Expansão Engel - Engel expansion

A expansão de Engel de um número real positivo x é a sequência única não decrescente de inteiros positivos, de modo que ${\ displaystyle \ {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ dots \}}$

${\ displaystyle x = {\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ {2}}} + {\ frac {1} {a_ {1} a_ { 2} a_ {3}}} + \ cdots.}$

Por exemplo, o e constante de Euler tem a expansão de Engel

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

correspondendo à série infinita

${\ displaystyle e = {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4}} + \ cdots}$

Os números racionais têm uma expansão de Engel finita, enquanto os números irracionais têm uma expansão de Engel infinita. Se x for racional, sua expansão de Engel fornece uma representação de x como uma fração egípcia . As expansões de Engel têm o nome de Friedrich Engel , que as estudou em 1913.

Uma expansão análoga a uma expansão de Engel , na qual os termos alternados são negativos, é chamada de expansão Pierce .

Expansões Engel, frações contínuas e Fibonacci

Kraaikamp & Wu (2004) observam que uma expansão de Engel também pode ser escrita como uma variante ascendente de uma fração contínua :

${\ displaystyle x = {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1 + {\ frac {\ displaystyle 1+ \ cdots} {\ displaystyle a_ {3}}}} {\ displaystyle a_ {2}} }} {\ displaystyle a_ {1}}}.}$

Eles afirmam que ascendente continuou fracções tais como esta tem sido estudada tão cedo quanto de Fibonacci 's Liber ábacos (1202). Esta afirmação parece referir-se à notação de fração composta de Fibonacci, na qual uma sequência de numeradores e denominadores compartilhando a mesma barra de fração representa uma fração contínua ascendente:

${\ displaystyle {\ frac {a \ b \ c \ d} {e \ f \ g \ h}} = {\ dfrac {d + {\ dfrac {c + {\ dfrac {b + {\ dfrac {a} {e} }} {f}}} {g}}} {h}}.}$

Se tal notação tiver todos os numeradores 0 ou 1, como ocorre em vários casos em Liber Abaci , o resultado é uma expansão de Engel. No entanto, a expansão de Engel como técnica geral não parece ser descrita por Fibonacci.

Algoritmo para calcular as expansões Engel

Para encontrar a expansão de Engel de x , deixe

${\ displaystyle u_ {1} = x,}$

${\ displaystyle a_ {k} = \ left \ lceil {\ frac {1} {u_ {k}}} \ right \ rceil,}$

e

${\ displaystyle u_ {k + 1} = u_ {k} a_ {k} -1}$

onde é a função de teto (o menor inteiro não menor que r ). ${\ displaystyle \ left \ lceil r \ right \ rceil}$

Se for para qualquer i , interrompa o algoritmo. ${\ displaystyle u_ {i} = 0}$

Funções iteradas para computar expansões Engel

Outro método equivalente é considerar o mapa

${\ displaystyle g (x) = x \ left (1+ \ left \ lfloor {x} ^ {- 1} \ right \ rfloor \ right) -1}$

E definir

${\ displaystyle u_ {k} = 1 + \ left \ lfloor {\ frac {1} {g ^ {(n-1)} (x)}} \ right \ rfloor}$

Onde

${\ displaystyle g ^ {(n)} (x) = g (g ^ {(n-1)} (x))}$ e ${\ displaystyle g ^ {(0)} (x) = x}$

Ainda outro método equivalente, chamado de expansão Engel modificada calculada por

${\ displaystyle h (x) = \ left \ lfloor {\ frac {1} {x}} \ right \ rfloor g (x) = \ left \ lfloor {\ frac {1} {x}} \ right \ rfloor \ esquerda (x \ left \ lfloor {\ frac {1} {x}} \ right \ rfloor + x-1 \ right)}$

e

${\ displaystyle u_ {k} = \ left \ {{\ begin {array} {ll} 1+ \ left \ lfloor {\ frac {1} {x}} \ right \ rfloor & n = 1 \\\ left \ lfloor {\ frac {1} {h ^ {(k-2)} (x)}} \ right \ rfloor \ left (1+ \ left \ lfloor {\ frac {1} {h ^ {(k-1)} (x)}} \ right \ rfloor \ right) & n \ geqslant 2 \ end {array}} \ right.}$

O operador de transferência do mapa Engel

O operador de transferência Frobenius-Perron do mapa Engel atua em funções com ${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle [{\ mathcal {L}} _ {g} f] (x) = \ sum _ {y: g (y) = x} {\ frac {f (y)} {\ left | {\ frac {d} {dz}} g (z) \ right | _ {z = y}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f \ left ({\ frac {x + 1} {n + 1}} \ direita)} {n + 1}}}$

desde

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (x (n + 1) -1) = n + 1}$e o inverso do n-ésimo componente é encontrado resolvendo para . ${\ displaystyle {\ frac {x + 1} {n + 1}}}$${\ displaystyle x (n + 1) -1 = y}$${\ displaystyle x}$

