Meio inteiro - Half-integer

Em matemática , meio-inteiro é um número da forma

${\ displaystyle n + {\ tfrac {1} {2}}}$ ,

onde é um inteiro . Por exemplo, ${\ displaystyle n}$

4 + 1 / 2 , ⁷ / ₂ , - + 13 / 2 , 8,5

são todos meio-inteiros . O nome "meio-inteiro" talvez seja enganoso, pois o conjunto pode ser mal interpretado por incluir números como 1 (sendo metade do inteiro 2). Um nome como "inteiro mais metade" pode ser mais preciso, mas embora não seja literalmente verdadeiro, "meio inteiro" é o termo convencional. Meios inteiros ocorrem com freqüência suficiente na matemática e na mecânica quântica para que um termo distinto seja conveniente.

Observe que dividir um número inteiro pela metade nem sempre produz um número inteiro pela metade; isso só é verdadeiro para inteiros ímpares . Por esse motivo, os meio-inteiros também são chamados de meio-inteiros ímpares . Meio-inteiros são um subconjunto dos racionais diádicos (números produzidos pela divisão de um inteiro por uma potência de dois ).

Notação e estrutura algébrica

O conjunto de todos os meio-inteiros é frequentemente denotado

${\ displaystyle \ mathbb {Z} + {\ tfrac {1} {2}} \ quad = \ quad \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} \ right) \ smallsetminus \ mathbb { Z} ~.}$

Os inteiros e meio-inteiros juntos formam um grupo sob a operação de adição, que pode ser denotado

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathbb {Z} ~.}$

No entanto, esses números não formam um anel porque o produto de dois meio-inteiros geralmente não é um meio-inteiro; por exemplo ${\ displaystyle ~ {\ tfrac {1} {2}} \ times {\ tfrac {1} {2}} ~ = ~ {\ tfrac {1} {4}} ~ \ notin ~ {\ tfrac {1} { 2}} \ mathbb {Z} ~.}$

Usos

Embalagem de esfera

O mais densa embalagem treliça de esferas unitárias em quatro dimensões (a chamada D ₄ reticulado ) coloca uma esfera em todos os pontos cujas coordenadas são ou todos os números inteiros ou todas as meias-inteiros. Esse empacotamento está intimamente relacionado aos inteiros de Hurwitz : quatérnios cujos coeficientes reais são todos inteiros ou todos meio-inteiros.

Física

Na física, o princípio de exclusão de Pauli resulta da definição de férmions como partículas que têm spins meio-inteiros.

Os níveis de energia do oscilador harmônico quântico ocorrem em meio-inteiros e, portanto, sua energia mais baixa não é zero.

Volume da esfera

Embora a função fatorial seja definida apenas para argumentos inteiros, ela pode ser estendida para argumentos fracionários usando a função gama . A função gama para meio-inteiros é uma parte importante da fórmula para o volume de uma bola n- dimensional de raio R ,

${\ displaystyle V_ {n} (R) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} R ^ {n} ~. }$

Os valores da função gama em meio-inteiros são múltiplos inteiros da raiz quadrada de pi :

${\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} + n \ right) ~ = ~ {\ frac {\, (2n-1) !! \,} {2 ^ {n}}} \, {\ sqrt {\ pi \,}} ~ = ~ {\ frac {(2n)!} {\, 4 ^ {n} \, n! \,}} {\ sqrt {\ pi \,}} ~}$

onde n !! denota o duplo fatorial .

Referências