Estrutura Heath – Jarrow – Morton - Heath–Jarrow–Morton framework

O Heath-Jarrow-Morton ( HJM ) estrutura é uma estrutura geral, para modelar a evolução das taxas de juro curvas - instantâneos curvas de taxa futura , em particular (em oposição à simples taxas forward ). Quando a volatilidade e a deriva da taxa direta instantânea são assumidas como determinísticas , isso é conhecido como o modelo Gaussiano de Heath-Jarrow-Morton (HJM) de taxas futuras. Para modelagem direta de taxas forward simples, o modelo Brace – Gatarek – Musiela representa um exemplo.

A estrutura do HJM se origina do trabalho de David Heath , Robert A. Jarrow e Andrew Morton no final dos anos 1980, especialmente os preços de Bond e a estrutura a termo das taxas de juros: uma nova metodologia (1987) - documento de trabalho, Cornell University e Bond preços e a estrutura a termo das taxas de juros: uma nova metodologia (1989) - documento de trabalho (edição revisada), Cornell University. Ele tem seus críticos, entretanto, com Paul Wilmott descrevendo-o como "... na verdade, apenas um grande tapete para [erros] serem varridos".

Estrutura

A chave para essas técnicas é o reconhecimento de que os desvios da evolução da não arbitragem de certas variáveis ​​podem ser expressos como funções de suas volatilidades e das correlações entre si. Em outras palavras, nenhuma estimativa de deriva é necessária.

Os modelos desenvolvidos de acordo com a estrutura HJM são diferentes dos chamados modelos de taxa curta no sentido de que os modelos do tipo HJM capturam toda a dinâmica de toda a curva da taxa direta , enquanto os modelos de taxa curta capturam apenas a dinâmica de um ponto na curva (a taxa curta).

No entanto, os modelos desenvolvidos de acordo com a estrutura geral do HJM geralmente não são markovianos e podem até ter dimensões infinitas. Vários pesquisadores deram grandes contribuições para lidar com esse problema. Eles mostram que se a estrutura de volatilidade das taxas futuras satisfazem certas condições, então um modelo HJM pode ser expresso inteiramente por um sistema Markoviano de estados finitos, tornando-o computacionalmente viável. Os exemplos incluem um modelo de um fator e dois estados (O. Cheyette, "Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation", Journal of Fixed Income, 1, 1992; P. Ritchken e L. Sankarasubramanian em "Volatility Structures of Forward Rates and the Dynamics of Term Structure ", Mathematical Finance , 5, No. 1, Jan 1995), e versões multifatoriais posteriores.

Formulação matemática

A classe de modelos desenvolvida por Heath, Jarrow e Morton (1992) é baseada na modelagem das taxas futuras, mas não captura todas as complexidades de uma estrutura a termo em evolução.

O modelo começa por introduzir a taxa para a frente instantânea , que é definida como a taxa de composição contínua disponível a tempo , como visto a partir do tempo . A relação entre os preços dos títulos e a taxa a termo também é fornecida da seguinte maneira: ${\ displaystyle \ textstyle f (t, T)}$${\ displaystyle \ textstyle t \ leq T}$${\ displaystyle \ textstyle T}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

${\ displaystyle P (t, T) = e ^ {- \ int _ {t} ^ {T} f (t, s) ds}}$

Aqui está o preço no momento de um título de cupom zero pagando $ 1 no vencimento . A conta do mercado monetário sem risco também é definida como ${\ displaystyle \ textstyle P (t, T)}$${\ displaystyle \ textstyle t}$${\ displaystyle \ textstyle T \ geq t}$

${\ displaystyle \ beta (t) = e ^ {\ int _ {0} ^ {t} f (u, u) du}}$

Esta última equação permite definir a taxa de venda curta sem risco. A estrutura HJM assume que a dinâmica de uma medida de preços neutra ao risco é a seguinte: ${\ displaystyle \ textstyle f (t, t) \ triangleq r (t)}$${\ displaystyle \ textstyle f (t, s)}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle df (t, s) = \ mu (t, s) dt + {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) dW_ {t}}$

Onde está um processo Wiener dimensional e , são processos adaptados . Agora, com base nessa dinâmica , tentaremos encontrar a dinâmica e as condições que precisam ser satisfeitas sob regras de preços neutras ao risco. Vamos definir o seguinte processo: ${\ displaystyle \ textstyle W_ {t}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle \ mu (u, s)}$${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (u, s)}$${\ displaystyle \ textstyle {\ mathcal {F}} _ {u}}$ ${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle P (t, s)}$

${\ displaystyle Y_ {t} \ triangleq \ log P (t, s) = - \ int _ {t} ^ {s} f (t, u) du}$

