Função gama incompleta - Incomplete gamma function

Em matemática , as funções gama incompletas superior e inferior são tipos de funções especiais que surgem como soluções para vários problemas matemáticos, como certos integrais .

Seus respectivos nomes derivam de suas definições integrais, que são definidas de forma semelhante à função gama, mas com limites integrais diferentes ou "incompletos". A função gama é definida como uma integral de zero ao infinito. Isso contrasta com a função gama incompleta inferior, que é definida como uma integral de zero a um limite superior variável. Da mesma forma, a função gama incompleta superior é definida como uma integral de um limite inferior variável ao infinito.

Definição

A função gama superior incompleta é definida como:

${\ displaystyle \ Gamma (s, x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t, \, \!}$

enquanto a função gama inferior incompleta é definida como:

${\ displaystyle \ gamma (s, x) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t. \, \ !}$

Em ambos os casos, s é um parâmetro complexo, de forma que a parte real de s é positiva.

Propriedades

Por integração por partes encontramos as relações de recorrência

${\ displaystyle \ Gamma (s + 1, x) = s \ Gamma (s, x) + x ^ {s} e ^ {- x}}$

e

${\ displaystyle \ gamma (s + 1, x) = s \ gamma (s, x) -x ^ {s} e ^ {- x}.}$

Uma vez que a função gama comum é definida como

${\ displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t}$

temos

${\ displaystyle \ Gamma (s) = \ Gamma (s, 0) = \ lim _ {x \ to \ infty} \ gamma (s, x)}$

e

${\ displaystyle \ gamma (s, x) + \ Gamma (s, x) = \ Gamma (s).}$

Continuação para valores complexos

A função gama incompleta inferior e a função gama incompleta superior, conforme definido acima para s e x positivos reais , podem ser desenvolvidas em funções holomórficas , com relação a x e s , definidas para quase todas as combinações de complexos x e s . A análise complexa mostra como as propriedades das funções gama incompletas reais se estendem às suas contrapartes holomórficas.

Função Gamma incompleta inferior

Extensão holomórfica

A aplicação repetida da relação de recorrência para a função gama incompleta inferior leva à expansão da série de potências : [2]

${\ displaystyle \ gamma (s, x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s} e ^ {- x} x ^ {k}} {s (s + 1) \ cdots (s + k)}} = x ^ {s} \, \ Gamma (s) \, e ^ {- x} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {\ Gamma (s + k + 1)}}.}$

Dado o rápido crescimento em valor absoluto de Γ ( z + k ) quando k  → ∞, e o fato de que o recíproco de Γ ( z ) é uma função inteira , os coeficientes na soma mais à direita são bem definidos, e localmente a soma converge uniformemente para todos os complexos s e x . Por um teorema de Weierstraß, a função limitante, às vezes denotada como , ${\ displaystyle \ gamma ^ {*}}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {*} (s, z): = e ^ {- z} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {k}} {\ Gamma (s + k + 1)}}}$ [3]

é inteiro em relação a z (para s fixos ) e s (para z fixos ) [4] , e, portanto, holomórfico em ℂ × ℂ pelo teorema de Hartog [5] . Portanto, a seguinte decomposição

${\ displaystyle \ gamma (s, z) = z ^ {s} \, \ Gamma (s) \, \ gamma ^ {*} (s, z)}$ [6] ,

estende a função gama incompleta real inferior como uma função holomórfica , tanto conjunta quanto separadamente em z e s . Segue das propriedades de e da função Γ que os dois primeiros fatores capturam as singularidades de (em z = 0 ou s um inteiro não positivo), enquanto o último fator contribui para seus zeros. ${\ displaystyle z ^ {s}}$${\ displaystyle \ gamma (s, z)}$

Multi-valorização

O logaritmo complexo log  z  = log | z | +  I  arg  z é determinada para um valor múltiplo de apenas 2πi, o que a torna de valores múltiplos . As funções que envolvem o logaritmo complexo normalmente herdam essa propriedade. Entre eles estão a potência complexa e, uma vez que z ^s aparece em sua decomposição, a função γ também.

