Domínio da holomorfia - Domain of holomorphy

Os conjuntos na definição.

Em matemática , na teoria das funções de várias variáveis ​​complexas , um domínio da holomorfia é um conjunto que é máximo no sentido de que existe uma função holomórfica neste conjunto que não pode ser estendida a um conjunto maior.

Formalmente, um conjunto aberto no n espaço complexo -dimensional é chamado um domínio de função analítica se não existam conjuntos abertos não vazios e onde é ligado , e de tal modo que para cada função holomórfica no existe uma função holomórfica no com em ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle U\subset \Omega }$${\displaystyle V\subset {\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V\not \subset \Omega }$${\displaystyle U\subset \Omega \cap V}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f=g}$${\displaystyle U}$

Nesse caso, todo conjunto aberto é um domínio da holomorfia: podemos definir uma função holomórfica com zeros acumulando-se em toda parte na fronteira do domínio, que deve então ser uma fronteira natural para um domínio de definição de seu recíproco. Pois isso não é mais verdade, como segue do lema de Hartogs . ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n\geq 2}$

Condições equivalentes

Para um domínio, as seguintes condições são equivalentes: ${\displaystyle \Omega }$

1. ${\displaystyle \Omega }$ é um domínio de holomorfia
2. ${\displaystyle \Omega }$ é holomorficamente convexo
3. ${\displaystyle \Omega }$ é pseudoconvexo
4. ${\displaystyle \Omega }$ é Levi convexo - para cada sequência de superfícies analíticas compactas de tal forma que para algum conjunto que temos ( não pode ser "tocado de dentro" por uma sequência de superfícies analíticas) ${\displaystyle S_{n}\subseteq \Omega }$${\displaystyle S_{n}\rightarrow S,\partial S_{n}\rightarrow \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle S\subseteq \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega }$
5. ${\displaystyle \Omega }$ tem propriedade local de Levi - para cada ponto existe uma vizinhança de e holomórfica em tal que não pode ser estendida a qualquer vizinhança de ${\displaystyle x\in \partial \Omega }$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\cap \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

As implicações são resultados padrão (para , consulte o lema de Oka ). A principal dificuldade está em provar , isto é, construir uma função holomórfica global que não admite extensão de funções não extensíveis definidas apenas localmente. Isso é chamado de problema de Levi (após EE Levi ) e foi resolvido pela primeira vez por Kiyoshi Oka , e então por Lars Hörmander usando métodos de análise funcional e equações diferenciais parciais (uma consequência do problema ). ${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5}$${\displaystyle 1\Rightarrow 3}$${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Propriedades

• Se forem domínios de holomorfia, então sua interseção também é um domínio de holomorfia. ${\displaystyle \Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}}$${\displaystyle \Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}}$
• Se for uma sequência ascendente de domínios de holomorfia, então sua união também é um domínio de holomorfia (ver teorema de Behnke-Stein ). ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots }$${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}}$
• Se e são domínios da holomorfia, então é um domínio da holomorfia. ${\displaystyle \Omega _{1}}$${\displaystyle \Omega _{2}}$${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$
• O problema do primeiro primo sempre pode ser resolvido em um domínio de holomorfia; isso também é verdade, com suposições topológicas adicionais, para o problema do segundo Primo .

Veja também

• Teorema de Behnke-Stein
• Levi pseudoconvex
• solução do problema de Levi
• Stein manifold

Referências

• Steven G. Krantz. Teoria da Função de Várias Variáveis ​​Complexas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Boris Vladimirovich Shabat, Introdução à Análise Complexa , AMS, 1992

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