Números de Euler - Euler numbers

Em matemática , os números de Euler são uma sequência E _n de inteiros (sequência A122045 no OEIS ) definida pela expansão da série de Taylor

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ cosh t}} = {\ frac {2} {e ^ {t} + e ^ {- t}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {E_ {n}} {n!}} \ cdot t ^ {n}}$,

onde cosh t é o cosseno hiperbólico . Os números de Euler estão relacionados a um valor especial dos polinômios de Euler , a saber:

${\ displaystyle E_ {n} = 2 ^ {n} E_ {n} ({\ tfrac {1} {2}}).}$

Os números de Euler aparecem nas expansões da série de Taylor das funções secantes e secantes hiperbólicas . O último é a função na definição. Eles também ocorrem em combinatória , especificamente ao contar o número de permutações alternadas de um conjunto com um número par de elementos.

Exemplos

Os números de Euler com índice ímpar são todos zero . Os pares indexados (sequência A028296 no OEIS ) têm sinais alternados. Alguns valores são:

E 0	=	1
E 2	=	-1
E 4	=	5
E 6	=	-61
E 8	=	1 385
E 10	=	−50 521
E 12	=	2 702 765
E 14	=	−199 360 981
E 16	=	19 391 512 145
E 18	=	-2 404 879 675 441

Alguns autores reindexam a sequência para omitir os números de Euler ímpares com valor zero ou alterar todos os sinais para positivos (sequência A000364 no OEIS ). Este artigo segue a convenção adotada acima.

Fórmulas explícitas

Em termos de números de Stirling de segundo tipo

A seguir duas fórmulas expressam os números de Euler em termos de números de Stirling de segundo tipo

${\ displaystyle E_ {r} = 2 ^ {2r-1} \ sum _ {k = 1} ^ {r} {\ frac {(-1) ^ {k} S (r, k)} {k + 1 }} \ left (3 \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {(k)} - \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {(k) }\direito),}$

${\ displaystyle E_ {2l} = - 4 ^ {2l} \ sum _ {k = 1} ^ {2l} (- 1) ^ {k} \ cdot {\ frac {S (2l, k)} {k + 1}} \ cdot \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) ^ {(k)},}$

onde denota os números de Stirling do segundo tipo e denota o fatorial crescente . ${\ displaystyle S (r, k)}$${\ displaystyle x ^ {(n)} = (x) (x + 1) \ cdots (x + n-1)}$

Como uma soma dupla

A seguir duas fórmulas expressam os números de Euler como somas duplas

${\ displaystyle E_ {2k} = (2k + 1) \ sum _ {\ ell = 1} ^ {2k} (- 1) ^ {\ ell} {\ frac {1} {2 ^ {\ ell} (\ ell +1)}} {\ binom {2k} {\ ell}} \ sum _ {q = 0} ^ {\ ell} {\ binom {\ ell} {q}} (2q- \ ell) ^ {2k },}$

${\ displaystyle E_ {2k} = \ sum _ {i = 1} ^ {2k} (- 1) ^ {i} {\ frac {1} {2 ^ {i}}} \ sum _ {\ ell = 0 } ^ {2i} (- 1) ^ {\ ell} {\ binom {2i} {\ ell}} (i- \ ell) ^ {2k}.}$

Como uma soma iterada

Uma fórmula explícita para os números de Euler é:

${\ displaystyle E_ {2n} = i \ sum _ {k = 1} ^ {2n + 1} \ sum _ {j = 0} ^ {k} {\ binom {k} {j}} {\ frac {( -1) ^ {j} (k-2j) ^ {2n + 1}} {2 ^ {k} i ^ {k} k}},}$

onde i denota a unidade imaginária com i ² = −1 .

Como uma soma sobre as partições

O número de Euler E _{2 n} pode ser expresso como uma soma sobre as partições pares de 2 n ,

${\ displaystyle E_ {2n} = (2n)! \ sum _ {0 \ leq k_ {1}, \ ldots, k_ {n} \ leq n} {\ binom {K} {k_ {1}, \ ldots, k_ {n}}} \ delta _ {n, \ sum mk_ {m}} \ left (- {\ frac {1} {2!}} \ right) ^ {k_ {1}} \ left (- {\ frac {1} {4!}} \ right) ^ {k_ {2}} \ cdots \ left (- {\ frac {1} {(2n)!}} \ right) ^ {k_ {n}},}$

bem como uma soma sobre as partições ímpares de 2 n - 1 ,

${\ displaystyle E_ {2n} = (- 1) ^ {n-1} (2n-1)! \ sum _ {0 \ leq k_ {1}, \ ldots, k_ {n} \ leq 2n-1} { \ binom {K} {k_ {1}, \ ldots, k_ {n}}} \ delta _ {2n-1, \ sum (2m-1) k_ {m}} \ left (- {\ frac {1} {1!}} \ Right) ^ {k_ {1}} \ left ({\ frac {1} {3!}} \ Right) ^ {k_ {2}} \ cdots \ left ({\ frac {(- 1) ^ {n}} {(2n-1)!}} \ Direita) ^ {k_ {n}},}$

onde em ambos os casos K = k ₁ + ··· + k _n e

${\ displaystyle {\ binom {K} {k_ {1}, \ ldots, k_ {n}}} \ equiv {\ frac {K!} {k_ {1}! \ cdots k_ {n}!}}}$

é um coeficiente multinomial . Os deltas de Kronecker nas fórmulas acima restringem as somas sobre k s a 2 k ₁ + 4 k ₂ + ··· + 2 nk _n = 2 n e a k ₁ + 3 k ₂ + ··· + (2 n - 1) k _n = 2 n - 1 , respectivamente.