A indeterminação de funções multivaloradas introduz complicações, uma vez que deve ser declarado como selecionar um valor. As estratégias para lidar com isso são:

• (a forma mais geral) substitua o domínio ℂ de funções multivaloradas por uma variedade adequada em ℂ × ℂ chamada superfície de Riemann . Embora isso remova a multivaloração, é preciso conhecer a teoria por trás disso [7] ;
• restringir o domínio de modo que uma função com vários valores se decomponha em ramos separados de valor único , que podem ser tratados individualmente.

O seguinte conjunto de regras pode ser usado para interpretar corretamente as fórmulas nesta seção. Se não for mencionado de outra forma, o seguinte é assumido:

Setores

Setores em ℂ tendo seus vértices em z = 0 freqüentemente provam ser domínios apropriados para expressões complexas. Um setor D consiste em todo z complexo cumprindo z ≠ 0 e α - δ <arg z < α + δ com algum α e 0 < δ ≤ π . Freqüentemente, α pode ser escolhido arbitrariamente e não é especificado então. Se δ não for dado, assume-se que é π, e o setor é de fato todo o plano ℂ, com exceção de uma meia-linha originada em z = 0 e apontando na direção de - α , geralmente servindo como um corte de galho . Nota: Em muitos aplicativos e textos, α é silenciosamente considerado 0, o que centraliza o setor em torno do eixo real positivo.

Galhos

Em particular, um logaritmo de valor único e holomórfico existe em qualquer setor D tendo sua parte imaginária limitada ao intervalo ( α - δ , α + δ ). Com base nesse logaritmo restrito, z ^s e as funções gama incompletas, por sua vez, colapsam em funções holomórficas de valor único em D (ou ℂ × D ), chamadas de ramificações de suas contrapartes multivaloradas em D. Adicionando um múltiplo de 2π a α produz um conjunto diferente de ramos correlacionados com o mesmo conjunto D . No entanto, em qualquer contexto aqui, α é assumido como fixo e todos os ramos envolvidos estão associados a ele. If | α | < δ , os ramos são chamados principais , porque são iguais aos seus análogos reais no eixo real positivo. Observação: em muitos aplicativos e textos, as fórmulas são válidas apenas para os ramos principais.

Relação entre ramos

Os valores de diferentes ramos da função de potência complexa e da função gama incompleta inferior podem ser derivados um do outro pela multiplicação de [8] , para k um número inteiro adequado. ${\ displaystyle e ^ {2 \ pi \ mathrm {i} ks}}$

Comportamento próximo ao ponto de ramificação

A decomposição acima mostra ainda que γ se comporta perto de z = 0 assintoticamente como:

${\ displaystyle \ gamma (s, z) \ asymp z ^ {s} \, \ Gamma (s) \, \ gamma ^ {*} (s, 0) = z ^ {s} \, \ Gamma (s) / \ Gama (s + 1) = z ^ {s} / s.}$

Para x , y e s reais positivos , x ^y / y → 0, quando ( x , y ) → (0, s ). Isso parece justificar definir γ (s, 0) = 0 para s reais > 0. No entanto, as coisas são um pouco diferentes no domínio complexo. Somente se (a) a parte real de s é positiva, e (b) os valores u ^v são tomados de apenas um conjunto finito de ramos, eles são garantidos para convergir para zero como ( u , v ) → (0, s ), e o mesmo acontece com γ ( u , v ). Em um único ramo de γ ( b ) é naturalmente cumpridas, por isso há γ ( s , 0) = 0 para s com parte real positiva é um limite contínuo . Observe também que tal continuação não é de forma analítica .

Relações algébricas

Todas as relações algébricas e equações diferenciais observadas pelo real γ ( s , z ) valem para sua contraparte holomórfica também. Isso é uma consequência do teorema da identidade [9] , que afirma que as equações entre funções holomórficas válidas em um intervalo real são válidas em todos os lugares. Em particular, a relação de recorrência [10] e ∂γ ( s , z ) / ∂z = z ^{s −1} e ^{- z} [11] são preservados nos ramos correspondentes.

