Distribuição Erlang - Erlang distribution

Erlang

Função densidade de probabilidade
Função de distribuição cumulativa
Parâmetros	${\ displaystyle k \ in \ {1,2,3, \ ldots \},}$ taxa de forma alt: escala ${\ displaystyle \ lambda \ in (0, \ infty),}$ ${\ displaystyle \ beta = 1 / \ lambda,}$
Apoio, suporte	${\ displaystyle x \ in [0, \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {\ lambda ^ {k} x ^ {k-1} e ^ {- \ lambda x}} {(k-1)!}}}$
CDF	${\ displaystyle P (k, \ lambda x) = {\ frac {\ gamma (k, \ lambda x)} {(k-1)!}} = 1- \ sum _ {n = 0} ^ {k- 1} {\ frac {1} {n!}} E ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {n}}$
Quer dizer	${\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}}}$
Mediana	Nenhum formulário fechado simples
Modo	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ lambda}} (k-1)}$
Variância	${\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda ^ {2}}}}$
Skewness	${\ displaystyle {\ frac {2} {\ sqrt {k}}}}$
Ex. curtose	${\ displaystyle {\ frac {6} {k}}}$
Entropia	${\ displaystyle (1-k) \ psi (k) + \ ln \ left [{\ frac {\ Gamma (k)} {\ lambda}} \ right] + k}$
MGF	${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {t} {\ lambda}} \ right) ^ {- k}}$ para ${\ displaystyle t <\ lambda}$
CF	${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {it} {\ lambda}} \ right) ^ {- k}}$

A distribuição Erlang é uma família de dois parâmetros de distribuições de probabilidade contínuas com suporte . Os dois parâmetros são: ${\ displaystyle x \ in [0, \ infty]}$

• um número inteiro positivo a "forma", e${\ displaystyle k,}$
• um número real positivo a "taxa". A "escala", o recíproco da taxa, às vezes é usada em seu lugar.${\ displaystyle \ lambda,}$${\ displaystyle \ beta,}$

A distribuição Erlang com parâmetro de forma simplifica para a distribuição exponencial . É um caso especial da distribuição gama, em que a forma da distribuição é discretizada. É a distribuição de uma soma de variáveis ​​exponenciais independentes com média cada uma. ${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle 1 / \ lambda}$

A distribuição Erlang foi desenvolvida por AK Erlang para examinar o número de chamadas telefônicas que podem ser feitas ao mesmo tempo para os operadores das estações de comutação. Este trabalho em engenharia de tráfego telefônico foi expandido para considerar os tempos de espera em sistemas de filas em geral. A distribuição também é usada no campo dos processos estocásticos .

Caracterização

Função densidade de probabilidade

A função de densidade de probabilidade da distribuição Erlang é

${\ displaystyle f (x; k, \ lambda) = {\ lambda ^ {k} x ^ {k-1} e ^ {- \ lambda x} \ over (k-1)!} \ quad {\ mbox { para}} x, \ lambda \ geq 0,}$

O parâmetro k é chamado de parâmetro de forma e o parâmetro é chamado de parâmetro de taxa. ${\ displaystyle \ lambda}$

Uma parametrização alternativa, mas equivalente, usa o parâmetro de escala , que é o recíproco do parâmetro de taxa (ou seja, ): ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta = 1 / \ lambda}$

${\ displaystyle f (x; k, \ beta) = {\ frac {x ^ {k-1} e ^ {- {\ frac {x} {\ beta}}}} {\ beta ^ {k} (k -1)!}} \ Quad {\ mbox {para}} x, \ beta \ geq 0.}$

Quando o parâmetro de escala é igual a 2, a distribuição simplifica para a distribuição qui-quadrada com 2 k graus de liberdade. Portanto, pode ser considerada uma distribuição qui-quadrada generalizada para números pares de graus de liberdade. ${\ displaystyle \ beta}$

Função de distribuição cumulativa (CDF)

A função de distribuição cumulativa da distribuição Erlang é

${\ displaystyle F (x; k, \ lambda) = P (k, \ lambda x) = {\ frac {\ gamma (k, \ lambda x)} {\ Gamma (k)}} = {\ frac {\ gama (k, \ lambda x)} {(k-1)!}},}$

onde é a função gama incompleta inferior e é a função gama regularizada inferior . O CDF também pode ser expresso como ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle F (x; k, \ lambda) = 1- \ sum _ {n = 0} ^ {k-1} {\ frac {1} {n!}} e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {n}.}$

Mediana

Uma expansão assintótica é conhecida pela mediana de uma distribuição Erlang, para a qual os coeficientes podem ser calculados e os limites são conhecidos. Uma aproximação está, ou seja, abaixo da média${\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}} \ left (1 - {\ dfrac {1} {3k + 0.2}} \ right),}$${\ displaystyle {\ frac {k} {\ lambda}}.}$

Gerando variáveis ​​aleatórias distribuídas por Erlang

Variáveis ​​aleatórias distribuídas por Erlang podem ser geradas a partir de números aleatórios uniformemente distribuídos ( ) usando a seguinte fórmula: ${\ displaystyle U \ in [0,1]}$

${\ displaystyle E (k, \ lambda) = - {\ frac {1} {\ lambda}} \ ln \ prod _ {i = 1} ^ {k} U_ {i} = - {\ frac {1} { \ lambda}} \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ ln U_ {i}}$

Formulários

Tempos de espera

Os eventos que ocorrem independentemente com alguma taxa média são modelados com um processo de Poisson . Os tempos de espera entre k ocorrências do evento são distribuídos em Erlang. (A questão relacionada do número de eventos em um determinado período de tempo é descrita pela distribuição de Poisson .)