A dinâmica de pode ser obtida através da regra de Leibniz : ${\ displaystyle \ textstyle Y_ {t}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} dY_ {t} & = f (t, t) dt- \ int _ {t} ^ {s} df (t, u) du \\ & = r_ {t} dt- \ int _ {t} ^ {s} \ mu (t, u) dtdu- \ int _ {t} ^ {s} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) dW_ {t} du \ end { alinhado}}}$

Se definirmos , e assumir que as condições para o Teorema de Fubini estão satisfeitos na fórmula para a dinâmica de , temos: ${\ displaystyle \ textstyle \ mu (t, s) ^ {*} = \ int _ {t} ^ {s} \ mu (t, u) du}$${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} = \ int _ {t} ^ {s} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) du}$${\ displaystyle \ textstyle Y_ {t}}$

${\ displaystyle dY_ {t} = \ left (r_ {t} - \ mu (t, s) ^ {*} \ right) dt - {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} dW_ {t}}$

Pelo lema de Itō , a dinâmica de são então: ${\ displaystyle \ textstyle P (t, T)}$

${\ displaystyle {\ frac {dP (t, s)} {P (t, s)}} = \ left (r_ {t} - \ mu (t, s) ^ {*} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {* T} \ right) dt - {\ boldsymbol {\ sigma }} (t, s) ^ {*} dW_ {t}}$

Mas deve ser um martingale sob a medida de preço , então exigimos isso . Diferenciando isso em relação a nós temos: ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {P (t, s)} {\ beta (t)}}}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ textstyle \ mu (t, s) ^ {*} = {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {*} {\ boldsymbol {\ sigma }} (t, s) ^ {* T}}$${\ displaystyle \ textstyle s}$

${\ displaystyle \ mu (t, u) = {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) \ int _ {t} ^ {u} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {T } ds}$

O que finalmente nos diz que a dinâmica de deve ser da seguinte forma: ${\ displaystyle \ textstyle f}$

${\ displaystyle df (t, u) = \ left ({\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) \ int _ {t} ^ {u} {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, s) ^ {T} ds \ right) dt + {\ boldsymbol {\ sigma}} (t, u) dW_ {t}}$

O que nos permite precificar títulos e derivativos de taxas de juros com base em nossa escolha . ${\ displaystyle \ textstyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

Veja também

• Modelo Black – Derman – Toy
• Modelo Brace – Gatarek – Musiela
• Modelo chen
• Modelo Cheyette
• Modelo Ho – Lee
• Modelo Hull-White

Referências

Notas

Origens

• Heath, D., Jarrow, R. e Morton, A. (1990). Preço de títulos e a estrutura a termo das taxas de juros: uma aproximação discreta no tempo . Journal of Financial and Quantitative Analysis , 25: 419-440.
• Heath, D., Jarrow, R. e Morton, A. (1991). Avaliação de créditos contingentes com uma evolução aleatória das taxas de juros . Review of Futures Markets , 9: 54-76.
• Heath, D., Jarrow, R. e Morton, A. (1992). Precificação de títulos e a estrutura a prazo das taxas de juros: uma nova metodologia para avaliação de créditos contingentes . Econometrica , 60 (1): 77-105. doi : 10.2307 / 2951677
• Robert Jarrow (2002). Modelagem de títulos de renda fixa e opções de taxas de juros (2ª ed.). Stanford Economics and Finance. ISBN   0-8047-4438-6

Leitura adicional

• Árvores não espessas para modelos Gaussianos HJM e Lognormal Forward , Prof Alan Brace, University of Technology Sydney
• The Heath-Jarrow-Morton Term Structure Model , Prof. Don Chance EJ Ourso College of Business , Louisiana State University
• Recombining Trees for One-Dimensional Forward Rate Models , Dariusz Gatarek, Wyższa Szkoła Biznesu - National-Louis University e Jaroslaw Kolakowski
• Implementando a estrutura de termos de taxas de juros sem arbitragem em um tempo discreto quando as taxas de juros são normalmente distribuídas , Dwight M Grant e Gautam Vora. The Journal of Fixed Income March 1999, Vol. 8, nº 4: pp. 85-98
• Modelo de Heath – Jarrow – Morton e sua aplicação , Vladimir I Pozdynyakov, Universidade da Pensilvânia
• Um estudo empírico das propriedades de convergência da árvore de taxas futuras de HJM não recombinantes na precificação de derivados de taxas de juros , AR Radhakrishnan New York University
• Modelagem de taxas de juros com Heath, Jarrow e Morton. Dr. Donald van Deventer, Kamakura Corporation :
  • Com Um Fator e Volatilidade Dependente da Maturidade
  • Com um fator e taxa e volatilidade dependente da maturidade
  • Com dois fatores e taxa e volatilidade dependente da maturidade
  • Com três fatores e taxa e volatilidade dependente da maturidade