Representação integral

A última relação nos diz que, para s fixos , γ é uma primitiva ou antiderivada da função holomórfica z ^{s −1} e ^{- z} . Consequentemente, [12] , para qualquer complexo u , v ≠ 0,

${\ displaystyle \ int _ {u} ^ {v} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t = \ gamma (s, v) - \ gamma ( s, u)}$

é válido, desde que o caminho de integração esteja inteiramente contido no domínio de um ramo do integrando. Se, adicionalmente, a parte real de s é positiva, então o limite γ ( s , u ) → 0 para u → 0 se aplica, chegando finalmente à definição integral complexa de γ

${\ displaystyle \ gamma (s, z) = \ int _ {0} ^ {z} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t, \, \ Re (s)> 0.}$[13]

Qualquer caminho de integração contendo 0 apenas em seu início, caso contrário restrito ao domínio de um ramo do integrando, é válido aqui, por exemplo, a linha reta conectando 0 e z .

Limite para z → + ∞

Valores reais

Dada a representação integral de um ramo principal de γ, a seguinte equação é válida para todos os reais s positivos, x: [14]

${\ displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {s-1} \, e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t = \ lim _ { x \ rightarrow \ infty} \ gamma (s, x)}$

s complexo

Esse resultado se estende a s complexos . Assuma primeiro 1 ≤ Re (s) ≤ 2 e 1 <a <b . Então

${\ displaystyle | \ gamma (s, b) - \ gamma (s, a) | \ leq \ int _ {a} ^ {b} | t ^ {s-1} | e ^ {- t} \, { \ rm {d}} t = \ int _ {a} ^ {b} t ^ {\ Re s-1} e ^ {- t} \, {\ rm {d}} t \ leq \ int _ {a } ^ {b} te ^ {- t} \, {\ rm {d}} t}$

Onde

${\ displaystyle | z ^ {s} | = | z | ^ {\ Re s} \, e ^ {- \ Im s \ arg z}}$[15]

foi usado no meio. Uma vez que a integral final torna-se arbitrariamente pequena se apenas a for grande o suficiente, γ (s, x) converge uniformemente para x → ∞ na faixa 1 ≤ Re (s) ≤ 2 em direção a uma função holomórfica, que deve ser Γ (s) porque do teorema da identidade [16] . Tomando o limite na relação de recorrência γ ( s , x ) = ( s  - 1) γ ( s  - 1, x ) -  x ^{s −1} e ^{- x} e observando, que lim x ⁿ e ^{- x} = 0 para x → ∞ e todo n, mostra que γ (s, x) converge fora da faixa, também, para uma função obedecendo à relação de recorrência da função Γ. Segue-se

${\ displaystyle \ Gamma (s) = \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ gamma (s, x)}$

para todos os s complexos não é um inteiro não positivo, x real e γ principal.

Convergência setorial

Agora, seja u do setor | arg z | < δ < π / 2 com algum δ fixo ( α = 0), γ seja o ramo principal neste setor, e olhe para

${\ displaystyle \ Gamma (s) - \ gamma (s, u) = \ Gamma (s) - \ gamma (s, | u |) + \ gamma (s, | u |) - \ gamma (s, u) .}$

Como mostrado acima, a primeira diferença pode ser arbitrariamente pequena, se | u | é suficientemente grande. A segunda diferença permite a seguinte estimativa:

${\ displaystyle | \ gamma (s, | u |) - \ gamma (s, u) | \ leq \ int _ {u} ^ {| u |} | z ^ {s-1} e ^ {- z} | \, {\ rm {d}} z = \ int _ {u} ^ {| u |} | z | ^ {\ Re s-1} \, e ^ {- \ Im s \, \ arg z} \, e ^ {- \ Re z} \, {\ rm {d}} z,}$

onde utilizamos a representação integral de γ e a fórmula sobre | z ^s | acima de. Se integrarmos ao longo do arco com raio R = | u | em torno de 0 conectando u e | u |, então a última integral é