A distribuição Erlang, que mede o tempo entre as chamadas recebidas, pode ser usada em conjunto com a duração esperada das chamadas recebidas para produzir informações sobre a carga de tráfego medida em erlangs. Isso pode ser usado para determinar a probabilidade de perda ou atraso do pacote, de acordo com várias suposições feitas sobre se as chamadas bloqueadas são abortadas (fórmula de Erlang B) ou enfileiradas até serem atendidas (fórmula de Erlang C). As fórmulas Erlang-B e C ainda são usadas no dia a dia para modelagem de tráfego para aplicações como o design de call centers .

Outras aplicações

A distribuição de idade da incidência de câncer geralmente segue a distribuição de Erlang, enquanto os parâmetros de forma e escala predizem, respectivamente, o número de eventos de driver e o intervalo de tempo entre eles. De forma mais geral, a distribuição Erlang foi sugerida como uma boa aproximação da distribuição do tempo do ciclo celular, como resultado de modelos de múltiplos estágios.

Também tem sido usado em economia de negócios para descrever os tempos entre as compras.

Propriedades

• Se então com${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda)}$${\ displaystyle a \ cdot X \ sim \ operatorname {Erlang} \ left (k, {\ frac {\ lambda} {a}} \ right)}$${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$
• Se e então se forem independentes${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k_ {1}, \ lambda)}$${\ displaystyle Y \ sim \ operatorname {Erlang} (k_ {2}, \ lambda)}$${\ displaystyle X + Y \ sim \ operatorname {Erlang} (k_ {1} + k_ {2}, \ lambda)}$${\ displaystyle X, Y}$

Distribuições relacionadas

• A distribuição Erlang é a distribuição da soma de k variáveis ​​aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica , cada uma com uma distribuição exponencial . A taxa de longo prazo na qual os eventos ocorrem é o recíproco da expectativa de que é, a taxa (evento específico da idade) da distribuição Erlang é monotônica em aumentar de 0 a conforme tende ao infinito. ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ lambda / k.}$${\ displaystyle k> 1,}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle x = 0,}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle x}$
  • Ou seja: se então${\ displaystyle X_ {i} \ sim \ operatorname {Exponencial} (\ lambda),}$${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {k} {X_ {i}} \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda)}$
• Por causa da função fatorial no denominador do PDF e CDF , a distribuição Erlang só é definida quando o parâmetro k é um número inteiro positivo. Na verdade, esta distribuição é por vezes chamada a Erlang- k distribuição (por exemplo, uma distribuição Erlang-2 é uma distribuição de Erlang com ). A distribuição gama generaliza a distribuição Erlang permitindo que k seja qualquer número real positivo, usando a função gama em vez da função fatorial. ${\ displaystyle k = 2}$
  • Ou seja: se k for um inteiro e então${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Gamma} (k, \ lambda),}$${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda)}$
• Se e então${\ displaystyle U \ sim \ operatorname {Exponencial} (\ lambda)}$${\ displaystyle V \ sim \ operatorname {Erlang} (n, \ lambda)}$${\ displaystyle {\ frac {U} {V}} + 1 \ sim \ operatorname {Pareto} (1, n)}$
• A distribuição Erlang é um caso especial da distribuição Pearson tipo III
• A distribuição Erlang está relacionada à distribuição qui-quadrado . Se então${\ displaystyle X \ sim \ operatorname {Erlang} (k, \ lambda),}$${\ displaystyle 2 \ lambda X \ sim \ chi _ {2k} ^ {2}.}$
• A distribuição Erlang está relacionada à distribuição de Poisson pelo processo de Poisson : Se for assim, então e Tirando as diferenças fornece a distribuição de Poisson.${\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {i} \ sim \ operatorname {Exponencial} (\ lambda),}$${\ displaystyle S_ {n} \ sim \ operatorname {Erlang} (n, \ lambda)}$${\ displaystyle \ operatorname {Pr} (N (x) \ leq n-1) = \ operatorname {Pr} (S_ {n}> x) = 1-F_ {X} (x; n, \ lambda) = \ soma _ {k = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {k!}} e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {k}.}$${\ displaystyle n}$

Veja também

• Distribuição Coxian
• Cálculo de Engset
• Fórmula Erlang B
• Unidade Erlang
• Distribuição de tipo de fase
• Modelo de geração de tráfego

Notas

Referências

• Ian Angus "Uma Introdução a Erlang B e Erlang C" , Telemanagement # 187 (Documento PDF - Possui termos e fórmulas mais uma breve biografia)
• Stuart Harris "Cálculos Erlang vs. Simulação"

links externos

• Distribuição Erlang
• Dimensionamento de recursos usando Erlang-B e Erlang-C