Raiz quadrada funcional - Functional square root

Em matemática , uma raiz quadrada funcional (às vezes chamada de meia iteração ) é uma raiz quadrada de uma função com relação à operação de composição da função . Em outras palavras, uma raiz quadrada funcional de uma função $g$ é uma função $f que$ satisfaz $f$ $($ $f$ $($ $x$ $)) =$ $g$ $($ $x$ $)$ para todo $x$ .

Notação

Notações expressam que $f$ é uma raiz quadrada funcional de $g$ são $f = g [1/2]$ e $f = g 1/2$ .

História

A raiz quadrada funcional da função exponencial (agora conhecida como função semi-exponencial ) foi estudada por Hellmuth Kneser em 1950.
As soluções de $f (f (x)) = x$ over (as involuções dos números reais ) foram estudadas pela primeira vez por Charles Babbage em 1815, e essa equação é chamada de equação funcional de Babbage . Uma solução particular é $f$ $($ $x$ $) = ($ $b$ $-$ $x$ $) / (1 +$ $cx$ $)$ para $bc$ $\neq -1$ . Babbage notou que para qualquer solução dada $f$ , seu conjugado funcional $Ψ$ $-1$ $\circ$ $f$ $\circ$ $Ψ$ por uma função invertível arbitrária $Ψ$ também é uma solução. Em outras palavras, o grupo de todas as funções invertíveis na linha real atua no subconjunto que consiste em soluções para a equação funcional de Babbage por conjugação . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Soluções

Um procedimento sistemático para produzir arbitrárias funcionais $n$ -roots (incluindo verdadeira arbitrária, negativo, e infinitesimal $n$ ) de funções g : ℂ → ℂ conta com as soluções de equação de Schröder . Existem infinitas soluções triviais quando o domínio de uma função raiz f pode ser suficientemente maior do que o de g .

Exemplos

$f (x) = 2 x 2$ é uma raiz quadrada funcional de $g (x) = 8 x 4$ .
Uma raiz quadrada funcional do $n-$ ésimo polinômio de Chebyshev , $g (x) = T n (x)$ , é $f (x) = cos (\sqrt n arccos (x))$ , que em geral não é um polinômio .
$f (x) = x / (\sqrt 2 + x (1 - \sqrt 2))$ é uma raiz quadrada funcional de $g (x) = x / (2 - x)$ .

Iterações da função seno ( azul ), no primeiro semestre. Meia iteração ( laranja ), ou seja, a raiz quadrada funcional do seno; a raiz quadrada funcional disso, o quarto de iteração (preto) acima dele e as iterações fracionárias adicionais até a iteração de 1/64. As funções abaixo do seno são seis iterações integrais abaixo dele, começando com a segunda iteração ( vermelho ) e terminando com a 64ª iteração. O triângulo de envelope verde representa a iteração nula limitante, a função dente de serra servindo como o ponto de partida que leva à função seno. A linha tracejada é a primeira iteração negativa, ou seja, o inverso do seno ( arco seno ).

sin [2] (x) = sin (sin (x))

[ curva vermelha ]

sin [1] (x) = sin (x) = rin (rin (x))

[ curva azul ]

sin [½] (x) = rin (x) = qin (qin (x))

[ curva laranja ]

sin [¼] (x) = qin (x)

[curva preta acima da curva laranja]

sin [-1] (x) = arcsin (x)

[curva tracejada]

(Veja. Para a notação, veja [1] .)

Veja também

Referências

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