${\ displaystyle \ leq R | \ arg u | \, R ^ {\ Re s-1} \, e ^ {\ Im s \, | \ arg u |} \, e ^ {- R \ cos \ arg u } \ leq \ delta \, R ^ {\ Re s} \, e ^ {\ Im s \, \ delta} \, e ^ {- R \ cos \ delta} = M \, (R \, \ cos \ delta) ^ {\ Re s} \, e ^ {- R \ cos \ delta}}$

onde M = δ (cos δ ) ^{-Re s} e ^{Im sδ} é uma constante independente de u ou R . Novamente referindo-se ao comportamento de x ⁿ e ^{- x} para grandes x , vemos que a última expressão se aproxima 0 como R aumenta para ∞. No total, agora temos:

${\ displaystyle \ Gamma (s) = \ lim _ {| z | \ rightarrow \ infty} \ gamma (s, z), \ quad | \ arg z | <\ pi / 2- \ epsilon,}$

se s não for um número inteiro não negativo, 0 < ε < π / 2 é arbitrariamente pequeno, mas fixo, e γ denota o ramo principal neste domínio.

Visão geral

${\ displaystyle \ gamma (s, z)}$ é:

• inteiro em z para s integrais fixos e positivos;
• vários valores holomórfica em z para fixos s não é um inteiro, com um ponto de ramificação em z = 0;
• em cada ramo meromórfico em s para z fixo ≠ 0, com pólos simples em inteiros não positivos s.

Função Gamma incompleta superior

Quanto à função gama superior incompleta , uma extensão holomórfica , em relação a z ou s , é dada por

${\ displaystyle \ Gamma (s, z) = \ Gamma (s) - \ gamma (s, z)}$ [17]

nos pontos ( s , z ), onde o lado direito existe. Uma vez que é multivalorado, o mesmo vale para , mas uma restrição aos valores principais somente produz o ramo principal de valor único de . ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Quando s é um número inteiro não positivo na equação acima, nenhuma parte da diferença é definida e um processo de limitação , aqui desenvolvido para s → 0, preenche os valores ausentes. A análise complexa garante a holomorficidade , pois mostra-se limitada em uma vizinhança desse limite por um z fixo [18] . ${\ displaystyle \ Gamma (s, z)}$

Para determinar o limite, a série de potências de em z = 0 revela-se útil. Ao substituir por sua série de potências na definição integral de , obtém-se (assuma x , s reais positivos por enquanto): ${\ displaystyle \ gamma ^ {*}}$${\ displaystyle e ^ {- x}}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ gamma (s, x) = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {s-1} e ^ {- t} \ operatorname {d} t = \ int _ {0} ^ {x } \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} \, {\ frac {t ^ {s + k-1}} {k!}} \ operatorname {d} t = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} \, {\ frac {x ^ {s + k}} {k! (s + k)}} = x ^ {s } \, \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-x) ^ {k}} {k! (s + k)}}}$

ou

${\ displaystyle \ gamma ^ {*} (s, x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-x) ^ {k}} {k! \, \ Gamma (s ) (s + k)}}.}$ [19]

que, como uma representação em série de toda a função, converge para todos os x complexos (e todos os s complexos não são inteiros não positivos). ${\ displaystyle \ gamma ^ {*}}$

Levada a restrição aos valores reais, a série permite a expansão:

${\ displaystyle \ gamma (s, z) - {\ frac {1} {s}} = - {\ frac {1} {s}} + z ^ {s} \, \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {k}} {k! (s + k)}} = {\ frac {z ^ {s} -1} {s}} + z ^ {s} \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {k}} {k! (s + k)}}, \ quad \ Re (s)> - 1, \, s \ neq 0.}$

Quando s  → 0:

${\ displaystyle {\ frac {z ^ {s} -1} {s}} \ rightarrow \ ln (z), \ quad \ Gamma (s) - {\ frac {1} {s}} = {\ frac { 1} {s}} - \ gamma + O (s) - {\ frac {1} {s}} \ rightarrow - \ gamma}$,

