Operador de transferência - Transfer operator

O operador de transferência é diferente do homomorfismo de transferência .

Em matemática , o operador de transferência codifica informações sobre um mapa iterado e é frequentemente usado para estudar o comportamento de sistemas dinâmicos , mecânica estatística , caos quântico e fractais . Em todos os casos usuais, o maior autovalor é 1, e o autovetor correspondente é a medida invariante do sistema.

O operador de transferência é algumas vezes chamado de operador Ruelle , em homenagem a David Ruelle , ou operador Ruelle-Perron-Frobenius , em referência à aplicabilidade do teorema de Perron-Frobenius para a determinação dos autovalores do operador.

Definição

A função iterada a ser estudada é um mapa para um conjunto arbitrário . ${\ displaystyle f \ colon X \ rightarrow X}$${\ displaystyle X}$

O operador de transferência é definido como um operador que atua no espaço de funções como ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ {\ Phi \ colon X \ rightarrow \ mathbb {C} \}}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} \ Phi) (x) = \ sum _ {y \ in f ^ {- 1} (x)} g (y) \ Phi (y)}$

onde é uma função de avaliação auxiliar. Quando tem um determinante Jacobiano , geralmente é considerado . ${\ displaystyle g \ colon X \ rightarrow \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle | J |}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g = 1 / | J |}$

A definição acima do operador de transferência pode ser mostrada como o limite do conjunto de pontos do pushforward teórico de medida de g : em essência, o operador de transferência é o functor de imagem direto na categoria de espaços mensuráveis . O adjunto à esquerda do operador Frobenius – Perron é o operador Koopman ou operador de composição . A configuração geral é fornecida pelo cálculo funcional Borel .

Como regra geral, o operador de transferência pode geralmente ser interpretado como um operador de turno (à esquerda) atuando em um espaço de turno . Os deslocamentos mais comumente estudados são os subshifts de tipo finito . O adjunto ao operador de transferência também pode geralmente ser interpretado como um deslocamento para a direita. Deslocamentos para a direita particularmente bem estudados incluem o operador de Jacobi e a matriz de Hessenberg , os quais geram sistemas de polinômios ortogonais por meio de um deslocamento para a direita.

Formulários

Enquanto a iteração de uma função leva naturalmente a um estudo das órbitas de pontos de X sob iteração (o estudo da dinâmica de pontos ), o operador de transferência define como os mapas (suaves) evoluem sob iteração. Assim, os operadores de transferência normalmente aparecem em problemas de física , como caos quântico e mecânica estatística , onde a atenção está focada na evolução temporal de funções suaves. Por sua vez, isso tem aplicações médicas para o design racional de medicamentos , por meio do campo da dinâmica molecular . ${\ displaystyle f}$

Freqüentemente, o operador de transferência é positivo, tem autovalores discretos positivos de valor real , com o maior autovalor sendo igual a um. Por esse motivo, o operador de transferência às vezes é chamado de operador Frobenius – Perron.

As autofunções do operador de transferência são geralmente fractais. Quando o logaritmo dos corresponde operador transferência para um quantum Hamiltoniano , os valores próprios irá tipicamente ser muito espaçadas, e, portanto, mesmo um muito estreita e cuidadosamente seleccionado conjunto de estados quânticos irá abranger um grande número de diferentes autoestados fractal com diferente de zero apoio em todo o volume. Isso pode ser usado para explicar muitos resultados da mecânica estatística clássica, incluindo a irreversibilidade do tempo e o aumento da entropia .

O operador de transferência do mapa de Bernoulli tem solução exata e é um exemplo clássico de caos determinístico ; os autovalores discretos correspondem aos polinômios de Bernoulli . Este operador também possui um espectro contínuo que consiste na função zeta de Hurwitz . ${\ displaystyle b (x) = 2x- \ lfloor 2x \ rfloor}$

O operador de transferência do mapa de Gauss é chamado de operador Gauss – Kuzmin – Wirsing (GKW) e, devido à sua extraordinária dificuldade, não foi totalmente resolvido. A teoria do GKW remonta a uma hipótese de Gauss sobre frações contínuas e está intimamente relacionada à função zeta de Riemann . ${\ displaystyle h (x) = 1 / x- \ lfloor 1 / x \ rfloor}$

Veja também

• Esquema de Bernoulli
• Mudança de tipo finito
• Teorema de Kerin-Rutman

Referências

• Pierre Gaspard (1998). Caos, dispersão e mecânica estatística . Cambridge University Press .
• David Ruelle (1978). Formalismo termodinâmico: as estruturas matemáticas da mecânica estatística de equilíbrio clássica . Addison – Wesley, Reading. ISBN 0-201-13504-3.
• Dieter H. Mayer (1978). O operador de transferência Ruelle-Araki na mecânica estatística clássica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-09990-5.
• David Ruelle, Dynamical Zeta Functions and Transfer Operators , (2002) Preprint IHES / M / 02/66 do Institut des Hautes Etudes Scientifiques. (Fornece uma pesquisa introdutória).
• Michael C. Mackey, Time's Arrow, As origens do comportamento termodinâmico , Springer-Verlag, 1992