Modelo de taxa curta - Short-rate model

Um modelo de taxa curta , no contexto de derivativos de taxa de juros , é um modelo matemático que descreve a evolução futura das taxas de juros , descrevendo a evolução futura da taxa curta , geralmente escrita . ${\ displaystyle r_ {t} \,}$

A taxa curta

Em um modelo de taxa curta, a variável de estado estocástica é considerada a taxa à vista instantânea . A taxa curta , então, é a taxa de juros ( continuamente composta , anualizada) pela qual uma entidade pode tomar dinheiro emprestado por um período de tempo infinitesimalmente curto . Especificar a taxa curta atual não especifica toda a curva de juros . No entanto, os argumentos de não arbitragem mostram que, sob algumas condições técnicas razoavelmente relaxadas, se modelarmos a evolução como um processo estocástico sob uma medida neutra ao risco , então o preço no momento de um título de cupom zero com vencimento no momento com um retorno de 1 é dado por ${\ displaystyle r_ {t} \,}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle r_ {t} \,}$ ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle P (t, T) = \ operatorname {E} ^ {Q} \ left [\ left. \ exp {\ left (- \ int _ {t} ^ {T} r_ {s} \, ds \ direita)} \ right | {\ mathcal {F}} _ {t} \ right],}$

onde fica a filtração natural para o processo. As taxas de juros implícitas nos títulos de cupom zero formam uma curva de juros, ou mais precisamente, uma curva zero. Assim, a especificação de um modelo para a taxa curta especifica os preços futuros dos títulos. Isso significa que as taxas a termo instantâneas também são especificadas pela fórmula usual ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle f (t, T) = - {\ frac {\ partial} {\ partial T}} \ ln (P (t, T)).}$

Modelos particulares de taxa curta

Ao longo desta seção representa um movimento browniano padrão sob uma medida de probabilidade neutra ao risco e seu diferencial . Onde o modelo é log - normal , uma variável é assumida como seguindo um processo de Ornstein-Uhlenbeck e é assumida como seguindo . ${\ displaystyle W_ {t} \,}$${\ displaystyle dW_ {t} \,}$${\ displaystyle X_ {t}}$${\ displaystyle r_ {t} \,}$${\ displaystyle r_ {t} = \ exp {X_ {t}} \,}$

Modelos de taxa curta de um fator

A seguir estão os modelos de um fator, onde um único fator estocástico - a taxa curta - determina a evolução futura de todas as taxas de juros. Além de Rendleman – Bartter e Ho – Lee, que não capturam a reversão à média das taxas de juros, esses modelos podem ser considerados casos específicos de processos de Ornstein – Uhlenbeck. Os modelos Vasicek, Rendleman – Bartter e CIR possuem apenas um número finito de parâmetros livres e, portanto, não é possível especificar os valores desses parâmetros de forma que o modelo coincida com os preços de mercado observados ("calibração"). Este problema é superado permitindo que os parâmetros variem deterministicamente com o tempo. Dessa forma, Ho-Lee e os modelos subsequentes podem ser calibrados com os dados de mercado, o que significa que eles podem retornar exatamente o preço dos títulos que compõem a curva de juros. A implementação é geralmente por meio de uma árvore de taxa curta ( binomial ) ou simulação; ver modelo Lattice (finanças) § Derivativos de taxa de juros e métodos de Monte Carlo para precificação de opções .