( é a constante de Euler-Mascheroni aqui), portanto, ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ Gamma (0, z) = \ lim _ {s \ rightarrow 0} \ left (\ Gamma (s) - {\ tfrac {1} {s}} - (\ gamma (s, z) - { \ tfrac {1} {s}}) \ right) = - \ gamma - \ ln (z) - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-z) ^ {k}} {k \, (k!)}}}$

é a função limitadora da função gama incompleta superior como s  → 0, também conhecida como integral exponencial . ${\ displaystyle E_ {1} (z)}$

Por meio da relação de recorrência, valores de para inteiros positivos n podem ser derivados deste resultado, ${\ displaystyle \ Gamma (-n, z)}$

${\ displaystyle \ Gamma (-n, z) = {\ frac {1} {n!}} \ left ({\ frac {e ^ {- z}} {z ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} (nk-1)! \, Z ^ {k} + (- 1) ^ {n} \ Gamma (0, z) \ direita)}$

assim, a função gama superior incompleta prova existir e ser holomórfica, com respeito a z e s , para todo s e z  ≠ 0.

${\ displaystyle \ Gamma (s, z)}$ é:

• inteiro em z para s integrais fixos e positivos;
• vários valores holomórfica em z para fixa s diferente de zero e não é um número inteiro positivo, com um ponto de ramificação em z = 0;
• = para s com parte real positiva ez = 0 (o limite quando ), mas esta é uma extensão contínua, não analítica ( não vale para s real <0!);${\ displaystyle \ Gamma (s)}$${\ displaystyle (s_ {i}, z_ {i}) \ rightarrow (s, 0)}$
• em cada ramo inteiro em s para z fixo ≠ 0.

Valores especiais

• ${\ displaystyle \ Gamma (s + 1,1) = {\ frac {\ lfloor es! \ rfloor} {e}}}$se s é um número inteiro positivo ,
• ${\ displaystyle \ Gamma (s, x) = (s-1)! \, e ^ {- x} \ sum _ {k = 0} ^ {s-1} {\ frac {x ^ {k}} { k!}}}$se s é um número inteiro positivo ,
• ${\ displaystyle \ Gamma (s, 0) = \ Gamma (s), \ Re (s)> 0}$,
• ${\ displaystyle \ Gamma (1, x) = e ^ {- x}}$,
• ${\ displaystyle \ gamma (1, x) = 1-e ^ {- x}}$,
• ${\ displaystyle \ Gamma (0, x) = - \ operatorname {Ei} (-x)}$para ,${\ displaystyle x> 0}$
• ${\ displaystyle \ Gamma (s, x) = x ^ {s} \ operatorname {E} _ {1-s} (x)}$,
• ${\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x \ right) = {\ sqrt {\ pi}} \ operatorname {erfc} \ left ({\ sqrt {x}} \ right) }$,
• ${\ displaystyle \ gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}}, x \ right) = {\ sqrt {\ pi}} \ operatorname {erf} \ left ({\ sqrt {x}} \ right) }$.

Aqui, é o integrante exponencial , é o integrante exponencial generalizada , é a função de erro , e é a função de erro complementar , . ${\ displaystyle \ operatorname {Ei}}$${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {erf}}$${\ displaystyle \ operatorname {erfc}}$${\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = 1- \ operatorname {erf} (x)}$

Comportamento assintótico

• ${\ displaystyle {\ frac {\ gamma (s, x)} {x ^ {s}}} \ rightarrow {\ frac {1} {s}}}$como ,${\ displaystyle x \ rightarrow 0}$
• ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (s, x)} {x ^ {s}}} \ rightarrow - {\ frac {1} {s}}}$como e (para s reais , o erro de Γ ( s , x ) ~ - x ^s / s é da ordem de O ( x ^{min { s + 1, 0}} ) se s ≠ −1 e O (ln ( x )) se s = −1 ),${\ displaystyle x \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ Re (s) <0}$
• ${\ displaystyle \ gamma (s, x) \ rightarrow \ Gamma (s)}$como ,${\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$
• ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (s, x)} {x ^ {s-1} e ^ {- x}}} \ rightarrow 1}$como ,${\ displaystyle x \ rightarrow \ infty}$
• ${\ displaystyle \ Gamma (s, z) \ sim z ^ {s-1} e ^ {- z} \ sum _ {k = 0} {\ frac {\ Gamma (s)} {\ Gamma (sk)} } z ^ {- k}}$como uma série assintótica onde e .${\ displaystyle | z | \ to \ infty}$${\ displaystyle \ left | \ arg z \ right | <{\ tfrac {3} {2}} \ pi}$