Como um exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E_ {10} & = 10! \ left (- {\ frac {1} {10!}} + {\ frac {2} {2! \, 8!}} + { \ frac {2} {4! \, 6!}} - {\ frac {3} {2! ^ {2} \, 6!}} - {\ frac {3} {2! \, 4! ^ { 2}}} + {\ frac {4} {2! ^ {3} \, 4!}} - {\ frac {1} {2! ^ {5}}} \ right) \\ [6pt] & = 9! \ Left (- {\ frac {1} {9!}} + {\ Frac {3} {1! ^ {2} \, 7!}} + {\ Frac {6} {1! \, 3 ! \, 5!}} + {\ Frac {1} {3! ^ {3}}} - {\ frac {5} {1! ^ {4} \, 5!}} - {\ frac {10} {1! ^ {3} \, 3! ^ {2}}} + {\ frac {7} {1! ^ {6} \, 3!}} - {\ frac {1} {1! ^ {9 }}} \ direita) \\ [6pt] & = - 50 \, 521. \ end {alinhado}}}$

Como um determinante

E _{2 n} é dado pelo determinante

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E_ {2n} & = (- 1) ^ {n} (2n)! ~ {\ begin {vmatrix} {\ frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ & ~ \\ {\ frac {1} {4!}} & {\ frac {1} {2!}} & 1 & ~ & ~ \\\ vdots & ~ & \ ddots ~~ & \ ddots ~~ & ~ \\ {\ frac {1} {(2n-2)!}} & {\ frac {1} {(2n-4)!}} & ~ & {\ frac {1} {2!}} & 1 \\ {\ frac {1} {(2n)!}} & {\ frac {1} {(2n-2)!}} & \ cdots & {\ frac {1} {4!}} & {\ frac {1} { 2!}} \ End {vmatrix}}. \ End {alinhado}}}$

Como um integral

E _{2 n} também é dado pelos seguintes integrais:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} (- 1) ^ {n} E_ {2n} & = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {2n}} {\ cosh {\ frac {\ pi t} {2}}}} \; dt = \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {2n + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} { \ frac {x ^ {2n}} {\ cosh x}} \; dx \\ [8pt] & = \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {2n} \ int _ { 0} ^ {1} \ log ^ {2n} \ left (\ tan {\ frac {\ pi t} {4}} \ right) \, dt = \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {2n + 1} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ log ^ {2n} \ left (\ tan {\ frac {x} {2}} \ right) \, dx \ \ [8pt] & = {\ frac {2 ^ {2n + 3}} {\ pi ^ {2n + 2}}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} x \ log ^ {2n} ( \ tan x) \, dx = \ left ({\ frac {2} {\ pi}} \ right) ^ {2n + 2} \ int _ {0} ^ {\ pi} {\ frac {x} {2 }} \ log ^ {2n} \ left (\ tan {\ frac {x} {2}} \ right) \, dx. \ end {alinhado}}}$

Congruências

W. Zhang obteve as seguintes identidades combinatórias em relação aos números de Euler, para qualquer primo , temos ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle (-1) ^ {\ frac {p-1} {2}} E_ {p-1} \ equiv \ textstyle {\ begin {cases} 0 \ mod p & {\ text {if}} p \ equiv 1 {\ bmod {4}}; \\ - 2 \ mod p & {\ text {if}} p \ equiv 3 {\ bmod {4}}. \ End {cases}}}$

W. Zhang e Z. Xu provaram que, para qualquer primo e inteiro , temos ${\ displaystyle p \ equiv 1 {\ pmod {4}}}$${\ displaystyle \ alpha \ geq 1}$

${\ displaystyle E _ {\ phi (p ^ {\ alpha}) / 2} \ not \ equiv 0 {\ pmod {p ^ {\ alpha}}}}$

onde está a função totiente de Euler . ${\ displaystyle \ phi (n)}$

Aproximação assintótica

Os números de Euler crescem muito rapidamente para índices grandes, pois eles têm o seguinte limite inferior

${\ displaystyle | E_ {2n} |> 8 {\ sqrt {\ frac {n} {\ pi}}} \ left ({\ frac {4n} {\ pi e}} \ right) ^ {2n}.}$

Números em ziguezague de Euler

A série Taylor de é ${\ displaystyle \ sec x + \ tan x = \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {4}} + {\ frac {x} {2}} \ right)}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A_ {n}} {n!}} x ^ {n},}$

onde A _n são os números em zigue-zague de Euler , começando com

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (sequência A000111 no OEIS )

Para todos os pares n ,

${\ displaystyle A_ {n} = (- 1) ^ {\ frac {n} {2}} E_ {n},}$

onde E _n é o número de Euler; e para todos os n ímpares ,

${\ displaystyle A_ {n} = (- 1) ^ {\ frac {n-1} {2}} {\ frac {2 ^ {n + 1} \ left (2 ^ {n + 1} -1 \ right ) B_ {n + 1}} {n + 1}},}$

onde B _n é o número de Bernoulli .

Para cada n ,

${\ displaystyle {\ frac {A_ {n-1}} {(n-1)!}} \ sin {\ left ({\ frac {n \ pi} {2}} \ right)} + \ sum _ { m = 0} ^ {n-1} {\ frac {A_ {m}} {m! (nm-1)!}} \ sin {\ left ({\ frac {m \ pi} {2}} \ right )} = {\ frac {1} {(n-1)!}}.}$

Veja também

• Número da campainha
• Número Bernoulli
• Constante de Euler-Mascheroni

Referências

links externos

• "Números de Euler" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "número de Euler" . MathWorld .