índices da célula de momento x de interesse.

Método dos elementos finitos

Veja o método dos elementos finitos

Método de diferença finita

Veja o método de diferença finita