Fórmulas de avaliação

A função gama inferior pode ser avaliada usando a expansão da série de potências: [20]

${\ displaystyle \ gamma (s, z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {s} e ^ {- z} z ^ {k}} {s (s + 1) ... (s + k)}} = z ^ {s} e ^ {- z} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ dfrac {z ^ {k}} {s ^ {\ overline {k + 1}}}}}$

onde está o símbolo Pochhammer . ${\ displaystyle s ^ {\ overline {k + 1}}}$

Uma expansão alternativa é

${\ displaystyle \ gamma (s, z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} {\ frac {z ^ {s + k}} {s + k}} = {\ frac {z ^ {s}} {s}} M (s, s + 1, -z),}$

onde M é a função hipergeométrica confluente de Kummer .

Conexão com a função hipergeométrica confluente de Kummer

Quando a parte real de z é positiva,

${\ displaystyle \ gamma (s, z) = s ^ {- 1} z ^ {s} e ^ {- z} M (1, s + 1, z)}$

Onde

${\ displaystyle M (1, s + 1, z) = 1 + {\ frac {1! z} {(s + 1) 1!}} + {\ frac {2! z ^ {2}} {(s +1) (s + 2) 2!}} + {\ Frac {3! Z ^ {3}} {(s + 1) (s + 2) (s + 3) 3!}} + \ Cdots}$

tem um raio de convergência infinito.

Novamente com funções hipergeométricas confluentes e empregando a identidade de Kummer,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Gamma (s, z) & = e ^ {- z} U (1-s, 1-s, z) = {\ frac {z ^ {s} e ^ {- z}} {\ Gamma (1-s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- u}} {u ^ {s} (z + u)}} {\ rm {d}} u = \\ & = e ^ {- z} z ^ {s} U (1,1 + s, z) = e ^ {- z} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- u} (z + u) ^ {s-1} {\ rm {d}} u = e ^ {- z} z ^ {s} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-zu} (1 + u) ^ {s-1} {\ rm {d}} u. \ end {alinhado}}}$

Para o cálculo real de valores numéricos, a fração contínua de Gauss fornece uma expansão útil:

${\ displaystyle \ gamma (s, z) = {\ cfrac {z ^ {s} e ^ {- z}} {s - {\ cfrac {sz} {s + 1 + {\ cfrac {z} {s + 2 - {\ cfrac {(s + 1) z} {s + 3 + {\ cfrac {2z} {s + 4 - {\ cfrac {(s + 2) z} {s + 5 + {\ cfrac {3z } {s + 6- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}$

Essa fração contínua converge para todo z complexo , desde que s não seja um número inteiro negativo.

A função gama superior tem a fração contínua

${\ displaystyle \ Gamma (s, z) = {\ cfrac {z ^ {s} e ^ {- z}} {z + {\ cfrac {1-s} {1 + {\ cfrac {1} {z + {\ cfrac {2-s} {1 + {\ cfrac {2} {z + {\ cfrac {3-s} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}$

e

${\ displaystyle \ Gamma (s, z) = {\ cfrac {z ^ {s} e ^ {- z}} {1 + z-s + {\ cfrac {s-1} {3 + z-s + {\ cfrac {2 (s-2)} {5 + z-s + {\ cfrac {3 (s-3)} {7 + z-s + {\ cfrac {4 (s-4)} {9 + z-s + \ ddots }}}}}}}}}}}}$

Teorema de multiplicação

O seguinte teorema de multiplicação é verdadeiro:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma (s, z) & = {\ frac {1} {t ^ {s}}} \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (1 - {\ frac {1} {t}} \ right) ^ {i}} {i!}} \ Gamma (s + i, tz) \\ & = \ Gamma (s, tz) - (tz ) ^ {s} e ^ {- tz} \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left ({\ frac {1} {t}} - 1 \ right) ^ {i} } {i}} L_ {i-1} ^ {(si)} (tz). \ end {alinhado}}}$

Implementação de Software

As funções gama incompletas estão disponíveis em vários sistemas de álgebra de computador .

