teorema de Easton - Easton's theorem

Em teoria dos conjuntos , teorema de Easton é um resultado sobre os possíveis números cardinais de powersets . Easton (1970) (que se estende de um resultado de Robert M. Solovay ) mostrou por meio de forçar que

${\ Displaystyle \ kappa <\ operatorname {cf} (2 ^ {\ kappa})}$

e, para que ${\ Displaystyle \ kappa <\ lambda}$

${\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa} \ leq 2 ^ {\ lambda}}$

são as únicas restrições sobre os valores admissíveis para 2 ^κ quando κ é um cardeal regulares .

Declaração do teorema

Teorema de Easton afirma que, se G é uma função de classe cujo domínio consiste em ordinais e cuja gama é composta por ordinais tais que

1. L é não decrescente,
2. o cofinalidade de é maior do que para cada α no domínio de L, e${\ Displaystyle \ alef _ {G (\ alfa)}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$
3. ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ é regular para cada α no domínio de L,

então há um modelo de ZFC tal que

${\ Displaystyle 2 ^ {\ alef _ {\ alfa}} = \ alef _ {G (\ alfa)}}$

para cada um no domínio da L . ${\ Displaystyle \ alfa}$

A prova do teorema de Easton usa forçando com uma classe adequada de forçar condições ao longo de um modelo que satisfaça a hipótese do continuum generalizada.

As duas primeiras condições do teorema são necessárias. Condição 1 é uma propriedade bem conhecida de cardinalidade, enquanto condição 2 Decorre teorema de König .

No modelo de Easton as powersets de cardeais singulares têm a menor cardinalidade possível compatível com as condições que 2 ^κ tem cofinalidade maior do que κ e é uma função não-decrescente de κ.

Sem extensão para cardeais singulares

Prata (1975) provou que um cardeal singular de cofinalidade incontável não pode ser o menor cardeal para o qual a hipótese do continuum generalizada falhar. Isso mostra que o teorema de Easton não pode ser estendido para a classe de todos os cardeais. O programa de teoria PCF dá resultados sobre os possíveis valores de para cardeais singulares . Teoria PCF mostra que os valores da função contínua em cardeais singulares são fortemente influenciadas pelos valores em cardeais menores, ao passo que o teorema de Easton mostra que os valores da função contínua sobre cardeais regulares são apenas fracamente influenciada pelos valores sobre cardeais menores. ${\ Displaystyle 2 ^ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$

Veja também

• hipótese cardeal Singular
• número Aleph
• número Beth

Referências

• Easton, W. (1970), "Poderes de cardeais regulares", Ann. Matemática. Lógica , 1 (2): 139-178, DOI : 10.1016 / 0003-4843 (70) 90012-4
• Prata, Jack (1975), "Sobre o problema cardeais singulares", Actas do Congresso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974) , 1 , Montreal, Que .: Canad. Matemática. Congress, pp. 265-268, MR  0.429.564