1. O modelo de Merton (1973) explica a taxa curta como : onde é um movimento browniano unidimensional sob a medida de martingale local . ${\ displaystyle r_ {t} = r_ {0} + em + \ sigma W_ {t} ^ {*}}$${\ displaystyle W_ {t} ^ {*}}$
2. O modelo Vasicek (1977) modela a taxa de curto como ; freqüentemente é escrito . ${\ displaystyle dr_ {t} = (\ theta - \ alpha r_ {t}) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$${\ displaystyle dr_ {t} = a (b-r_ {t}) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$
3. O modelo Rendleman – Bartter (1980) explica a taxa de curto como . ${\ displaystyle dr_ {t} = \ theta r_ {t} \, dt + \ sigma r_ {t} \, dW_ {t}}$
4. O modelo de Cox – Ingersoll – Ross (1985) supõe que é freqüentemente escrito . O fator exclui (geralmente) a possibilidade de taxas de juros negativas. ${\ displaystyle dr_ {t} = (\ theta - \ alpha r_ {t}) \, dt + {\ sqrt {r_ {t}}} \, \ sigma \, dW_ {t}}$${\ displaystyle dr_ {t} = a (b-r_ {t}) \, dt + {\ sqrt {r_ {t}}} \, \ sigma \, dW_ {t}}$${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {r_ {t}}}}$
5. O modelo Ho – Lee (1986) modela a taxa de curto como . ${\ displaystyle dr_ {t} = \ theta _ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$
6. O modelo Hull-White (1990) - também chamado de modelo Vasicek estendido - postula . Em muitas apresentações um ou mais dos parâmetros e não são dependentes do tempo. O modelo também pode ser aplicado como lognormal. A implementação baseada em rede é geralmente trinomial . ${\ displaystyle dr_ {t} = (\ theta _ {t} - \ alpha r_ {t}) \, dt + \ sigma _ {t} \, dW_ {t}}$${\ displaystyle \ theta, \ alpha}$${\ displaystyle \ sigma}$
7. O modelo Black-Derman-Toy (1990) tem para volatilidade de taxa de curto dependente do tempo e outros; o modelo é lognormal. ${\ displaystyle d \ ln (r) = [\ theta _ {t} + {\ frac {\ sigma '_ {t}} {\ sigma _ {t}}} \ ln (r)] dt + \ sigma _ { t} \, dW_ {t}}$${\ displaystyle d \ ln (r) = \ theta _ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$
8. O modelo Black – Karasinski (1991), que é lognormal, tem . O modelo pode ser visto como a aplicação lognormal de Hull-White; sua implementação baseada em rede é similarmente trinomial (binomial requer etapas de tempo variadas). ${\ displaystyle d \ ln (r) = [\ theta _ {t} - \ phi _ {t} \ ln (r)] \, dt + \ sigma _ {t} \, dW_ {t}}$
9. O modelo Kalotay – Williams – Fabozzi (1993) tem a taxa curta como , um análogo lognormal para o modelo Ho – Lee e um caso especial do modelo Black – Derman – Toy. Esta abordagem é efetivamente semelhante ao “ modelo original dos Irmãos Salomon ” (1987), também uma variante lognormal em Ho-Lee. ${\ displaystyle d \ ln (r_ {t}) = \ theta _ {t} \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$

Modelos de taxa curta multifatorial

Além dos modelos de um fator acima, também existem modelos multifatoriais da taxa curta, entre eles os mais conhecidos são o modelo de dois fatores de Longstaff e Schwartz e o modelo de três fatores de Chen (também chamado de "modelo de média estocástica e volatilidade estocástica" ) Observe que, para fins de gestão de risco, "para criar simulações realistas de taxas de juros ", esses modelos multifatoriais de taxa curta às vezes são preferidos aos modelos de um fator, pois produzem cenários que são, em geral, melhores "consistentes com os movimentos da curva de juros ".

• O modelo de Longstaff-Schwartz (1992) supõe que a dinâmica da taxa curta é dada por

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} dX_ {t} & = (a_ {t} -bX_ {t}) \, dt + {\ sqrt {X_ {t}}} \, c_ {t} \, dW_ {1t }, \\ [3pt] dY_ {t} & = (d_ {t} -eY_ {t}) \, dt + {\ sqrt {Y_ {t}}} \, f_ {t} \, dW_ {2t}, \ end {alinhado}}}$

onde a taxa curta é definida como

${\ displaystyle dr_ {t} = (\ mu X + \ theta Y) \, dt + \ sigma _ {t} {\ sqrt {Y}} \, dW_ {3t}.}$

• O modelo de Chen (1996) que possui uma média estocástica e volatilidade da taxa curta, é dado por

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} dr_ {t} & = (\ theta _ {t} - \ alpha _ {t}) \, dt + {\ sqrt {r_ {t}}} \, \ sigma _ {t } \, dW_ {t}, \\ [3pt] d \ alpha _ {t} & = (\ zeta _ {t} - \ alpha _ {t}) \, dt + {\ sqrt {\ alpha _ {t} }} \, \ sigma _ {t} \, dW_ {t}, \\ [3pt] d \ sigma _ {t} & = (\ beta _ {t} - \ sigma _ {t}) \, dt + { \ sqrt {\ sigma _ {t}}} \, \ eta _ {t} \, dW_ {t}. \ end {alinhado}}}$