Mesmo se não estiverem disponíveis diretamente, no entanto, valores de função incompletos podem ser calculados usando funções comumente incluídas em planilhas (e pacotes de álgebra de computador). No Excel , por exemplo, eles podem ser calculados usando a função Gama combinada com a função de distribuição Gama .

A função incompleta inferior: .${\ displaystyle \ gamma (s, x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE)

A função incompleta superior: .${\ displaystyle \ Gamma (s, x)}$ = EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x,s,1,TRUE))

Elas seguem da definição da função de distribuição cumulativa da distribuição Gama .

Funções Gamma regularizadas e variáveis ​​aleatórias de Poisson

Duas funções relacionadas são as funções Gamma regularizadas:

${\ displaystyle P (s, x) = {\ frac {\ gamma (s, x)} {\ Gamma (s)}},}$

${\ displaystyle Q (s, x) = {\ frac {\ Gamma (s, x)} {\ Gamma (s)}} = 1-P (s, x).}$

${\ displaystyle P (s, x)}$é a função de distribuição cumulativa para variáveis ​​aleatórias Gama com parâmetro de forma e parâmetro de escala 1. ${\ displaystyle s}$

Quando é um inteiro, é a função de distribuição cumulativa para variáveis ​​aleatórias de Poisson : Se for uma variável aleatória, então ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle Q (s, \ lambda)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ rm {Poi}} (\ lambda)}$

${\ displaystyle Pr (X <s) = \ sum _ {i <s} e ^ {- \ lambda} {\ frac {\ lambda ^ {i}} {i!}} = {\ frac {\ Gamma (s , \ lambda)} {\ Gamma (s)}} = Q (s, \ lambda).}$

Esta fórmula pode ser derivada por integração repetida por partes.

Derivados

Usando a representação integral acima, a derivada da função gama superior incompleta em relação ax é ${\ displaystyle \ Gamma (s, x)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma (s, x)} {\ partial x}} = - x ^ {s-1} e ^ {- x}}$

A derivada em relação ao seu primeiro argumento é dada por ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma (s, x)} {\ partial s}} = \ ln x \ Gamma (s, x) + x \, T (3, s, x)}$

e a segunda derivada por

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ Gamma (s, x)} {\ partial s ^ {2}}} = \ ln ^ {2} x \ Gamma (s, x) + 2x [\ ln x \, T (3, s, x) + T (4, s, x)]}$

onde a função é um caso especial da função G de Meijer${\ displaystyle T (m, s, x)}$

${\ displaystyle T (m, s, x) = G_ {m-1, \, m} ^ {\, m, \, 0} \! \ left (\ left. {\ begin {matrix} 0,0, \ dots, 0 \\ s-1, -1, \ dots, -1 \ end {matrix}} \; \ right | \, x \ right).}$

Este caso especial em particular tem propriedades de fechamento interno próprias porque pode ser usado para expressar todas as derivadas sucessivas. Em geral,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {m} \ Gamma (s, x)} {\ partial s ^ {m}}} = \ ln ^ {m} x \ Gamma (s, x) + mx \, \ sum _ {n = 0} ^ {m-1} P_ {n} ^ {m-1} \ ln ^ {mn-1} x \, T (3 + n, s, x)}$

onde está a permutação definida pelo símbolo Pochhammer : ${\ displaystyle P_ {j} ^ {n}}$

${\ displaystyle P_ {j} ^ {n} = \ left ({\ begin {array} {l} n \\ j \ end {array}} \ right) j! = {\ frac {n!} {(nj )!}}.}$