Relação com a função Riemann${\ displaystyle \ zeta}$

A transformada de Mellin do mapa está relacionada à função zeta de Riemann pela fórmula ${\ displaystyle g (x)}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} g (x) x ^ {s-1} dx & = \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ int _ {\ frac {1} {n + 1}} ^ {\ frac {1} {n}} (x (n + 1) -1) x ^ {s-1} dx \\ & = \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n ^ {- s} (s-1) + (n + 1) ^ {- s-1} (n ^ {2} + 2n + 1) + n ^ {- s-1} sn ^ {1-s}} {(s + 1) s (n + 1)}} \\ & = \ displaystyle {\ frac {\ zeta (s + 1)} {s + 1}} - {\ frac {1} {s (s + 1)}} \ end {array}}}$

Exemplo

Para encontrar a expansão Engel de 1,175, realizamos as seguintes etapas.

${\ displaystyle u_ {1} = 1,175, a_ {1} = \ left \ lceil {\ frac {1} {1.175}} \ right \ rceil = 1;}$

${\ displaystyle u_ {2} = u_ {1} a_ {1} -1 = 1,175 \ cdot 1-1 = 0,175, a_ {2} = \ left \ lceil {\ frac {1} {0,175}} \ right \ rceil = 6}$

${\ displaystyle u_ {3} = u_ {2} a_ {2} -1 = 0,175 \ cdot 6-1 = 0,05, a_ {3} = \ left \ lceil {\ frac {1} {0,05}} \ right \ rceil = 20}$

${\ displaystyle u_ {4} = u_ {3} a_ {3} -1 = 0,05 \ cdot 20-1 = 0}$

A série termina aqui. Desse modo,

${\ displaystyle 1.175 = {\ frac {1} {1}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 6}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 6 \ cdot 20}}}$

e a expansão Engel de 1,175 é {1, 6, 20}.

Expansões de Engel de números racionais

Cada número racional positivo tem uma expansão de Engel finita única. No algoritmo de expansão de Engel, se u _i é um número racional x / y , então u _{i +1} = (- y mod x ) / y . Portanto, em cada etapa, o numerador na fração restante u _i diminui e o processo de construção da expansão de Engel deve terminar em um número finito de etapas. Cada número racional também tem uma expansão única de Engel infinita: usando a identidade

${\ displaystyle {\ frac {1} {n}} = \ sum _ {r = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + 1) ^ {r}}}.}$

o dígito final n em uma expansão de Engel finita pode ser substituído por uma sequência infinita de ( n  + 1) s sem alterar seu valor. Por exemplo,

${\ displaystyle 1.175 = \ {1,6,20 \} = \ {1,6,21,21,21, \ dots \}.}$

Isso é análogo ao fato de que qualquer número racional com uma representação decimal finita também tem uma representação decimal infinita (ver 0,999 ... ). Uma expansão infinita de Engel em que todos os termos são iguais é uma série geométrica .

Erdős , Rényi e Szüsz pediram limites não triviais no comprimento da expansão de Engel finita de um número racional x / y ; esta questão foi respondida por Erdős e Shallit , que provaram que o número de termos na expansão é O ( y ^{1/3 + ε} ) para qualquer ε> 0.

Expansões de Engel para algumas constantes bem conhecidas

${\ displaystyle \ pi}$= {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...} (sequência A006784 no OEIS )

${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$= {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...} (sequência A028254 no OEIS )

${\ displaystyle e}$= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} (sequência A028310 no OEIS )

E em geral,

${\ displaystyle e ^ {1 / r} -1 = \ {1r, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r, \ dots \}}$

Mais expansões de Engel para constantes podem ser encontradas aqui .

Taxa de crescimento dos termos de expansão

Os coeficientes de um _i de expansão Engel tipicamente exibem crescimento exponencial ; mais precisamente, para quase todos os números no intervalo (0,1], o limite existe e é igual a e . No entanto, o subconjunto do intervalo para o qual esse não é o caso ainda é grande o suficiente para que sua dimensão de Hausdorff seja um. ${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} ^ {1 / n}}$

A mesma taxa de crescimento típica se aplica aos termos de expansão gerados pelo algoritmo ganancioso para frações egípcias . Porém, o conjunto de números reais no intervalo (0,1] cujas expansões de Engel coincidem com suas expansões gulosas tem medida zero e dimensão de Hausdorff 1/2.

Veja também

• Fórmula de fração contínua de Euler

Notas

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W . "Expansão Engel" . MathWorld – A Wolfram Web Resource.