Outros modelos de taxas de juros

A outra estrutura principal para modelagem de taxas de juros é a estrutura de Heath – Jarrow – Morton (HJM). Ao contrário dos modelos de taxa curta descritos acima, esta classe de modelos é geralmente não Markoviana. Isso torna os modelos HJM gerais intratáveis ​​computacionalmente para a maioria dos propósitos. A grande vantagem dos modelos HJM é que eles fornecem uma descrição analítica de toda a curva de juros, ao invés de apenas a taxa curta. Para alguns fins (por exemplo, avaliação de títulos lastreados em hipotecas), isso pode ser uma grande simplificação. Os modelos Cox – Ingersoll – Ross e Hull – White em uma ou mais dimensões podem ser expressos diretamente na estrutura HJM. Outros modelos de taxa curta não têm nenhuma representação HJM dual simples.

A estrutura HJM com múltiplas fontes de aleatoriedade, incluindo como faz o modelo Brace – Gatarek – Musiela e modelos de mercado , é freqüentemente preferida para modelos de dimensão superior.

Modelos baseados em Fischer Black 's taxa de sombra são usadas quando as taxas de juros se aproximar do limite inferior zero .

Veja também

• Atribuição de renda fixa

Referências

Leitura adicional

• Martin Baxter e Andrew Rennie (1996). Cálculo financeiro . Cambridge University Press . ISBN   978-0-521-55289-9 .
• Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modelos de Taxa de Juros - Teoria e Prática com Sorriso, Inflação e Crédito (2ª ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN   978-3-540-22149-4 .
• Gerald Buetow e James Sochacki (2001). Modelos de estrutura de termos usando árvores binomiais . A Fundação de Pesquisa da AIMR ( CFA Institute ). ISBN   978-0-943205-53-3 .
• Andrew JG Cairns (2004). Modelos de taxas de juros - uma introdução . Princeton University Press . ISBN   978-0-691-11894-9 .
• Andrew JG Cairns (2004). Modelos de taxas de juros ; verbete na Enciclopédia de Ciências Atuariais . John Wiley and Sons . 2004. ISBN   978-0-470-84676-6 .
• KC Chan, G. Andrew Karolyi, Francis Longstaff e Anthony Sanders (1992). Uma comparação empírica de modelos alternativos da taxa de juros de curto prazo (PDF) . The Journal of Finance , vol. XLVII, No. 3 de julho de 1992. CS1 maint: vários nomes: lista de autores ( link )
• Lin Chen (1996). Dinâmica da taxa de juros, precificação de derivativos e gerenciamento de risco . Springer . ISBN   978-3-540-60814-1 .
• Rajna Gibson, François-Serge Lhabitant e Denis Talay (1999). Modelando a estrutura a termo das taxas de juros: uma visão geral . The Journal of Risk, 1 (3): 37–62, 1999.
• Lane Hughston (2003). O Passado, Presente e Futuro da Modelagem de Estrutura de Termos ; verbete em Peter Field (2003). Gerenciamento de risco moderno . Livros de risco. ISBN   9781906348304 .
• Jessica James e Nick Webber (2000). Modelagem de taxas de juros . Wiley Finance . ISBN   978-0-471-97523-6 .
• Robert Jarrow (2002). Modelagem de títulos de renda fixa e opções de taxas de juros (2ª ed.) . Economia e finanças de Stanford. ISBN   978-0-8047-4438-6 .
• Robert Jarrow (2009). “A estrutura a termo das taxas de juros” . Revisão Anual de Economia Financeira . 1 (1): 69–96. doi : 10.1146 / annurev.financial.050808.114513 .
• FC Park (2004). "Implementando modelos de taxas de juros: um guia prático" (PDF) . Publicação de pesquisa CMPR . Arquivado do original (PDF) em 16/08/2010.
• Riccardo Rebonato (2002). Preço moderno de derivativos de taxas de juros . Princeton University Press . ISBN   978-0-691-08973-7 .
• Riccardo Rebonato (2003). "Modelos de estrutura de termos: uma revisão" (PDF) . Documento de trabalho do Royal Bank of Scotland Quantitative Research Centre .