Todos esses derivados podem ser gerados em sucessão a partir de:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial T (m, s, x)} {\ partial s}} = \ ln x ~ T (m, s, x) + (m-1) T (m + 1, s , x)}$

e

${\ displaystyle {\ frac {\ partial T (m, s, x)} {\ partial x}} = - {\ frac {1} {x}} [T (m-1, s, x) + T ( m, s, x)]}$

Esta função pode ser calculada a partir de sua representação em série válida para , ${\ displaystyle T (m, s, x)}$${\ displaystyle | z | <1}$

${\ displaystyle T (m, s, z) = - {\ frac {(-1) ^ {m-1}} {(m-2)!}} {\ frac {{\ rm {d}} ^ { m-2}} {{\ rm {d}} t ^ {m-2}}} \ left [\ Gamma (st) z ^ {t-1} \ right] {\ Big |} _ {t = 0 } + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} z ^ {s-1 + n}} {n! (- sn) ^ {m-1} }}}$

com o entendimento de que s não é um número inteiro negativo ou zero. Nesse caso, deve-se usar um limite. Os resultados para podem ser obtidos por continuação analítica . Alguns casos especiais desta função podem ser simplificados. Por exemplo, , , onde é o integrante exponencial . Essas derivadas e a função fornecem soluções exatas para um número de integrais por diferenciação repetida da definição integral da função gama superior incompleta. Por exemplo, ${\ displaystyle | z | \ geq 1}$${\ displaystyle T (2, s, x) = \ Gamma (s, x) / x}$${\ displaystyle x \, T (3,1, x) = {\ rm {E}} _ {1} (x)}$${\ displaystyle {\ rm {E}} _ {1} (x)}$${\ displaystyle T (m, s, x)}$

${\ displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {s-1} \ ln ^ {m} t} {e ^ {t}}} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial s ^ {m}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {s-1}} {e ^ {t} }} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ partial ^ {m}} {\ partial s ^ {m}}} \ Gamma (s, x)}$

Esta fórmula pode ser ainda mais inflada ou generalizada para uma grande classe de transformadas de Laplace e transformadas de Mellin . Quando combinada com um sistema de álgebra de computador , a exploração de funções especiais fornece um método poderoso para resolver integrais definidas, em particular aquelas encontradas por aplicações práticas de engenharia (veja Integração simbólica para mais detalhes).

Integrais indefinidos e definidos

Os seguintes integrais indefinidos são facilmente obtidos usando integração por partes (com a constante de integração omitida em ambos os casos):

${\ displaystyle \ int x ^ {b-1} \ gamma (s, x) \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {b}} \ left (x ^ {b} \ gamma (s, x ) - \ gamma (s + b, x) \ right),}$

${\ displaystyle \ int x ^ {b-1} \ Gamma (s, x) \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {b}} \ left (x ^ {b} \ Gamma (s, x ) - \ Gamma (s + b, x) \ right).}$

A função Gamma incompleta inferior e superior são conectadas através da transformada de Fourier :

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ gamma \ left ({\ frac {s} {2}}, z ^ {2} \ pi \ right)} {(z ^ {2} \ pi) ^ {\ frac {s} {2}}}} e ^ {- 2 \ pi ikz} \ mathrm {d} z = {\ frac {\ Gamma \ left ({\ frac {1 -s} {2}}, k ^ {2} \ pi \ right)} {(k ^ {2} \ pi) ^ {\ frac {1-s} {2}}}}.}$

Isso se segue, por exemplo, pela especialização adequada de ( Gradshteyn & Ryzhik 2015 , §7.642) . erro harv: sem alvo: CITEREFGradshteynRyzhik2015 ( ajuda )

Notas

Referências

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links externos

• ${\ displaystyle P (a, x)}$- Calculadora Regularizada de Função Gamma Incompleta Inferior
• ${\ displaystyle Q (a, x)}$- Calculadora de Função Gamma Incompleta Superior Regularizada
• ${\ displaystyle \ gamma (a, x)}$- Calculadora de função Gamma Incompleta Inferior
• ${\ displaystyle \ Gamma (a, x)}$- Calculadora de Função Gamma Incompleta Superior
• fórmulas e identidades das funções Gamma incompletas functions.wolfram.com